Własne
Jeśli po dodaniu do liczby A sumy jej cyfr powstaje liczba B, to mówimy, że A jest generatorem B, a B jest liczbą generowaną.
Liczba, która nie ma generatora, zwana jest liczbą własną.
Każda liczba własna zaczyna ciąg liczb generowanych. Najmniejsza liczba własna, czyli 1, rozpoczyna ciąg:
1, 2, 4, 8, 16, 23, 28, 38, 49, 62,…
Najmniejsza parzysta liczba własna (20) jest na początku ciągu:
20, 22, 26, 34, 41, 46, 56, 67, 80, 88, 104, 109,…
2014 jest liczbą generowaną, która ma dwa generatory: 2006 i 1988.
Dwa pytania:
1. (nieproste): od jakiej największej liczby własnej zaczyna się ciąg, w którym występuje 2014?
2. (koszmarne): jaka najmniejsza liczba własna zaczyna ciąg, w którym występuje 2014?
Komentarze
Z pomocą komputera bardzo szybko znajdujemy rozwiązanie:
1. 1963
2. 1021
Istnieje 20 liczb własnych, które generują ciąg zawierający 2014. Te liczby to: 1963, 1873, 1829, 1783, 1772, 1603, 1513, 1447, 1414, 1324, 1313, 1300, 1289, 1256, 1223, 1210, 1199, 1054, 1021
Oto lista liczb własnych rozpoczynających ciąg, w którym występuje liczba 2014. W nawiasie długość początkowego fragmentu ciągu do uzyskania liczby 2014. Oczywiście wspomogłem się komputerem 😉
1021 (75)
1054 (71)
1199 (58)
1210 (57)
1223 (56)
1256 (54)
1289 (52)
1300 (51)
1313 (50)
1324 (47)
1414 (41)
1447 (37)
1513 (35)
1603 (29)
1772 (14)
1783 (17)
1829 (10)
1873 (11)
1963 (5)
Zbiór wszystkich liczb własnych będących generatorami liczby 2014,
w nawiasach pozycja liczby 2014 w danym ciągu
1021 [75]
1054 [71]
1199 [58]
1210 [57]
1223 [56]
1256 [54]
1289 [52]
1300 [51]
1313 [50]
1324 [47]
1414 [41]
1447 [37]
1513 [35]
1603 [29]
1772 [14]
1783 [17]
1829 [10]
1873 [11]
1963 [5]
To nie jest nic a nic koszmarne: proponuję jako uzupełnienie podać wydarzenia z lat rozwiązań, a także spotykanych „po drodze” 🙂 Albo skojarzenia, pojawia się na przykład Orwell.
1963 i 1021
Zadanie bardziej dla komputera, na metodę „sita”. Komputer znalazł 19 ciągów, w których pojawia się 2014, zaczynających się od liczb własnych: 1021, 1054, 1199, 1210, 1223, 1256, 1289, 1300, 1313, 1324, 1414, 1447, 1513, 1603, 1772, 1783, 1829, 1873, 1963. Ciekawostkę może stanowić fakt, że wszystkie ciągi, zaczynające się od liczb własnych mniejszych niż 1021, przeskakują 2014, a największe liczby mniejsze od 2014 to albo 1998 albo 2011 albo 2013.
Podejrzewam, że spece od programowania szybko się z tym uporali. Ja chciałem pobawić się w excelu, zaczynając od dołu, szybko też przekonując się, że wszystkie strumyczki zmierzają przeważnie do jednej rzeki, przepływającej przez 2011 i 2015 (inna to 2010 i 2013), ale omijając 2014; stwierdziłem, iż żadna liczba poniżej 100 to nie będzie ta, o którą chodzi. Należało sprawdzać od góry. Łatwo jest obliczyć liczbę generowaną dla generatora, a trudniej odwrotnie, ale jak się zrobi z tego dwie kolumny obok siebie w excelu, to można koncypować drzewko. Z 2014 odchodzą gałęzie jako się rzekło do 2006 i 1988, teraz sprawdzamy dla tych liczb, i tak dalej, aż dojdziemy do takiej, która w prawej kolumnie nie występuje, czyli jest liczbą własną. W sumie pięć możliwości znalazłem, największą liczbą okazała się 1963, czyli zabójstwo Kennedy’ego, najmniejszą 1772 – pierwszy rozbiór Polski, pozostałe trzy to 1783, 1829 i 1873. Po drodze pojawiają się między innymi Orwell, stan wojenny, koniec II wojny i zatonięcie Titanica, w którym nawet mamy rozgałęzienie, podobnie jak w 2002 i 2006. Jeszcze rewolucja francuska…
Najmniejsza 1021 (2014 w 74 kroku), największa 1963 (w 4 kroku).
