Rozwiązania 10 – 14

Ditloidy
1 jaskółka nie czyni wiosny
2 końce każdego kija
3 tercje meczu hokeja na lodzie
4 pory roku
4 pancerni i pies
5 cyfr w kodzie pocztowym
5 kół na fladze olimpijskiej
6 zer w milionie
7 Cudów Świata Starożytnego
7 kolorów tęczy
11 zawodników w drużynie piłki nożnej
12 znaków zodiaku
24 litery w alfabecie greckim
52 karty w talii
52 tygodnie w roku
64 pola na szachownicy
20 000 mil podmorskiej żeglugi

Trening
Kropki i Domino pętla

Kalkulacje
Wynik-niespodzianka
123456789 lub 1234567890 (jeśli nie wykluczać zera).
Przestawianie przycisków
Rozwiązania są dwa:
– zamiana miejscami 4 i 5 oraz 2 i 8 (183 + 546 = 729);
– zamiana miejscami 3 i 9 oraz 4 i 6 (129 + 654 = 783).

Ciąg do inteligencji
a) 2, 5, 9, 16, 27, 45, 74… Suma dwóch poprzednich kolejnych liczb plus 2.
b) 1, 5, 13, 29, 61, 125… Podwojona poprzednia liczba plus 3.

Co dalej?
1, 7, 23, 55, 109, 191, 307… a₁= 1; a_n = n^3 – (n – 1)^2.
1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221… Cyfrowy zapis liczebników tworzących opis poprzedniej liczby, np. 1 to jedna (1) jedynka (1), czyli razem 11; 1211 to jedna (1) jedynka (1), jedna (1) dwójka (2), dwie (2) jedynki (1), czyli łącznie 111221.
1, 3, 7, 12, 18, 26, 35, 45, 56, 69, 83, 98, 114 (poprawione)… Pierwsza liczba większa od poprzedniej o liczbę nie równą żadnej z poprzednich liczb w ciągu, ani żadnej z różnic między dwiema kolejnymi liczbami.
a) 1, 2, 4, 8, 16, 23, 64, 821, 2461… Podwojona poprzednia liczba, a wynik zapisany wspak.
b) 1, 2, 4, 8, 16, 77, 145, 668, 1345, 6677… Suma poprzedniej liczby i jej „odwrotności” (zapisu wspak), a następnie ustawienie cyfr wg „wzrostu”.
c) 1, 49, 162, 536, 4964, 81100. Kolejne kwadraty liczb naturalnych zapisane w ciągu, a następnie inaczej pogrupowane.
d) 3, 5, 8, 13, 22, 39, 66… a_n+1 = 2a_n – n.
e) 10, 11, 13, 17, 25, 32, 37, 47… Liczba plus suma jej cyfr.
f) 12, 23, 35, 47, 511, 613, 717, 819, 923, 1029… „Spojenie” dwóch ciągów – liczb naturalnych i liczb pierwszych.
g) 12, 42, 48, 168, 1722, 4542… Poprzednia zapisana wspak i podwojona.
h) 77, 49, 36, 18, 8. Iloczyn cyfr poprzedniej.

Komentarze

[Ola]

Słówko a propos ciągu do inteligencji. Nie trzeba dochodzić do wniosków, że jest to „suma dwóch poprzednich kolejnych liczb plus 2” oraz „podwojona poprzednia liczba plus 3”. Przy pierwszym ciągu wystarczy zauważyć, że róznice pomiędzy kolejnymi wyrazami rosną tak: 3, 4, 7, 11, 18, czyli że każda kolejna różnica jest sumą dwóch poprzednich różnic. W drugim ciągu wystarczy zauważyć, że róznice pomiędzy kolejnymi wyrazami rosną tak: 4, 8, 16, 32 i domyślić się, że następna róznica wynosi 64. Dlatego w komentarzu do tamtego wpisu napisałam, że to byo łatwe, bo wystarczyło poodejmować i już.

[Rafal]

Z tym odejmowaniem to trick typowy i nie jest to jedyne zadanie w ktorym da sie cos w ten sposob uzyskac. Rowniez zadanie 1, 7, 23, 55, …
da sie w ten sposob rozwiklac. Trzeba popatrzec na roznice tego ciągu a nastepnie na roznice tego nowo otrzymanego itd. az wreszcie otrzymamy ciag skladajacy sie z samych zer. To oznacza, ze wzor na ten ciag ma postac wielomianowa (jest tak bo (x+1)^k-x^k jest wielomianem stopnia mniejszego od k) jednak nie trzeba go wyprowadzac, zeby odpowiedziec na pytanie jaka jest kolejna liczba. Podobnie jest z ciągiem 1,5,13,29,… Wystarczy popatrzec na roznice aby sprawa stala sie jasna. Wypisanie roznic pomaga rowniez w zadaniu 1,3,7,12,18,26,35,… i co wiecej pozwala zauwazyc BŁĄD a mianowicie zamiast 112 powinno byc 114. Pozostalych ciagow nie sprawdzalem.