Od tercetu do septetu

18 listopada 2007
Marek Penszko

Wszystkich zadań jest 18 – uszeregowanych według wzrastającego stopnia trudności. Pięć pierwszych rozwiązują uczniowie trzeciej klasy podstawówki. Od siódmego zaczyna się zestaw dla matematyków i informatyków. Pozostali także znajdą swoją kategorię – w zależności od wieku i wykształcenia – wraz z przyporządkowaną jej porcją zadań.
Przy pierwszym przeglądaniu całości najbardziej spodobało mi się zadanie 16 – najtrudniejsze w mojej kategorii (dorośli, ale nie studenci i nie zawodowcy). Chodzi w nim o znalezienie kwartetu liczb pierwszych, których suma także jest liczbą pierwszą, a w zapisie dodawania żadna cyfra się nie powtarza. Rozwiązywacz ze mnie przeciętny, ale po uporaniu się z zadaniem w trzy minuty poczułem się prawie jak matematyk. Mina mi zrzedła, gdy okazało się, że niewykluczone, iż rozwiązań jest przynajmniej kilka i trzeba podać ile. Jednak po pół godzinie mrówczej pracy pokonałem także i tę przeszkodę. Teraz zmagam się z następnym, czyli siedemnastym zadaniem, które przynajmniej teoretycznie mnie przerasta. Na planszy do chińskich warcabów, zwanych u nas także trylmą, trzeba ustawić jak najwięcej pionków tak, by wykonując jedno bicie jednym pionkiem, zbić wszystkie pozostałe. To już nie przelewki, jedno podejście nie wystarczy.
Do ostatniego zadania chyba się nie zabiorę. Wymiękłem po przeczytaniu. Tekst jest dość zawiły, więc nawet nie próbuję wyjaśniać, o co w nim chodzi. Proszę zajrzeć samemu na stronę I etapu eliminacji do XXII Międzynarodowych Mistrzostw w Grach Matematycznych i Logicznych. I oczywiście proszę zapoznać się z pozostałymi zadaniami, a następnie, po pierwsze – znaleźć swoją kategorię i wziąć udział w Mistrzostwach, po drugie – namówić innych, zwłaszcza młodzież, do udziału. Do zakończenia eliminacji jest jeszcze sporo czasu – prawie miesiąc. Warto też przeczytać relację i obejrzeć zdjęcia z paryskich finałów ubiegłorocznych mistrzostw.

Wracając do poprzedniego wpisu, zamieszczone w nim zadanie należy do problemów szachowych dość znanych w łamigłówkowym światku, a to za sprawą Martina Gardnera, który opublikował je na łamach Scientific American w 1961 roku. Po raz pierwszy pojawiło się w piśmie Die Rätselstunde w 1952 roku. Autorem jest znany niemiecki kompozytor szachowy Karl Fabel. Osoby zgłaszające zastrzeżenia dotyczące obecności na szachownicy dwóch białopolowych białych gońców zapominają, że taka sytuacja jest możliwa po promocji pionka na gońca. Zadanie to pojawiło się później w kilku zbiorkach łamigłówek, a w jednym z nich znalazłem przybliżoną ocenę umiejętności rozwiązujących w zależności od czasu uporania się z tą „jednochodówką”. W miarę doświadczonym solwerom wystarczają 1-2 minuty, nowicjuszom (także tym, którzy twierdzą, że rozwiązania nie ma) – 15-20 minut.

Na koniec jak zwykle coś do główkowania, choć obawiam się, że tym razem zadanie jest wyjątkowo trudne. Otóż brnąc przez listopadowe zaspy (w moich górach padało trzy dni bez przerwy) po uporaniu się ze wspomnianym wyżej zadaniem 16 z eliminacji do Mistrzostw, wymyśliłem takiego oto supertwardego orzecha:

Pięć liczb pierwszych spełnia następujące dwa warunki:
1) każda para tych liczb, po ustawieniu obok siebie w dowolnej kolejności, tworzy liczbę pierwszą;
2) ich suma jest liczbą pierwszą najmniejszą z możliwych.
Jakie liczby tworzą ten kwintet?

Gdyby chodziło o tercet spełniający podane warunki, sprawa była prosta: 3, 37, 67. Wszystkie „składane” liczby są pierwsze (337, 367, 373, 673, 3767, 6737), a tercetu liczb pierwszych, którego suma jest mniejszą liczbą pierwszą niż 107 (chyba) nie ma – oczywiście uwzględniając pierwszy warunek.
Analogiczny kwartet nie istnieje. Dlaczego – chyba nie muszę wyjaśniać (kłania się zadanie 16 z eliminacji).
Natomiast jestem prawie pewien, że szukanie kwintetu „na piechotę” jest zajęciem benedyktyńskim, więc zapewne bez algorytmu i programu się nie obejdzie. A może rozwiązanie, jak w przypadku kwartetu, także nie istnieje, choć oczywiście z jakiegoś innego powodu.

Zaś dla tych z Państwa, którzy zadaniem z kwintetem poczują się zniesmaczeni, na deser coś w rodzaju mini-testu inteligencji – z septetem liczb pierwszych. Największym bystrzakom na rozwiązanie wystarcza pół minuty; 1-2 minuty – czwórka, 2-3 minuty – dostateczny. A zatem – start!

Proszę podzielić septet {2  3  5  7  11  13  17} na dwa takie „zespoły”, by iloczyny liczb w obu różniły się o jeden.