Pozwoliłem sobie przygotować „drzewko”, ukazujące jak te dziewiętnaście znalezionych wcześniej ciągów zbiega się do liczby 2014.
http://pastebin.com/GvCWy1Fs
Nasunęło mi się też pytanie, na które nie miałem jeszcze czasu poszukać odpowiedzi: Czy istnieje liczba, która miałaby więcej niż dwa generatory. A jeśli tak, to jaka jest najmniejsza?
PS
Jeśli nie istnieje liczba, która ma więcej niż dwa generatory, to jak to udowodnić?
aps,
Generatorem roku Orwellowskiego jest pierwszy rozbiór Polski, ale istnieją lepsze rozwiązania…
witman,
Z treści zadania wynika, że taką liczbą jest właśnie 2014. Mnie wychodzi, że ona ma 19 generatorów własnych.
Najmniejszą liczbą mającą 2 różne generatory własne jest 101.
1 2 4 8 16 23 28 38 49 62 70 77 91 101
86 100 101
Nie doczytałem pytania witmana, więc się poprawiam:
Poniżej kilka najmniejszych liczb o liczbie generatorów własnych podanej w nawiasach kwadratowych (tzn. 107 jest najmniejszą liczbą mającą dokładnie 4 generatory własne)
1 [1]
101 [2]
103 [3]
107 [4]
115 [5]
214 [6]
218 [7]
305 [8]
313 [9]
406 [10]
416 [11]
517 [12]
1215 [13]
723 [14]
822 [15]
921 [16]
1001 [17]
1108 [18]
1809 [19]
[…]
4521 [94]
191120 [95]
Wydaje mi się, że Witmanowi chodziło o coś innego…
mp
cpp,
Chodzi mi o bezpośredni generator, a nie liczbę własną, która rozpoczyna ciąg, w którym pojawia się dana liczba.
A może ktoś uzasadni, dlaczego liczba dwucyfrowa nie może mieć dwóch generatorów?
W układzie dwójkowym i czwórkowym, najmniejszymi liczbami z dwoma generatorami są liczby 101 (odpowiadające dziesiętnemu 5 i 17), a w trójkowym 11 (czyli 4 dziesiętne).
W uzupełnieniu mojego poprzedniego wpisu (z 1 marca, 12.02):
W każdym układzie o podstawie nieparzystej, najmniejszą liczbą, mającą dwa generatory jest 11 (to dość oczywiste)
W każdym układzie o podstawie parzystej, najmniejszą liczbą, mającą dwa generatory jest 101 (sprawdziłem dla 2, 4, 6, 8 i oczywiście 10)
Kolejne liczby własne w każdym układzie o podstawie parzystej > 2, to najpierw jednocyfrowe liczby nieparzyste, a potem 20, 31, 42 itd. (oczywiście w czwórkowym nie ma 42)
1963 i 1021
A pytanie Witmana jest interesujące (szczególnie w PS).
Szukając liczby, która ma trzy generatory, sprawdziłem najpierw „brutalnym” programem, że jeśli istnieje, to jest większa niż 100000000. Potem zacząłem myśleć ;), i pojawiło się w mojej głowie nieodparte wrażenie, że już kiedyś rozwiązywałem ten problem. Czy nie czasem na łamach niniejszego blogu?
W każdym razie znalazłem. Jest duuża, ale chyba najmniejsza jaka istnieje. Może jednak ujawnie ją w innym wpisie, aby nie odbierać komuś przyjemności z samodzielnego jej znalezienia.
Najmniejsza liczba, która ma trzy generatory to x=10000000000102.
Jej generatory to:
10000000000100 (+2=x)
10000000000091 (+11=x)
9999999999992 (+110=x)
Może być mniejsza – http://oeis.org/A230100
mp
Michał (1 marca o godz. 12:56),
Kolejne liczby własne „lubią” być oddalone od siebie o 11, ale czasami ta reguła jest łamana.
Witman,
Podejrzewam, że Twoja liczba jest pechowa… Ja w każdym bądź razie znalazłem właśnie taką. Większych od niej jest całe zatrzęsienie.
