Interesujące sola i duety

22 października 2007
Marek Penszko

Jeden z moich znajomych lubi nadużywać słówka „interesujące” – zwykle jako komentarza usłyszanej wiadomości, wypowiadanego z odpowiednią intonacją. Czasem bywa to „bardzo interesujące”, wypowiadane odruchowo, więc często nijak ma się do informacji, której dotyczy. „Cóż  w tym interesującego?” – chciałoby się zapytać, gdyby można było oczekiwać jakiegokolwiek innego wyjaśnienia poza zdawkowym „wiadomo” lub „to oczywiste”. Nie inaczej było, gdy ów znajomy zapoznawał się z liczbami stanowiącymi wyniki sondaży przedwyborczych, a wczoraj wyborów. Tym razem jednak wypada się z nim zgodzić, bo interesujące są wszystkie liczby. Nieinteresujących nie ma, co półżartem udowodnił przed ponad 60 laty matematyk amerykański Edwin Beckenbach.

Załóżmy, że istnieją liczby naturalne nieinteresujące. W zbiorze takich liczb można wskazać liczbę najmniejszą. Jednak sam fakt bycia NAJMNIEJSZĄ czyni tę liczbę INTERESUJĄCĄ, a więc należy ją przenieść do zbioru liczb interesujących. Wówczas jednak w zbiorze liczb nieinteresujących pojawi się kolejna najmniejsza liczba, która na podobnej zasadzie trafi do interesujących. W ten sposób interesującymi staną się wszystkie liczby nieinteresujące.

A jednak w „Słowniku dziwnych i interesujących liczb” haseł jest tylko kilkaset, w dodatku niektóre nie są liczbami naturalnymi. Słownik ten obejmuje zatem liczby najdziwniejsze i najbardziej interesujące, a ściślej: niezwykłe, unikalne, wyróżniające się jakąś szczególną matematyczną własnością.

Kamieniem węgielnym gmachu liczb niezwykłych są zapewne liczby pierwsze, ale za pioniera doszukiwania się niezwykłości w konkretnych liczbach naturalnych wypada uznać genialnego hinduskiego matematyka samouka Srinivasę Ramanujana, pracującego w Cambridge w latach 1914-19. Opiekujący się nim brytyjski matematyk Godfrey Hardy wspomina, że gdy pewnego razu odwiedził chorego Ramanujana, zaczął rozmowę od informacji, że przyjechał taksówką o nieciekawym numerze – 1729. „Ależ nie, to bardzo interesujący numer – zaprotestował Hindus – jest bowiem najmniejszą liczbą, którą można przedstawić jako sumę sześcianów na dwa sposoby.”
Istotnie: 1729 = 12^3 + 1^3 = 10^3 + 9^3.

Ramanujan nie odkrył niezwykłości 1729. Pięć liczb o podanej własności znalazł w roku 1657 francuski matematyk Bernard Frénicle de Bessy – poza 1729 były to 4104 (suma sześcianów 9 i 15 lub 2 i 16), 20683 (19 i 24 lub 10 i 27), 39312 (15 i 33 lub 2 i 34) oraz 40033 (16 i 33 lub 9 i 34).

W latach 90. w teorii liczb przyjęło się, w nawiązaniu do wspomnianej anegdoty, nazywać „taxicab”, czyli „taksówkowymi” (w skrócie: Ta(n)) liczby, które można przedstawić jako sumę dwóch sześcianów liczb naturalnych na n sposobów. W roku bieżącym przypadają dwie okrągłe rocznice: półwiecze odkrycia najmniejszej takiej liczby dla n=3, czyli Ta(3) = 87539319 (suma sześcianów 167 i 436 lub 228 i 423 lub 255 i 414) oraz dziesięciolecie odkrycia najmniejszej Ta(5) = 48988659276962496 (oszczędzę sobie i Państwu par sześcianów). Wcześniej, w roku 1991 „padła” Ta(4) = 6963472309248, a poszukiwania Ta(6) i następnych wciąż trwają. Zapewne trwałyby krócej, gdyby za ich znalezienie ufundowana została przez uczonego filantropa, podobnie jak w przypadku tzw. problemów milenijnych, jakaś kusząca sumka.

Pary sześcianów podsunęły mi osobliwy pomysł zbierania materiałów do słownika interesujących par liczb. Dwie największe liczby, stanowiące wyniki wczorajszych wyborów, raczej się w nim nie znajdą, ale najważniejsze hasło znane jest od starożytności. Brzmi ono oczywiście „liczby zaprzyjaźnione”, czyli takie, które łączą się w pary, ponieważ suma dzielników każdej z nich równa jest drugiej liczbie (220 i 284, 1184 i 1210, 2620 i 2924 itd.).

Proponuję znalezienie przynajmniej jednego przykładu do kolejnego hasła. Jeszcze nie wiem, jak będzie ono brzmiało, ale zasadę kojarzenia par ustaliłem – tym razem jest ona bardziej wyszukana.

Suma liczb x i y równa jest A, zaś ich iloczyn B. A i B są przynajmniej dwucyfrowe oraz – to najważniejsze – zapisując wspak A, tworzymy B. Przykładem x i y może być bliźniacza para dziewiątek, bowiem 9 + 9 = 18, a 9 * 9 = 81. Jednak to para niezbyt oryginalna; proszę spróbować znaleźć inną, przynajmniej jedną, o takiej samej własności, w której x nie będzie równe y.

PS Rozwiązania uwolnię przy okazji następnego wpisu, czyli w czwartek.