2008 – szczęśliwości i znęcanki

31 grudnia 2007
Marek Penszko

Na przełomie starego i nowego roku miłośnicy rekreacji matematycznych lubią znęcać się nad liczbą oznaczającą ten nowy. O klasycznych sposobach znęcania się, polegających na tworzeniu dziwnych działań, których wynikiem jest owa liczba, wspominałem we wpisie przed rokiem. Sadystycznym skłonnościom można też dawać upust, molestując daną liczbę w celu odkrycia jakichś jej szczególnych własności (nie chodzi oczywiście o pseudonaukę zwaną numerologią). W tej bardziej wyrafinowanej konkurencji liczba 2008 nie wygląda zachęcająco. Właściwie dotąd nic szczególnie osobliwego z niej nie wyłuskano, a przynajmniej nic mi o tym nie wiadomo, pomijając sprawy subiektywne: na przykład, bez dwóch zer byłaby to moja szczęśliwa liczba.

Prawdę mówiąc, wypadałoby jednak na wstępie ustalić, gdzie zaczyna się osobliwość, czyli ile co najwyżej liczb może mieć jakąś własność, aby wszystkie je uznać za choć trochę niezwykłe. Granicę mogłaby stanowić liczba liczb pierwszych, bez wątpienia nietuzinkowych. W zbiorze liczb naturalnych od 1 do n jest ich, zdaniem Pafnucego Czebyszewa, w przybliżeniu n/(log n – 1). Przyjmując n=10 000 (ogół), można by więc uznać za ciekawe, bo dość rzadko występujące, liczby, które stanowią 10-15 procent ogółu. Przy takim założeniu 2008 oraz 28 są szczęśliwe także… obiektywnie, bowiem w matematyce liczbami szczęśliwymi określa się te, które po poddaniu następującej obróbce algorytmicznej dają jako wynik końcowy jedynkę:
1. podnieś do kwadratu każdą z cyfr tworzących daną liczbę n;
2. zsumuj wszystkie otrzymane kwadraty tworząc liczbę n(1);
3. powtórz etapy (1) i (2) z liczbą n(1) tworząc liczbę n(2) i powtarzaj z każdą następną liczbą n(x) do momentu, aż otrzymasz sumę jednocyfrową.

Proszę bardzo: 2008 > 68 > 100 > 1, czyli pełnia szczęścia!

Liczby szczęśliwe tworzą ciąg: 1, 7, 10, 13 (sic!), 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49…, 2008,… Do 10 000 jest ich poniżej 15 procent (1441), choć więcej niż liczb pierwszych (1229).

Zachęcony tą szczęśliwością znęcałem się nad 2008 w trakcie przedświątecznej podróży z gór do centrum kraju i wydaje mi się, że nie bezowocnie.
Rozłożyłem mianowicie „ofiarę” na czynniki pierwsze:
2008 = 2 x 2 x 2 x 251.
I cóż ja widzę? Otóż jeśli pomnożę 251 przez sumę jej cyfr, to otrzymam 2008. Uogólniając: jeśli założymy, że P(n) jest największym z czynników pierwszych, na które można rozłożyć n, to 2008 należy do takich liczb, dla których iloczyn P(n) i sumy cyfr P(n) równa się n.
Liczby spełniające powyższy warunek tworzą ciąg:
4, 9, 22, 25, 49, 52, 81, 115, 124, 136, 190, 202, 205,………., 2008,….
Nietrudno zauważyć, że ciąg ten stanowi permutację ciągu iloczynów kolejnych liczb pierwszych i sumy ich cyfr. Czy do 10 000 jest w nim tyle liczb, co liczb pierwszych w tym samym zakresie? Nie wiem.
Sprawdziłem w Encyklopedii Ciągów Liczbowych. Nie mają takiego, więc postanowiłem zgłosić, co wykombinowałem. Może „kupią”.

Tych z Państwa, którzy mają podobne do moich skłonności, zachęcam do poznęcania się nad 2008. Ciekawe efekty będą mile widziane w komentarzach.

A w Nowym Roku wszystkim moim Przemiłym Gościom życzę samych pieszczot i przytulanek, a znęcanek ani, ani (chyba że ktoś lubi).