Potęga potęg
Zdaniem Gaussa matematyka jest królową nauk, a królową matematyki jest teoria liczb. Można mieć wątpliwości do drugiej części tego stwierdzenia, ale wypada uznać, że na dworze teorii liczb pierwszeństwo należy się liczbom pierwszym, a o potędze dworu decydują między innymi potęgi. Spektakularnym przejawem potęgi potęg jest choćby wielkie twierdzenie Fermata, a w ostatnich latach także twierdzenia związane z ciągiem potęgowym, czyli złożonym z wszystkich liczb o wzorze ogólnym x^a, gdzie x i a to liczby całkowite dodatnie oraz a >= 2. Oto pierwsza setka:
1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1331, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1728, 1764, 1849, 1936, 2025, 2048, 2116, 2187, 2197, 2209, 2304, 2401, 2500, 2601, 2704, 2744, 2809, 2916, 3025, 3125, 3136, 3249, 3364, 3375, 3481, 3600, 3721, 3844, 3969, 4096, 4225, 4356, 4489, 4624, 4761, 4900, 4913, 5041, 5184, 5329, 5476, 5625, 5776, 5832, 5929, 6084, 6241, 6400.
Ciąg jest oczywiście zdominowany przez kwadraty i sześciany. Inne potęgi, których wykładniki nie są wielokrotnością 2 ani 3, tkwią w nim jak rodzynki w cieście (wytłuszczone). Matematycy od dawna próbują doszukiwać się w tym nie kończącym się ogonku różnych prawidłowości, zwracając szczególną uwagę na różnice między kolejnymi liczbami.
W XVII wieku Fermat wysunął hipotezę, że 25 i 27 to jedyna para kwadrat-sześcian różniąca się o 2, po czym wyzwał dwóch uczonych angielskich (John Wallis, Kenelm Digby) na pojedynek polegający na znalezieniu dowodu twierdzenia sformułowanego nieco bardziej łamigłówkowo: 26 jest jedyną liczbą „wciśniętą” między kwadrat i sześcian. Formalnie należało wykazać, że równanie y^2 = x^3 – 2 ma tylko jedno rozwiązanie dla liczb całkowitych dodatnich: 5^2 = 3^3 – 2. Sprytny Fermat nie mógł przegrać, gdyż trudny, wieloetapowy dowód przygotował sobie wcześniej. Koniec końców zapewniło mu to zwycięstwo, bo Anglicy poddali się.
Czy słuszna jest także szersza hipoteza, że 26 to jedyna liczba wciśnięta miedzy dwie potęgi? Nie ma co do tego pewności i pewnie jeszcze długo nie będzie. W roku 2002 rumuński matematyk Pred Mihăilescu udowodnił bliźniaczą hipotezę z roku 1844, zwaną przypuszczeniem Catalana: 8 i 9 to jedyna para potęg, które są do siebie przytulone, czyli niczego między nie nie wciśnięto, nic ich nie dzieli. Inaczej mówiąc: jedynym rozwiązaniem równania x^a – y^b = 1 jest 3^2 – 2^3 = 1.
Po wzmiankach o dowodach ekstremalnie trudnych pora na zadanie potęgowe ekstremalnie rozrywkowe.
Z okazji nieokrągłej n-tej rocznicy szaleństwa pewien zwariowany matematyk wydał bankiet, na który zaprosił n znajomych. Program bankietu obfitował w odjazdowe pomysły, a wstęp mieli tylko ci, którzy na zaproszeniu wpisali liczbę równą n^15 obliczoną… ręcznie. Liczenie „na piechotę” miało być wykonane w obecności notariusza i poświadczone przez niego stemplem i podpisem umieszczonymi na zaproszeniu pod wynikiem. Wbrew pozorom rachowanie nie było zbyt żmudne. Wystarczyło wykonać pięć działań: n x n, n^2 x n^2, n^4 x n^4, n^8 x n^8, n^16 : n. Na bankiecie było więc tłumnie, a szalonego matematyka zirytował nadmiar gości i postanowił radykalnie zaostrzyć kryteria wstępu w kolejnym roku. Zarządził, aby na zaproszeniu pojawiła się liczba (n+1)^1000. Normalniejsi koledzy z trudem mu wyperswadowali, że w takiej sytuacji na bankiet nie dostanie się nikt, choćby dlatego, że „wejściówka” będzie długim zwojem zapisanym cyframi, a sprawdzenie, czy liczba jest właściwa, zajmie więcej czasu, niż bankiet. Zaproponowali, aby na zaproszeniu wpisywać liczbę określającą, ile co najmniej działań należy wykonać, aby obliczyć wartość (n+1)^1000. Zwariowany matematyk przystał na to.
Jaką liczbę wpisaliby Państwo, aby mieć zapewnione bankietowanie?
Komentarze
Zapewne 12.
