MnoŻYĆ inaczej

Niektóre osoby mają tak silny, zwykle związany z wykonywaną pracą, nawyk używania kalkulatora, że korzystają z niego nawet przy mnożeniu liczb jednocyfrowych. Dopiero nie dysponując kalkulatorem z pewnym zdziwieniem stwierdzają, że tabliczkę mnożenia mają w małym palcu, a mnożenie większych liczb w słupku – we krwi. Opanowanie tej drugiej czynności, przez dorosłych wykonywanej niemal odruchowo, choć wymagającej uwagi i skupienia, dla początkującego ucznia wcale nie jest takie łatwe. „Instrukcja obsługi” działania działania brzmi dość zawile i zanim bardzo młody człowiek dojdzie do wprawy, musi sporo poćwiczyć, aby szybko i bezbłędnie pomnożyć na przykład 328 przez 53 albo odwrotnie.

 

W książkach poświęconych matematyce rozrywkowej można trafić na sprytne sposoby mnożenia niektórych liczb – niby prostsze, ale w istocie będące tylko arytmetycznymi zabawami lub ciekawostkami. Na przykład: aby pomnożyć daną liczbę przez 125 należy podzielić ją przez 8, a następnie dopisać trzy zera lub przesunąć przecinek w prawo o trzy miejsca. Z pewnością każdy potrafi wyjaśnić zarówno zasadę działania tej „sztuczki”, jak i mnożenia w słupku. Istnieje jednak bardzo mało znana i niezwykle oryginalna metoda mnożenia w dwóch słupkach, której kulisy stanowią twardy orzech do zgryzienia. Oto ona.

Pozostańmy przy tych samych liczbach: 53 i 328. Zapisujemy je obok siebie w niewielkim odstępie; wygodniej będzie, gdy mniejszą umieścimy z prawej strony:

 

Pod jedną z nich, ale lepiej pod mniejszą, tworzymy słupek, w którym każda następna liczba powinna być dwukrotnie mniejsza od poprzedniej. Połowę liczby nieparzystej zapisujemy jako tzw. mniejszą połowę, czyli ułamek odrzucamy.
Przy okazji warto wyjaśnić, że wyśmiewane czasem określenie „mniejsza (większa) połowa” jest w matematyce uznawane za poprawne i ma konkretne, podane wyżej znaczenie. Mniejsza połowa nieparzystego x byłaby w tekście matematycznym oznaczona na przykład nawiasami kwadratowymi, czyli [x/2].
Wracamy do słupka, który skończy się na jedynce:

 

Następnie zaczynamy ciosać słupek pod 328, ale na odwrotnej zasadzie: każda następna liczba będzie dwa razy większa od poprzedniej. Ciosanie kończymy, gdy słupek zrówna się wysokością z sąsiednim:

 

 Teraz przekreślamy w lewym słupku te liczby, obok których w prawym są liczby parzyste, a nieskreślone liczby dodajemy. Oto efekt końcowy:

 

Działa? Działa! A dlaczego działa? – oto zagadka.

A gdyby dla kogoś zagadka była za trudna, ten może spróbować zmierzyć się z sekretem innego zabawnego, ale tym razem graficznego sposobu mnożenia – do zobaczenia w postaci filmiku.

Komentarze

[Andrzej69]

W zrozumieniu mechanizmu zagadki pomoże układ dwójkowy.
Operacje na prawym słupku (wraz z wykreślaniem liczb parzystych) to nic innego jak zamiana liczby do postaci zero-jedynkowej. Natomiast operacje na lewym, to obliczanie wartości dziesiętnych kolejnych cyfr układu dwójkowego przemnożonych przy okazji przez pierwszą liczbę.

W podanym przykładzie wygląda to tak:
00328=328*2^0………..(53 mod 2)=1
00656=328*2^1………..(26 mod 2)=0
01312=328*2^2………..(13 mod 2)=1
02624=328*2^3………..(06 mod 2)=0
05248=328*2^4………..(03 mod 2)=1
10496=328*2^5………..(01 mod 2)=1
17384=
=328*2^5+328*2^4+328*2^2+328*2^0=
=328*(32+16+4+1)=328*53

Metody graficznej wyjaśniać chyba nie trzeba, bo właściwie niczym nie różni się od klasycznego mnożenia pisemnego.

Pozdrawiam
AB

[marek]

Andrzeju69, dziękuję za uwagi, po których poprawiłem tekst poprzedzający wykreślanie liczb w lewym słupku.
Pozdrawiam
mp
PS nadsyłane propozycje rozwiązania „zagadki” uwolnię 24 kwietnia.

