Bezkwadratowo
Jaki powinien być 21. wyraz w poniższym ciągu?
2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24,…
Pytanie niemal trywialne. Wystarczy zauważyć, że to ciąg liczb naturalnych pozbawiony kwadratów, zatem na 21. miejscu powinno być 26.
Znacznie trudniej uporać się z 16. wyrazem następującego ciągu:
2, 3, 5, 8, 10, 12, 18, 19, 21, 27, 29, 32, 38, 40, 42,…
Tu nie tylko brak kwadratów, ale – co odkryć niełatwo – kwadratem nie jest suma żadnych dwóch wyrazów. Wypada jeszcze dodać (choć początek ciągu na to wskazuje, ale dalej może być różnie), że to ciąg rosnący, a co istotniejsze: każdy kolejny wyraz jest najmniejszym możliwym.
Następnym etapem mógłby być ciąg spełniający takie same warunki oraz dodatkowo brak kwadratów także wśród sum trzech dowolnych wyrazów: 2, 3, 5, 10, 19, 38, 48,….
Pierwsze zadanie domowe dotyczy ciągu z tej samej rodziny, ale „ekstremalnego” – chodzi o utworzenie jego początkowego fragmentu (do pierwszego wyrazu 3-cyfrowego). Analogicznie do poprzednich ciągów ten także powinien być rosnący, z najmniejszym możliwym każdym kolejnym wyrazem i bez kwadratów solo oraz bez kwadratów jako sumy dowolnej liczby wyrazów. Rozwiązywanie, czyli szukanie kolejnych wyrazów wymaga cierpliwości i uwagi w trakcie wykonywania serii prostych działań. Choć to zajęcie schematyczne i żmudne, stanowi podobno znakomity trening szarych komórek (tak przynajmniej twierdzi japoński neurobiolog Ryuta Kawashima).
Drugie zadanie jest bardziej logiczne i mniej mrówcze.
N różnych liczb od 1 do N podzielono na dwie grupy. Suma dwu liczb w żadnej grupie nie jest kwadratem. Jaka jest wartość N, jeśli jest ona największą możliwą?
Mrówczo byłoby, gdyby liczby od 1 do N podzielić na trzy grupy.
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
N=14
Podział:
1, 2, 4, 6, 9, 11, 13
3, 5, 7, 8, 10, 12, 14
15 nie da się dodać do żadnej grupy, bo 1+15=16, a 10+15=25.
Należałoby rozpatrzyć jeszcze przypadek, że 1 i 10 są w tej samej grupie. 3 musi być w drugiej grupie (bo 1+3=4). Nie da się wówczas umieścić 6, bo 10+6=16, a 3+6=9.
Zadanie 1.
[2, 3, 5, 10, 27, 38, 120, 258, 907, 2030, 3225, 8295, 15850,…]
Zadanie 2.
N=14
Jedyny możliwy podział zbioru Z = [1,2,…,13,14]:
A = [1, 2, 4, 6, 9, 11, 13]
B = [3, 5, 7, 8, 10, 12, 14]
Ciąg „ekstremalny” to:
2, 3, 5, 10, 27, 38, 120
Drugie zadanie: N = 14, ponieważ:
1. trójka nie może być z jedynką,
2. szóstka nie może być z trójką (czyli jest z jedynką),
3. dziesiątka nie może być z szóstką (czyli nie jest z jedynką),
4. piętnastka nie może być ani z jedynką, ani z dziesiątką i jest to pierwsza taka antynomia.
Zadanko 1
[2, 3, 5, 10, 27, 38, 120, 258, 907]
Odnośnie drugiego zadania to już dla N większych równych 15 się nie da bo
6 i 10 muszą być osobno
3 musi być tam gdzie 10
1 musi być tam gdzie 6
Czyli 1 i 10 są osobno
I w związku z tym 15 nie da się nigdzie wsadzić
A dla 14 się da:
1 6 13 9 2 4 11
10 3 8 12 7 14 5
Trzecie zadanie, mrówcze, z podziałem na trzy grupy. Największy podział jaki udało mi sie znaleźć to:
A=[1, 2, 5, 10, 12, 21, 22, 29, 30, 32, 33, 38, 40, 45, 46, 50, 53, 56, 58, 61, 64, 66, 73, 74, 82, 84]
B=[3, 4, 7, 8, 11, 15, 16, 19, 23, 24, 27, 31, 35, 36, 39, 43, 44, 47, 51, 52, 55, 59, 63, 67, 68, 72, 75, 79, 80, 83]
C=[6, 9, 13, 14, 17, 18, 20, 25, 26, 28, 34, 37, 41, 42, 48, 49, 54, 57, 60, 62, 65, 69, 70, 71, 76, 77, 78, 81, 85]
Czy ktoś zmagał się z tym zadaniem ???