Kwartecik
W matematyce rekreacyjnej dość często pojawiają się tematy dotyczące konkretnych liczb lub małych grup liczb wyróżniających się jakoś własnościami. W „poważnej” matematyce to rzadkość, bo powaga dotyczy z reguły ogólniejszych zagadnień, zaś konkretne liczby bywają co najwyżej przykładami. Jako mało poważny matematyk-amator zainteresowałem się ostatnio 4-cyfrowymi liczbami złożonymi z tyluż różnych cyfr, tworzących zbiór (a właściwie zbiorek) – {0, 1, 8, 9}, czyli zawierający dwie najmniejsze i dwie największe cyfry systemu liczbowego naszego powszedniego. Liczb takich jest 18 i są one w większości na tyle ciekawe, że postanowiłem nawet poświęcić im dłuższy artykuł, który zapewne pojawi się w jednym z najbliższych numerów „Świata Nauki”. A tymczasem jego krótka zajawka.
Wszystkie liczby naturalne dzielą się na multiplikatywne rodki i multiplikatywne samorodki. Rodka można utworzyć dodając do jakiejś mniejszej od niego liczby (zwanej generatorem G) iloczyn cyfr G, ale z pominięciem zawartych w generatorze zer. Jeśli wykluczymy generatory jednocyfrowe oraz takie, w których tylko jedna cyfra jest większa od zera (w przeciwnym wypadku trzeba by założyć, że iloczyn cyfr liczby jednocyfrowej równy jest tej liczbie, co jednak nie byłoby takie całkiem bez sensu), to najmniejszym rodkiem będzie 12 (G=11, 11+1×1=12). Samorodek jest przeciwieństwem rodka, czyli nie może zostać w opisany sposób powity, bo nie ma swojego G; najmniejszym samorodkiem jest oczywiście 1. Wśród osiemnastu kwartetów, o których mowa, czyli anagramów 0189 samorodkami są: 9018, 9081, 9108, 9801 i 9810.
Do niektórych rodków przyznaje się więcej niż jeden generator. Najmniejszym z dwoma generatorami jest 26=18+8=22+4, a najmniejszym z trzema 102=66+6×6=74+7×4=101+1×1.
Który rodek-anagram 0189 (bez zera na początku) jest najbogatszy w generatory G i ile ich jest?
Komentarze
Najbogatszą w generatory jest liczba 1098, ma ich bowiem 5:
874 + 8x7x4 = 874 + 224 = 1098,
936 + 9x3x6 = 936 + 162 = 1098,
972 + 9x7x2 = 972 + 126 = 1098,
1058 + 1x5x8 = 1058 + 40 = 1098,
1082 + 1x8x2 = 1082 + 16 = 1098.
Liczebności generatorów 0189-liczb są takie (0 – samorodek):
1089 1
1098 5
1809 1
1890 1
1908 2
1980 3
8019 1
8091 2
8109 2
8190 1
8901 2
8910 2
9018 0
9081 0
9108 0
9180 2
9801 0
9810 0
Najbogatsza jest 1098 z 5-ma generatorami:
874
936
972
1058
1082
1. 1098=874+224
2. 1098=936+162
3. 1098=972+126
4. 1098=1058+40
5. 1098=1082+16
1980 powstaje z 3 samorodków: 1917, 1908 i 1836.
Nie podjęłam się szukać na piechotę.
Parę linijek kodu i wyszło:
1098, 5 samorodków
Wszystkiego Dobrego w Święta i na Nowy Rok.
1098 powstaje z 5 samorodków: 874, 936, 972, 1058 i 1082.
Najbogatsza w generatory jest liczba 1098:
G = {874, 936, 972, 1058, 1082}
1098 = 1082 + 1*8*2 = 1058 + 1*5*8 = 972 + 9*7*2 = 936 +9*3*6 = 874 + 8*7*4
[rodek, generator]
[1089, 1081]
[1098, 874]
[1098, 936]
[1098, 972]
[1098, 1058]
[1098, 1082]
[1809, 1801]
[1890, 1850]
[1908, 1588]
[1908, 1860]
[1980, 1836]
[1980, 1908]
[1980, 1917]
[8019, 8011]
[8091, 8019]
[8091, 8051]
[8109, 8061]
[8109, 8101]
[8190, 8150]
[8901, 7389]
[8901, 8581]
[8910, 6966]
[8910, 7398]
[9180, 9108]
[9180, 9117]