S & P

6 lutego 2021
Marek Penszko

Dziś będzie o nowym problemiku z teorii liczb – oczywiście teorii rekreacyjnej.
Zacznę od przykładu, który zaczyna się od pary liczb – 6 i 7. Ich suma równa jest 13, a iloczyn 42. Cztery cyfry, tworzące oba te wyniki są – i to stanowi clou problemu – różne i kolejne: 1, 2, 3, 4. I już można sformułować zapowiedziany problemik, który ma postać zadania.
Suma dwóch liczb x i y (całkowitych, nieujemnych) równa jest S, zaś iloczyn tych liczb równy jest P. Liczby S i P składają się łącznie z n różnych, kolejnych cyfr. Jakimi liczbami są x i y dla różnych wartości 2≤n≤9?
Gdy n=2, to S i P są jednocyfrowe, a więc 0< S, P ≤9 oraz S=P±1. Stąd wzory:
x+y=S
x*y=S±1
czyli xy-x–y=±1. Równanie to spełniają pary [x,y]=[1,k], gdzie 0≤k≤8 oraz para [2,3].

Gdy n=3, to S jest jednocyfrowa, a P dwucyfrowy (lub odwrotnie), ale taki przypadek ma miejsce tylko dla par [x,y] = [1,9], [2,5-7], [3,4-6], [4,3-5], [5,2-4], [6,2-3], [7,2]. Żadna z tych par nie tworzy S i P złożonych z różnych kolejnych cyfr.
Dalej analiza się nieco komplikuje, więc podaję tylko znane mi przykłady.

Przypadek n=4 jest początkowym przykładem, czyli:
x=6, y=7
6+7=13, 6*7=42; cyfry – [1,2,3,4]

Dla n=5 x=3, y=40
3+40=43, 3*40=120 ; cyfry – [0,1,2,3,4]
lub x=4, y=41
4+31=35; 4*31=124; cyfry – [1,2,3,4,5]

n=6 (?)

Dla n=7 x=3, y=342 3+342=345, 3*342=1026; cyfry – [0,1,2,3,4,5,6]

n=8,9,10 (?)
Czy ktoś z Państwa pokusiłby się o próbę uzupełnienia tego wywodu innymi przykładami? Uwagi ogólne oczywiście także będą mile widziane.

Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.