[Jaz_on]

Mówiąc wprost, korzystamy z zapisu dwójkowego jednego z czynników – reszta jest oczywista.

W naszym przykładzie – uwzględniając wszystkie szczegóły – mamy:
328×53=
po przedstawieniu 53 w postaci dwójkowej
=328x(1×1 + 0x2 + 1×4 + 0x8 + 1×16 + 1×32)=
po rozdzieleniu „x” względem „+”:
=328x1x1 + 328x0x2 + 328x1x4 + 328x0x8 + 328x1x16 + 328x1x32=
po przegrupowaniu czynników w każdym składniku:
=1x328x1 + 0x328x2 + 1x328x4 + 0x328x8 + 1x328x16 + 1x328x32=
po wymnożeniu 328 przez potęgi 2:
=1×328 + 0x656 + 1×1312 + 0x2624 + 1×5248 + 1×10496=
po odrzuceniu składników z czynnikiem =0:
=1×328 + 1×1312 + 1×5248 + 1×10496=
po zsumowaniu:
=17384

Pozdrawiam,
Jaz_off

[jawa]

W ten sposób wykonujemy mnożenie:
328x(1+4+16+32). W nawiasie mamy 53 rozbite na składniki w układzie dwójkowym.

[Michał]

Żeby zrozumieć, jak działa ten dziwny system mnożenia, najlepiej zapisać liczby i kolejne działania w systemie dwójkowym

[Robert_C]

Dlaczego działa mnożenie w dwóch słupkach? To bardzo proste. No przynajmniej dla każdego, kto miał stycznośc z informatyką.

Zasadę działania można wytłumaczyć jednym stwierdzeniem: jest to pisemne mnożenie liczb przedstawionych w układzie binarnym (matematycznie: przy podstawie układu pozycyjnego równej 2).

Na początek zwróćmy uwagę co robimy z liczbą z prawej strony – zamieniamy ją na postać binarną dzieląc kolejno przez 2 i patrząc, czy jest parzysta (jej kolejny bit jest równy 0) lub nieparzysta (bit równy 1). W przykładowym zadaniu otrzymamy kolejno (począwszy od najmniej znaczącego bitu) 1,0,1,0,1,1, czyli liczbę 53 w zapisie binarnym 110101b.

Gdybyśmy teraz wyobrazili sobie, że chcemy tę binarną liczbę pomnozyć przez inną w sposób pisemny, to mnożylibyśmy kolejne bity, czyli tam gdzie bit równy jest 1, druga liczba zostałaby przepisana (oczywiście odpowiednio przesunięta w stosunku do kolumny z tym bitem, tak jak to w mnożeniu pisemnym robimy), a tam gdzie bit jest równy 0, mielibyśmy po prostu liczbę 0.
To odpowiednie przesunięcie, o którym wspomniałem, to właśnie operacja, jaką wykonujemy w lewym słupku – mnożenie lewej liczby przez dwa, daje nam binarnie przesuniętą tę liczbę kolejno o jeden bit.
I co trzeba zrobić na końcu pisemnego mnożenia? Oczywiście zsumować kolejne kolumny. To właśnie robimy w lewym słupku, wykreślając te składniki, które były mnożone przez bit zerowy.

I najciekawsze jest to, że wcale nie musimy liczby z lewego słupka zamieniać na postać binarną w celu sumowania, bo wynik sumowania i tak będzie poprawny.

Prosty przykład pisemnego mnożenia binarnego, aby to zobrazować (lepszy byłby rysunek, bo w komentarzu cyfry się poprzesuwają, ale proszę sobie to wyobrazić) 9*5=45:
__1001
___101
——— x
__1001
_0000_
1001__
——– +
101101

I dla formalności zapis binarny zadania, które było analizowane 328*53=17384:

______101001000 (328)
__________110101 (53)
————————— x
______101001000
_____000000000_
____101001000__
___000000000___
__101001000____
_101001000_____
————————— +
100001111101000 (17384)

Jeszcze, dla uzupełnienia podam, że przedstawiony sposób mnożenie w dwóch słupkach nazywany jest mnożeniem „rosyjskich chłopów”. Algorytm ten jest bardzo łatwy do stosowania w „maszynach liczących” czyli w komputerach (ze względu na łatwość mnożenia i dzielenia przez 2, czyli przesuwania liczby o jeden bit w lewo lub prawo), ale skąd ta nazwa?

[lol]

hej jak się dzieli w słupku proszę powiedzcie mi

[ed hardy kleidung]

Jeszcze, dla uzupełnienia podam, że przedstawiony sposób mnożenie w dwóch słupkach nazywany jest mnożeniem ?rosyjskich chłopów?. Algorytm ten jest bardzo łatwy do stosowania w maszynach