Większe grono
Winogronowa łamigłówka z poprzedniego wpisu była bliska szkolnemu zadaniu. Sądzę, że mogłaby z powodzeniem znaleźć się w podręczniku do klasy… nie wiem której, w rozdziale poświęconym rozwiązywaniu prostych, liniowych równań diofantycznych.
Wyindukowanie podstawowej zasady było dziecinnie proste (kłania się trójkąt Pascala), natomiast z warunkiem dodatkowym sprawa jest rzeczywiście niejednoznaczna, bowiem przykład nie wymaga takiego warunku – ma jedno rozwiązanie bez żadnej szczególnej „podpórki” (poza oczywistymi, np. liczby muszą być całkowite i nieujemne, a więc w przykładzie odpadło np. rozwiązanie z [-3, 22, -5] w pierwszym rzędzie). Gdyby ograniczyć się do indukowania – a należałoby, bo tylko do tego sprowadzają się reguły indugadki – to wypada przyznać rację Esteonowi, że rozwiązania są cztery. Czemuż by jednak trochę nie poluzować reguł i nie uzupełnić zabawy o dedukcję. Inaczej mówiąc, proponuję wczuć się w rolę układającego, któremu zależy na tym, aby zadanie było nienaganne formalnie oraz w miarę eleganckie. Powinno zatem mieć jedno rozwiązanie, a gwarantujący to warunek dodatkowy powinien być jak najprostszy oraz taki, aby można zeń zgrabnie skorzystać w trakcie rozwiązywania, a nie po. Nie powinno więc być tak, by konieczne było znajdowanie wszystkich rozwiązań, a dopiero potem sprawdzanie, które z nich spełnia dodatkowy warunek.
W komentarzach z rozwiązaniami pierwszego grona prawie nikt „autorskiego” warunku nie podał (poza Antypem, którego komentarza na razie nie ujawniłem), więc pozostaje do rozszyfrowania. Tym razem przykładem jest poprzednie zadanie, a zadaniem grono nieco większe i nie tak lekkostrawne.
W rozwiązaniu wystarczy oczywiście podać cztery liczby w rzędzie pod szypułką.
Komentarze
Pewnie chodzi o to, że liczby w pierwszym rzędzie są 1-cyfrowe, zgadza się?
rozwiązanie:
1, 6, 3, 5
Tak
Zadanie jest dość proste. Jeżeli w górnym rzędzie wprowadzimy oznaczenia dla liczb: a,b,c,d to po sumowaniu otrzymamy układ trzech równań:
2a+b=8
b+3c+3d=30
5a+10b+10c+5d=120
Liczby a,b,c,d są całkowite dodatnie (naturalne).
Po uproszczeniu mamy:
(1) b=8-2a
(2) b=30-3c-3d=3*(10-c-d)
(3) a+2b+2c+d=24
Z (1) a może być równe tylko 1,2 albo 3, czyli b odpowiednio 6,4,2.
Z (2) wynika, że b jest podzielne przez 3, więc b=6 oraz a=1.
Po podstawieniu a i b do (2) oraz (3) i uproszczeniu otrzymamy
(2) c+d=8
(3) 2c+d=11
Z tego układu równań c=3 i d=5
__01__06__03__05__
01__07__09__08__05
__08__16__17__13__
____24__33__30____
______57__63______
_______120________
Pierwsza linijka to 1, 6, 3 i 5.
To zadanie ma tylko „jedno” rozwiązanie, nie trzeba tu stawiać dodatkowych warunków (oprócz tego, że a, b, c i d należą do zbioru liczb rzeczywistych)
ampfirion:
jesli „a, b, c i d mają nalezec tylko do zbioru liczb rzeczywistych”, to przy takim warunku i zadanie i przyklad mialyby rozwiazan skolko ugodno.
Warunek powinien byc taki, aby nie tylko zadanie, ale tez przyklad mial jedno rozwiazanie.
a
PS przypuszczam ze to przejezyczenie i chodzilo nie o liczby „rzeczywiste” tylko o jakies inne.
1 6 3 5
Dla zadania ukrytego:
2 6 4 2
1,6,3,5
4,0,10,0
Przy czym sensowniejsze wydaje się być to pierwsze rozw.
1,6,3,5
Przyjąłem, że dodatkowy warunek to „w rzędzie pod szypułką są tylko cyfry”.
Andy, oczywiście masz rację. Chodziło mi nie o liczby rzeczywiste, tylko o naturalne.
Jeśli przykład też ma mieć jedno rozwiązanie, to może być na przykład tak, że pierwsze winogrono od lewej w rzędzie pod szypułką musi być kwadratem liczby naturalnej.
Oczywiście kwadratem liczby nieparzystej, w przypadku naturalnej będą dwa rozwiązania dla przykładu.
No nie, źle się poprawiłem. Wystarczy, żeby był to kwadrat liczby naturalnej, choć oczywiście równie dobrze może być kwadrat liczby nieparzystej. Spojrzałem ze złej strony na przykład i przez to wydawało mi się, że popełniłem błąd.
Te moje błędy i pomyłki to pewnie przez zmęczenie, wczoraj wróciłem z obozu.
1 6 3 5
pzdr