Kulisy seksu

15 maja 2007
Marek Penszko

Chodzi oczywiście o niezdrożny seks grupowy trójnic z łamigłówki konkursowej. W gruncie rzeczy kulisy teorii ujawnił sidelfius we wpisie, który wyczekał się kilka dni na publikację w związku z trwającym konkursem. Wprawdzie autor wpisu zmienił trójnice w ośmiornice, a twierdzenie (wzór) Eulera w tożsamość (tożsamością Eulera nazywa się zwykle coś innego), ale są to drobne figle formalne, natomiast meritum jest tip-top.

Praktycznie najistotniejszy wydaje się wniosek, że w grafie stanowiącym miłosną sieć nie mogą występować trójkątne ściany. W związku z tym, że wzór Eulera dotyczy zarówno grafów planarnych jak i wielościanów, co podkreśla zbieżność terminologii (w obu przypadkach mówimy o wierzchołkach, krawędziach i ścianach), więc, po uwzględnieniu wspomnianego wniosku, rozwiązywanie łamigłówki sprowadzi się do trywialnego zagadnienia: wskazania wielościanu o najmniejszej liczbie wierzchołków, którego żadna ściana nie jest trójkątem. Taka bryła to oczywiście równoległościan, a żeby było elegancko, można wskazać jego postać foremną, czyli sześcian. Teraz wystarczy sześcian „rozpłaszczyć”, a następnie odpowiednio oznaczyć krawędzie wychodzące z każdego wierzchołka, traktując je jak nogi trójnic i – rozwiązanie gotowe.

Kuse1.jpg

Taki sposób radzenia sobie z łamigłówką jest jednak trochę na skróty. Aby ujawnić w pełni kulisy rozwiązywania, warto podać nieco inną, bardziej praktyczną metodę.

Zacznijmy od tego, że są tylko dwa sposoby sczepienia się trójnicy z nogami trzech innych osobników:

S1: X1-Y, Y1-Z, Z1-X
S2; X1-Z, Y1-X, Z1-Y

I druga konkluzja: jeśli jakaś trójnica połączy się z trzema innymi sposobem S1, to każda z tych trzech będzie połączona z innymi sposobem S2. Uogólniając: każda trójnica S1 (korzystająca ze sposobu S1) łączy się z trzema trójnicami S2 – i odwrotnie. Ponieważ żadna noga nie pozostaje wolna, więc trójnic S1 będzie tyle samo, co S2, a więc łączna liczba wszystkich będzie parzysta.

Teraz można już przystąpić do graficznej symulacji procesu tworzenia się grupy w celu prokreacji. Trójnice będziemy lokować na naprzemianległych „poziomach” S1 i S2, odpowiadających sposobowi łączenia, z którego korzystają.
Najpierw jedna trójnica S1 łączy się z trzema S2.

Kuse2.jpg
Jeżeli teraz na trzecim poziomie, czyli drugim S1, pojawi się jeden osobnik łącząc się z trzema S2 poniżej, to wprawdzie je „zaspokoi” (nie w pełni), ale równocześnie odetnie możliwość utworzenia trzeciego połączenia środkowej trójnicy.

Kuse3.jpg

Spróbujmy więc umieścić na trzecim poziomie dwa osobniki i połączyć je z S2.

Kuse4.jpg

Tym razem wszystko gra, można więc kontynuować tworzenie grupy, przyłączając dalsze trójnice – zgodnie z regułą S1 do S2 i vice versa. Do pełni szczęścia brakuje już tylko dwóch osobników, a doprowadzenie do krótkiej chwili rozkoszy nie nastręcza problemów. Oto ta chwila:

Kuse5.jpg

Proszę zwrócić uwagę, że z niemożności łączenia osobników znajdujących się na tym samym poziomie wynika także brak trójkątnych ścian w grafie.

Nieco mniej niż połowę z 73 nadesłanych przez Państwa rozwiązań, stanowiły ładne, zwykle kolorowe rysunki trójnic w niedwuznacznej sytuacji – byłaby z nich całkiem oryginalna wystawa. Ponieważ nagroda-niespodzianka jest zgoła symboliczna, więc mam nadzieję, że wybaczą mi Państwo, iż postanowiłem rozlosować ją wśród kilkunastu wybranych rozwiązań z najładniejszymi, moim zdaniem, rysunkami.

Nagrodę, łamigłówkę River Crossing, ufundowaną przez firmę Logorajd, otrzymuje Pani Aleksandra Golecka. Laureatkę proszę o kontakt pod adresem m.penszko@polityka.com.pl w celu ustalenia sposobu przekazania nagrody.

W sudoku z poprzedniego wpisu, stanowiącym modyfikację jednego z zadań z 2. Mistrzostw Świata, był drobny błąd (brak jednej kropki), poprawiony po uwadze Oystera. To potknięcie nasunęło mi pomysł zaprezentowania łamigłówki ze świadomym błędem, której rozwiązanie polega także na znalezieniu i poprawieniu pomyłki.

Literówka
Kuse6.jpg
W dodawaniu czterech liczb 4-cyfrowych cyfry zastąpiono literami. Takie same litery oznaczają jednakowe cyfry, a różnym literom odpowiadają odmienne cyfry. Jedną i tylko jedną cyfrę zastąpiono niewłaściwą literą. Którą oraz jakie są wartości składników i sumy?

Uwaga: w komentarzach są rozwiązania, więc kto chce trochę pogimnastykować szare komórki (zadanie jest łatwe), niechaj przedtem do komentarzy nie zagląda.