Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

17.01.2019
czwartek

Co za rok!

17 stycznia 2019, czwartek,

Jakoś nie mogę się rozstać z tegoroczną liczbą. Tym razem występuje ona w roli przykładu i pojawia się za sprawą Andrzeja111, który podał link do I etapu XVI Mistrzostw Polski w Grach Matematycznych i Logicznych, zwracając uwagę na zadania, w których gości 2019. Oto jedno z nich, trzecie od końca, czyli teoretycznie bliskie twardszym orzechom.

16. Konkatenacja
Liczba 2019 jest iloczynem dwóch liczb pierwszych: 3 i 673. Jeżeli zapisze się kolejno cyfry tych liczb na oba możliwe sposoby : 3673 i 6733, otrzyma się znów dwie liczby pierwsze. Jaka jest najmniejsza liczba całkowita dodatnia, będąca iloczynem trzech (niekoniecznie różnych) liczb pierwszych, taka, że wszystkie liczby powstałe z zapisania kolejno cyfr tych trzech czynników są pierwsze? Przypominamy, ze liczba pierwsza to taka, która ma dokładnie dwa dzielniki całkowite dodatnie.

Tekst zadania, tłumaczony z francuskiego, jest, łagodnie mówiąc, niezbyt precyzyjny, choć nietrudno się zorientować o co chodzi. Pozwolę sobie jednak zaproponować własne tłumaczenie.

Liczba 2019 jest iloczynem dwóch liczb pierwszych: 3 i 673. Jeżeli połączymy te dwa czynniki na dwa możliwe sposoby (takie połączenie nazywamy konkatenacją), otrzymamy dwie liczby pierwsze: 3673 i 6733. Jaka jest najmniejsza liczba, będąca iloczynem takich trzech liczb pierwszych (niekoniecznie różnych), których wszystkie możliwe konkatenacje także są liczbami pierwszymi?

Można też sformułować znacznie bardziej treściwą wersję.

Znajdź najmniejszy iloczyn trzech liczb pierwszych (niekoniecznie różnych), których wszystkie konkatenacje są liczbami pierwszymi.

W takiej postaci łatwe zadanie staje się jeszcze prostsze, ale ponieważ termin zakończenia pierwszego etapu Mistrzostw upływa 20 stycznia, więc nie będę rozwijał tematu. Korci mnie tylko, aby dodać, że rozwiązanie można bez większego trudu znaleźć w sieci na odpowiedniej stronie. Na tejże domyślnej stronie ukryte jest rozwiązanie poniższego bliźniaczego zadania.

Liczba 2019 jest iloczynem dwóch liczb pierwszych: 3 i 673. Jeśli dodamy do siebie te dwa czynniki otrzymamy kwadrat – 676=26^2. Jaka jest najbliższa 2019 (mniejsza lub większa) liczba, będąca iloczynem czterech liczb pierwszych (niekoniecznie różnych), których suma jest kwadratem?

Przy okazji: rok wyrażony liczbą, będącą iloczynem trzech liczb pierwszych, których suma jest kwadratem, był całkiem niedawno – łatwo więc do niego dotrzeć.

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 10

Dodaj komentarz »
  1. W górę: 2034 (=2x3x3x113), suma 121=11×11
    W dół: 1989 (=3x3x13x17), suma 36=6×6
    Bliżej jest więc „do góry”, choć nie wiemy, co nas w tym roku czeka. Rok „w dół” jest zdecydowanie historyczny.
    A niedawny rok trójczynnikowy to oczywiście 2015, 5+13+31 daje 49. Kolejnego takiego roku nie doczekamy: wygląda na to, że będzie to dopiero 2211, 3+11+67 daje 81.

  2. A druga (w kolejności) najbliższa to 2074.

    2074=2*17*61; 2+17+61=80 (?)
    mp

  3. jedno jest pewne: ułożenie tych zagadek wymagało więcej czasu niż ich rozwiązanie.

  4. Reklama
    Polityka_blog_komentarze_rec_mobile
    Polityka_blog_komentarze_rec_desktop
  5. No więc właściwa (p)odpowiedź brzmi:
    A druga (w kolejności) najbliższa to 1989
    3*3*13*17=1989
    3+3+13+17=36
    A przy okazji dziękuję Gospodarzowi za udzielenie mi dyskretnej lekcji w zakresie: „Najmniejsza liczba pierwsza” 😉

  6. Dla co najmniej dwucyfrowych liczb pierwszych znalazłem
    11*11*577=69817.
    Dla trzycyfrowych nie znalazłem z powodu nieakceptowalnego czasu obliczeń………..:(……….

