Czwarta pierwsza
Jeśli dwie liczby pierwsze różnią się o 2, zwane są bliźniaczymi. Gdy różnica wynosi 4, mówimy o parze liczb kuzynowskich (cousin). Jeżeli natomiast para liczb pierwszych różni się o 6, to obie są… sexy. To ostatnie określenie pojawiło się w języku angielskim ze względu na homonimiczną grę słów – niby od łacińskiego sex, czyli sześć, a w gruncie rzeczy z powodu zabawnej dwuznaczności. A zatem zaczął się drugi, większy rok z seksownej pary liczb pierwszych: 2017 oraz 2017-6=2011.
Inną cechą 2017 jako liczby pierwszej jest to, że stanowi ona sumę dwu kwadratów liczb naturalnych tylko na jeden sposób: 9^2+44^2=2017. Osobliwością trudno tę cechę nazwać, bo liczb pierwszych o takiej własności jest sporo – dokładnie 148 przed 2017. Bliższe osobliwościom są natomiast liczby pierwsze, tworzące poniższy ciąg, w którym siedemnastą (sic!) jest właśnie 2017:
19, 37, 73, ?, 163, 181, 271, 307, 433, 631, 811, 1009, 1153, 1171, 1423, 1801, 2017, …
Proszę spróbować ustalić, jaka jest „ciągowa” cecha liczb w tym ciągu (a właściwie dwie cechy) i jaka liczba, zastąpiona znakiem zapytania, zajmuje czwarte miejsce.
Komentarze
Suma cyfr to 10. Czwartą liczbą jest 127.
A dlaczego nie 109?
mp
Wszystkie elementy ciągu mają sumę cyfr równą 10.
Już myślałem, że znalazłem odpowiedź, ale między 73 a 163 są dwie liczby pierwsze o takiej właściwości: 109 i 127. I która z nich powinna być tu jako czwarta? A może obie tu pasują, ale wtedy 2017 będzie 18 elementem i już nie będzie takiego zbiegu okoliczności?
Patrząc na ten uzupełniony ciąg, spodobał mi się jeszcze jego „podciąg”:
19, 109, 1009, 10009,…
(te trzy kropki mocno na wyrost, bo 100009 dzieli się przez 7 i 13, ale, już te 4 elementy są fajne)
Cecha 1.: Suma cyfr w liczbie = 10
Zatem pod ? będzie się kryć 109 albo 127.
Cechy drugiej (kluczowej) jeszcze nie ustaliłem.
@mp
> A dlaczego nie 109?
Nie może być 109, bo ta liczba nie spełnia drugiego warunku, o który Pan pytał. Ten warunek jest taki, że po 2017 kolejnymi liczbami w tym ciągu są 2053, 2143, 2341, 2521, a 2161 i 2251 do ciągu nie należą. Czy mam rację?
Pani Olu, oczywiście ma Pani rację.
mp
Pierwszą cechę pomaga znaleźć google i OEIS: liczba pierwsza o sumie cyfr równej dokładnie 10 ( http://oeis.org/A107579 ).
Drugiej cechy ciągle szukam… Nie pasują do niej poniższe liczby posiadające cechę pierwszą:
109 albo 127, 523, 541, 613, 1063, 1117, 1531, 1621
Test – czy dochodzą moje komentarze?
Ten doszedł, ale nie ma żadnego innego, oczekującego na uwolnienie (tzn. wszystkie, które doszły, zostały ujawnione i są widoczne pod wpisami).
mp
Pod ? kryje się 109. Liczby pierwsze o sumie cyfr = 10. Czy coś jeszcze?
Dlaczego właśnie 109? Pytam, bo to nie jedyna możliwość spełniająca podany warunek.
mp
Suma cyfr wynosi 10, ponadto w ciągu są tylko takie liczby, od których liczba większa o 10 też jest liczbą pierwszą – jak na przykład 2027 wobec 2017, 641 wobec 631 (a nie 623 wobec 613) i wreszcie 137 wobec 127 (a nie 119 wobec 109), tym samym w miejsce znaku zapytania należy wpisać 127. Dłuższy komentarz dalej nie chce się wysłać.
Czyżby był jakiś limit na objętość komentarza? Nic o tym nie wiem, ale niewykluczone. Może więc pisać na raty :).
mp
W ciągu są liczby pierwsze, których suma cyfr jest równa 10 i liczba o 10 większa jest również liczbą pierwszą. Brakująca liczba to 127.
Krótsze komentarze też nie wchodzą, nie wiem czemu wtedy się udało.
Dwa nietrudne dowody, jakie się przy tej okazji nasunęły, to: a) liczby pierwsze > 5 dają się zapisać w postaci 6k+1 bądź 6k+5 cdn
b) jeśli suma cyfr liczby pierwszej wynosi 10, to na pewno da się ją przedstawić jako 18k+1. W drugą stronę niekoniecznie, np. 199.
Przepraszam – wygląda na to, że udaje mi się zamieszczać tylko baardzo krótkie komentarze.