Mordellstwo

21 listopada 2012
Marek Penszko

0, 1, 8, 97336 (46^3) – to ciąg rosnący sześcianów, w którym suma każdych dwóch kolejnych wyrazów jest kwadratem. Proponując w poprzednim wpisie zagadkę, polegającą na wykazaniu, że to cały ciąg, czyli następnego wyrazu nie ma, zdecydowanie przegiąłem – przyznaję się ze skruchą. W gruncie rzeczy taka „zagadka” sprowadza się do udowodnienia, że tzw. równanie Mordella – y^2 = x^3 + k – ma dla k = 97336 tylko jedno rozwiązanie w liczbach naturalnych (y = 312, x = 2).

Nie ma, niestety, uniwersalnego sposobu dowodzenia, że równanie Mordella nie ma rozwiązań albo ma ich określoną liczbę. Jest to stosunkowo proste tylko przy pewnych wartościach k, dla których równanie nie ma rozwiązań – zwłaszcza wówczas, gdy można określić parzystość x i y. Nie tak trudno na przykład udowodnić, że równanie y^2 = x^3 + 97333 nie ma rozwiązania, zaczynając od założenia, że y jest nieparzyste. Takie założenie prowadzi do sprzeczności: x^3=4 (mod8), czyli reszta z dzielenia sześcianu przez 8 nie może być równa 4 (dlaczego?). Stąd wniosek, że jeśli rozwiązanie istnieje, to y jest parzyste, a x nieparzyste. Dalsza droga dowodzenia – w tym przypadku braku rozwiązań – nie jest wprawdzie lekka i prosta, ale dla absolwenta ogólniaka, który uważał na lekcjach matematyki – do przejścia.

Natomiast w przypadku równania y^2 = x^3 + 97336 sprawa jest na tyle skomplikowana, że najlepszym „dowodem” unikalności podanego wyżej rozwiązania (pomijam trywialne y = 0, x = -46) wydaje się jednak skorzystanie z profesjonalnego kalkulatora, umożliwiającego znajdowanie liczb całkowitych, stanowiących rozwiązania równań krzywych eliptycznych. Takim kalkulatorem jest np. australijska MAGMA.

Zaciekawiło mnie, czy ciąg utworzony na takiej zasadzie, jak powyższy, może być dłuższy. W OEIS takich ciągów nie ma, więc zacząłem się bawić sześcianami i krzywą Mordella, korzystając z MAGMY.
Oto najdłuższy ciąg, jaki wystukałem:

10^3, 65^3, 260^3, 1040^3, 1456^3, 6358352^3, 12712337^3,…

i prawdopodobnie to nie jest koniec, tylko że darmowa wersja MAGMY nie chce szukać ósmego wyrazu dłużej niż 2 minuty. Może ktoś z komputerowców ją wyręczy :), choć to zajęcie szalone, jak zresztą większość poczynań w teorii liczb, która właściwie zaczyna się od takich gigantów (siódmy wyraz zapisany w całej okazałości składa się z 22 cyfr, a suma szóstego i siódmego = 48077206969^2).
Zanim w następnym wpisie powrócę do „normalnych” łamigłówek, na deser jeszcze jedna „ciągotka”.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – to najdłuższy rosnący ciąg arytmetyczny, w którym każda cyfra występuje tylko raz. Proszę znaleźć najkrótszy (nie mniej niż trzy wyrazy) rosnący ciąg arytmetyczny o takiej samej własności, w którym różnica między wyrazami będzie największa.

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.