    Ciekawostka. Zrobiłem kilkanaście obliczeń dla różnych ograniczeń dwucyfrowych i zawsze wychodziły dwie liczby jednakowe. Np. dla liczb
    >20: 23 23 67
    >60: 61 61 71
    itd…
    Ciekawe, czy to reguła? A jeśli tak, to z czego wynika?

    Przy dwu liczbach jednakowych jest mniej konkatenacji – zapewne dlatego tak się zdarza częściej.
    Ale to nie reguła, bo np. 32153=11*37*79.
    mp

  7. 3*3*13*17=1989
    3+3+13+17=36

  8. A propos ciekawostek:
    2019 = 1^2 +2^2 -3^2 +4^2 +5^2 -6^2 +7^2 +8^2 +… +18^2
    Prawa strona to suma algebraiczna kwadratów wszystkich kolejnych liczb naturalnych od 1 do 18, wziętych z odpowiednimi znakami + lub -.
    Za specyficzną własność liczby 2019 można uznać tylko względną prostotę tego przedstawienia, bo tylko kwadraty 3 i 6 występują z minusem.

    Natomiast każda liczba naturalna (także 0) może być przedstawiona w takiej postaci:
    n = ±1^2 ±2^2 ±3^2 … ±m^2
    przy odpowiednim wyborze m oraz „+” lub „-” zamiast „±”.
    Jest to elementarny fakt zauważony przez P.Erdosa ale możliwe że już wcześniej jakiś zdolny uczeń na to wpadł.

    Rok 2109 będzie ciekawszy pod tym względem bo ma same plusy w tym wzorze:
    2109 = 1^2 +2^2 +3^2 +… +18^2

  9. @Markoniusz 193190

    „Natomiast każda liczba naturalna (także 0) może być przedstawiona w takiej postaci:
    n = ±1^2 ±2^2 ±3^2 … ±m^2
    Jest to elementarny fakt zauważony przez P.Erdosa”

    Mogę prosić o źródło? Erdos ma na swym koncie tyle wyników, że trafienie właściwego w przeglądarce jest raczej niemożliwe bez znajomości nazwy twierdzenia, czy tytułu pracy. Stąd też powstał taki dziwaczny twór, jak liczba Erdosa. Dla niewtajemniczonych:
    https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczba_Erd%C5%91sa

  10. @xswedc

    Oryginalne źródło tego ciekawego spostrzeżenia to być może
    https://www.amazon.co.uk/Number-Theory-Paul-Erdos/dp/3540589244
    A bardziej praktycznie to H. Dąbrowski – „Elementarna teoria liczb”.
    Ciekawe w tym twierdzeniu jest to, że do przedstawienia dowolnej liczby n wykorzystujemy kwadraty wszystkich liczb naturalnych pewnego odcinka [1; m]. Oczywiście z odpowiednimi znakami, tj. ze współczynnikami +1 lub -1 ale nie 0.

    Dowód: indukcyjny, wynika z nast. spostrzeżeń:
    1 = 1^2
    2 = -1^2 -2^2 -3^2 + 4^2
    3 = -1^2 +2^2
    4 = -1^2 -2^2 +3^2
    oraz dla dowolnego m
    (*) (m+1)^2 -(m+2)^2 -(m+3)^2 +(m+4)^2 = 4

    Zatem pierwsze 4 liczby naturalne mają przedstawienie tej postaci, a wzór (*)
    gwarantuje, że jeśli liczba n ma takie przedstawienie, to liczba n+4 także.
    Żeby wzmocnić tezę podstawmy m:=m+4 we wzorze (*) a tak otrzymany wzór (**)
    odejmijmy od (*). Otrzymamy przedstawienie liczby 0 tej postaci z parametrem m.
    Z tego wynika, że każda liczba n ma nieskończenie wiele przedstawień tej postaci
    c.n.d.

    W szczególności każdej liczbie n możemy przypisać najmniejszą liczbę m=m(n) istniejącą na mocy tego twierdzenia.
    Pytanie do kogoś lepiej zorientowanego w temacie – czy wiadomo coś więcej o takiej funkcji?

    Twierdzenia, o którym pisze Markoniusz, dotyczy ostatnie zadanie z książki Wacława Sierpińskiego „250 zadań z elementarnej teorii liczb”.
    mp

  11. @Markoniusz

    Interesujące, dziękuję.
    A co do funkcji, to podejrzewam, że to jedna z tych silnie nieosiągalnych…

css.php