Psucie Eulera

Kwadraty grecko-łacińskie, o których wspomniałem w poprzednim wpisie, zwane są także, od nazwiska ich twórcy, kwadratami Eulera. Powstały w 2. połowie XVIII w. jako nieprzydatna do niczego abstrakcja. W latach 20. minionego wieku znalazły jednak po raz pierwszy praktyczne zastosowanie jako szablony ułatwiające prowadzenie prac doświadczalnych; potem przydały się także w telekomunikacji i kryptologii. Takie przypadki „upraktycznienia” są w tzw. czystej matematyce rzadkie, ale zasługują na podkreślenie jako rodzynki pragmatyzmu, tkwiące w wielkim cieście dobrej nikomu niepotrzebnej roboty – poza matematykami i przynajmniej do czasu.

Z kwadratami Eulera wiąże się kilka ciekawych i nieprostych zagadnień. Wróćmy do szesnastu kart, czyli wszystkich figur (4 asy, 4 króle, 4 damy, 4 walety) wyjętych z jednej talii. Usuwamy z nich symbole oznaczające rangę karty i tworzymy najpierw kolorowy układ taki, jak z lewej strony, a potem ten z prawej:

Jak widać oba są kwadratami łacińskimi, czyli w każdym wierszu i kolumnie występują różne kolory.
Proszę teraz spróbować przywrócić usunięte symbole rang, czyli wpisać na kartach litery A, K, D i W, ale tak, by litery te także utworzyły w jednym i drugim przypadku kwadrat łaciński, czyli aby w sumie powstały kwadraty Eulera. Łatwo sprawdzić, że w jednym układzie nie będzie to możliwe. W którym i dlaczego?

Z „popsutym” kwadratem Eulera mamy do czynienia wówczas, gdy zachowana jest jego podstawowa cecha: w polach występują różne pary symboli, ale z dwóch warunków: (1) w każdym wierszu są różne symbole, (2) w każdej kolumnie są różne symbole – przynajmniej jeden nie jest spełniony dla jednego lub obu rodzajów symboli. Poniżej przykład karcianego zadania z takim „bublem”.

W układzie 16 figur ujawnione są niektóre rangi i kolory:

Należy oznaczyć wszystkie brakujące symbole, wiedząc że:
– w każdym wierszu są cztery różne kolory (rangi mogą się powtarzać);
– w każdej kolumnie są cztery różne rangi (kolory mogą się powtarzać).

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.

Komentarze

[Agnieszka]

Odpowiedź na pierwsze zadanie – w drugim kwadracie się nie da odtworzyć.
Pierwszy ma dwa rozwiązania (razy kombinacje wynikające z zamian pomiędzy as, król, dama walet):
AKDW
DWAK
WDKA
KAWD
i
AKDW
WDKA
KAWD
DWAK

[Agnieszka]

Odpowiedź na drugie zadanie:
W trefl A karo W kier D pik
K karo D kier A trefl W pik
A pik W karo D trefl K kier
D karo K trefl K pik A kier

[jawa]

Walet trefl, As karo, Walet kier, Dama pik
Król karo, Dama kier, As trefl, Walet pik
As pik, Walet karo, Dama trefl, Król kier
Dama karo, Król trefl, Król pik, As kier

[witman]

Zad.1.
W drugim

Zad.2.
W.trefl, A.karo, W.kier, D.pik
K.karo, D.kier, A.trefl, W.pik
A.pik, W.karo, D.trefl, K.kier
D.karo, K.trefl, K.pik, A.kier

[trrrt]

„Takie przypadki „upraktycznienia” są w tzw. czystej matematyce rzadkie”

Jak tak można, Panie Redaktorze? Wiele matematycznych konceptów przechodziło z kategorii abstrakcyjnych i niepraktycznych do powszechnie używanych i naturalnych. Niektóre tak dawno, że niewielu zdaje sobie sprawę, że kiedyś były tylko matematyczną abstrakcją. Kilka przykładów: zero, liczby ujemne, liczby urojone, funkcja zeta, fraktale, teoria liczb. Szczerze pisząc trudno mi przypomnieć sobie jakąś starszą niż 200 lat teorię matematyczną, która do czegoś praktycznego by się nie przydała. Może dlatego, że o takich zapomniano i mnie nie uczyli.

To prawda, że wiele zagadnień matematycznych, które poznajemy w szkołach, także wyższych, należy do tzw. matematyki stosowanej. Jednak ta szkolna matematyka to ledwie fundament pod olbrzymi gmach królowej nauk trudnodostępny nie tylko dla maluczkich. Gmach wciąż się rozrasta, a matematycy z wprawą poruszający się w jednych kondygnacjach w innych bywają kompletnie zagubieni (specjalizacja).
W kontekście ogromu tego gmachu stwierdzenie, że matematyka stosowana zajmuje w nim bardzo niewiele pomieszczeń – głównie w suterenach 🙂 – jest całkiem uzasadnione. Nie widzę zresztą nic złego w dominacji tego, co na pozór niepraktyczne – matematyka służy przede wszystkim do ostrzenia umysłu, a to narzędzie przydaje się wszędzie.
Wymieniona w komentarzu teoria liczb to matematyka czysta – z trudem udaje się z niej wycisnąć parę praktycznych drobiazgów.
mp

[vertehell]

Uzupelniłem obydwa kwadraty.
Pierwszy, korzystając z rozwiązania CZARO, przekątne z asów i z dam.

Ak Kp Wc Dt Ak Wp Kc Dt
Kp Ak Dt Wc Wt Dk Ap Kc
Wc Dt Ak Kp Kc At Dk Wp
Dt Wc Kp Ak Dp Kc Wt Ak

A więc w którym układzie jest to niemożliwe?
Może czegoś nie zrozumiałem?

[OlaGM]

Vertehellu, karty się u Ciebie powtarzają, a nie powinny. Masz do dyspozycji takie karty, jak są w talii – tylko jeden as karo, tylko jeden as pik itd. Drugi układ jest nie do rozwiązania, zapewne dlatego że ma na jednej z przekątnych różne kolory. Pozdrawiam 🙂