12
10 razy kolejne liczby do kwadratu, mamy potęgę 1024, nastepnie pomnożyłbym wyniki potęg 8 i 16, by mieć potęgę 24 i finalnie potęgę 1024 podzieliłbym przez potęgę 24
pozdrawiam
Czyzby 13?
n+1
(n+1)*(n+1)
(n+1)^2*(n+1)^2
(n+1)^4*(n+1)^4
(n+1)^8*(n+1)^8
(n+1)^16*(n+1)^16
(n+1)^32*(n+1)^32
(n+1)^64*(n+1)^64
(n+1)^128*(n+1)^128
(n+1)^256*(n+1)^256
(n+1)^512*(n+1)^512
(n+1)^1024*(n+1)^8
(n+1)^1032/(n+1)^32
12
Na pewno mozna tak:
(n+1)^2, ^4, ^8, ^16, ^32, ^64, ^128, ^256, ^512, ^1024;
(n+1)^1024/^16, wynik/^8. Voila…
Po namysle stwierdzam, ze szybciej (z ta sama iloscia dzialan) byloby tak:
(n+1)^2, ^4, ^8, ^16, ^32, ^64, ^128, ^128/^2, ^126/^1, ^250, ^500, ^1000.
Mysle, ze rozwiazanie Agnieszki jest dobre… tyle ze pozostali nie uznali dodawania „jedynki” jako akcji na tyle powaznej, by nazwac ja dzialaniem.
Pojawia się pytanie: co nazwiemy „działaniem”, a co nie.
Jeśli potęgowanie uznamy za działanie elementarne, to wystarczy nam jedno działanie 🙂
Jak sądzę, w tym miejscu będą protesty, że nie umiemy potęgować „w pamięci”, więc żaden notariusz takiego obliczenia nie przyjmie.
W takim razie mnożenie i dzielenie także nie zasługują na miano działań, bo w zależności od tego, jak długie liczby mnożymy, zajmuje to nam różną ilość czasu.
„Szkolne” sposoby dodawania, mnożenia i dzielenia pisemnego opierają się generalnie na tym, że w pamięci mamy tabliczkę mnożenia i dodawania liczb jednocyfrowych. Cyfra, którą zapisujemy w trakcie obliczeń na kartce jest wynikiem takiej właśnie elementarnej pamięciowej operacji. Do pomnożenia dwóch liczb: m- i n- cyfrowej wykorzystamy z grubsza m*n pomocniczych kratek na kartce. Do dzielenia mniej więcej tyle samo, bo do obliczeń pamięciowych wykorzystujemy wielokrotności dzielnika, które też trzeba wyliczyć. Dodawanie pisemne jest dużo mniej „papierożerne”, bo potrzeba tylko n sumowań cyfr
Dlatego w podanym przykładzie zastąpienie ostatnich dwóch działań
n^16=n^8 *n^8
n^15=n^16:n
trzema działaniami
n^3=n*n^2
n^7=n^3*n^4
n^15=n^8*n^7
najprawdopodobniej znacząco zmniejszy nakład pracy notariusza i ilość papieru, jaki gość będzie musiał ze sobą przynieść 🙂
n * n = n^2
n^2 * n^2 = n^4
n^4 * n = n^5
n^5 * n^2 = n^10
n^10 * n^10 = n^100
n^100 * n^10 = n^1000
Do Tomka:
Jak mnozysz:
n^4*n, to Ci wyszlo n^5 (czyli dodajesz potegi)
a jak mnozysz
n^5*n^2 to juz nie dodajesz, ale mnozysz potegi.
To chyba tak nie dziala 😉
Aby znaleźć się na bankiecie u zwariowanego matematyka wpisałbym na zaproszeniu liczbę działań wykonanych (nie podanych) przez Agnieszkę.
Zadanie wydaje się podejrzanie łatwe, więc spodziewam się niespodzianki w postaci niewpuszczenia mnie na bankiet.
Niektóre działania Tomka są zbyt optymistyczne.
Pozdrawiam
Mnie też wyszło 13 (bo u Agnieszki 13 działanie, to chyba początkowe dodawanie n+1. Inaczej to sobie zapisałem:
a=(((n+1)^2)^2)^2
b=((a^2)^2)^2
c=a*b*b^2
d=c*(c^2)^2
d=(n+1)^1000
No i teraz wystarczy policzyć wszystkie znaczki inne niż litery, znaki równości oraz nawiasy (oczywiście tylko w pierwszych 4 wierszach 🙂
Pozdrawiam!
Jak napisał Gospodarz tego blogu zadanie jest ekstremalnie rozrywkowe. Zatem zaproponuję takąż odpowiedź.
Najpierw mały wstęp:
– dwa w systemie dwójkowym to 10. Pomnożenie liczby dwójkowej przez dwa to dopisanie do niej cyfry 0,
– dziesięć w systemie dziesiętnym to 10. Pomnożenie liczby dziesiętnej przez 10 to też dopisanie zera i tak jest w każdym układzie.
Zatem proponuję:
1. Zapiszmy liczbę n+1 w systemie „n_plus_jedynkowym” Będzie ona zapisana tak: 10 (kto nie wierzy niech sprawdzi).
2. Podniesienie jej do tysięcznej potęgi to dopisanie 999 zer.
Zatem nie wykonuję ŻADNEGO działania arytmetycznego. No przecież dopisywania zer nie będziecie Państwo traktowali jako arytmetycznego działania 😉
Serdecznie pozdrawiam,
Jazz_off