Abstrakcyjnie

21 listopada 2007
Marek Penszko

Rzec by można, wykonałem wczoraj kawałek solidnej, nikomu nie potrzebnej roboty. Chodzi o pewną graficzną dłubaninę. Oto jej efekt.

rek_2.JPG 

Co to jest? Taka zagadka mogłaby być, ale bez dodatkowych wyjaśnień za poprawną wypadałoby uznać niejedną odpowiedź. Na przykład taką, że to rezultat jakiejś abstrakcyjnej obsesji wykonawcy. W dodatku abstrakcja jest nietypowa, bo symetryczna, a symetria, jak nie pamiętam kto powiedział, to estetyka idiotów. Czy dotyczy to także symetrii śrubowej?

Istotne, że jestem tylko wykonawcą, natomiast autorem – że tak powiem: projektu – jest pewien Japończyk. Obrazek stanowi ilustrację do artykułu dotyczącego matematyki rozrywkowej i przedstawia… rekord. Pokrótce wyjaśnię w czym rzecz.

Rysując na płaszczyźnie n prostych tak, że żadne dwie nie będą równoległe i żadne trzy nie przetną się w tym samym punkcie, podzielimy płaszczyznę na (n^2+n+2)/2 obszarów. Spośród nich 2n będzie częściami płaszczyzny niecałkowicie ograniczonymi, pozostałe, czyli (n^2-3n+2)/2 to wieloboki – chodzi wyłącznie o te „puste”, nie obejmujące mniejszych wieloboków, czyli nie przecięte linią. Dokładnie 90 lat temu Japończycy wymyślili problem: jaka największa liczba trójkątów (T) może być wśród tych wieloboków, gdy prostych jest n. Problem pozostaje nierozstrzygnięty, to znaczy nie jest znany wzór, także rekurencyjny, określający zależność między T a n. Natomiast bite są rekordy dla kolejnych n. Powyższa gwiaździsta abstrakcja przedstawia ostatni rekord, sprzed dwóch lat – n=15, T=65. Kolory służą oczywiście tylko podkreśleniu symetrii śrubowej. Niektóre trójkąciki są tycie, przyda się lupa. Łatwo udowodnić, że 65 stanowi maksimum dla 15 prostych. Do bicia są rekordy dla n=14 oraz dla wszystkich n>15; pozostałe już ustanowiono.

Jaką nazwę nosi opisany problem – to jedna zagadka (odpowiedź można znaleźć w Internecie). A drugą jest poniższe zadanko – już poniekąd noworoczne.

Na płaszczyźnie poprowadzono n prostych. Każda z nich przecina dokładnie 2008 innych prostych. Znajdź n jeśli wiadomo, że liczba ta dość często pojawia się w mediach.