@witman: Dla każdego k, istnieje liczba n mająca nie mniej niż k bezpośrednich generatorów. Potrafię to udowodnić, jeśli jesteś zainteresowany dowodem, postaram się go opisać w kolejnym komentarzu. Dowód jest konstruktywny, tzn. podaje przykład liczb n (a raczej sposób jak takie liczby otrzymać), jednak nie mówi nic o tym, czy podane liczby n są najmniejszymi dla ustalonego k.
@cpp
Moje rozumienie pojęcia generatora jest takie samo jak witmana. Jest to dla liczby n taka liczba k, że suma k + suma cyfr k jest równa n. A nie liczba własna, będąca początkiem strumyczka, spływającego do n. I jak dla mnie pierwszy rozbiór rulez 😉
@witman
Też się nad tym zastanawiałem. Gratuluję znalezienia liczby z trzema generatorami. To ja już nie będę szukał 🙂
Widzę, że znajdując liczbę z trzema generatorami, wyważyłem otwarte drzwi :(,
Tu: http://oeis.org/A006064/a006064.txt można znaleźć liczby, które mają do 100 generatorów.
aps,
Znalezienie tej liczby Witmana nie jest trudne!
Jeżeli są trzy generatory liczby X i jest to najmniejsza liczba o tej własności, to nie mogą wszystkie trzy mieć tej samej pierwszej cyfry
(inaczej byśmy ją usunęli i otrzymali mniejszą liczbę Witmana).
Dalej: wartość bezwzględna ich różnicy nie może być większa od 1.
Dalej: jeżeli masz trzy generatory, to po odjęciu od każdej z ich pierwszych cyfr 1 lub dodaniu 1 też masz trzy generatory liczby Witmana, stąd wniosek, że pierwszą cyfrą generatora minimalnego jest 1, a co najmniej jeden z pozostałych generatorów ma o jedną cyfrę mniej i zaczyna się cyfrą łatwą do zgadnięcia.
Zauważ, że różnica generatorów nie może być dużą liczbą, skoro nie przekracza ona maksymalnej sumy cyfr liczby N-cyfrowej, czyli 9N. Jesteś w domu.
witman,
Dzięki za link. Wszystko się zgadza. a(4) ma dwa generatory zaczynające się od 1 i dwa zaczynające się od 9; inaczej po zmazaniu pierwszej cyfry trafilibyśmy na generator liczby witmana z N = 3 i większej od a(3), co jest możliwe tylko dla ogromnych liczb. Inaczej: można się spodziewać, że a(2k) i a(2k-1) są dość podobnego rzędu wielkości, natomiast a (2k+2) jest rzędu 10^(a(2k-2)).
Najdziwniejsze jest to, że najwyraźniej tymi liczbami zajmują się zawodowi matematycy (wpisy z 2013 roku). Co na to nasze ministerstwo od nauki stosowanej?
Teoria liczb nie jest zabroniona, choć istotnie – pożytku z niej niewiele (ale zabawa liczbami jest przyjemna 🙂 ).
mp
Korekta:
a (2k+2) jest rzędu 10^(a(2k)).
Panowie, a czy nie jest tak, że jak dana liczba ma 2 generatory, to różnica pomiędzy tą liczbą a generatorem za każdym razem ma różną liczbę cyfr? Jedną lub dwie, dla małych liczb, których suma cyfr nie przekracza 99. Podobnie jest dla liczby Witmana z trzema generatorami: mamy sumy 2, 11 i 110. Należałoby więc w pierwszym kroku znaleźć liczby, dla których ich suma plus suma cyfr ma 2 cyfry więcej od wyjściowej (n-1 cyfr, gdy chcemy znaleźć liczbę z n generatorami), to będzie jakiś przedział czy przedziały, obliczyć ich sumy z sumą cyfr, i znaleźć generatory różniące się o liczbę dwucyfrową i jednocyfrową, ogólnie n-1, n-2, etc., jeśli oczywiście są.
Nie, wróć, oczywiście mogą być 2 sumy cyfr generatora dwucyfrowe, np. liczba 1219 ma 1208+11 i 1199+20. Ale z pomysłu na metodę szukania (sprawdzać, które liczby po dodaniu sumy cyfr stają się o odpowiednią liczbę cyfr dłuższe) na razie się nie wycofuję.
aps,
a(4) jest liczbą zaledwie 25-cyfrową, suma cyfr jego generatorów nie może przekroczyć 25*9, więc jest liczbą co najwyżej 3-cyfrową.
A generatorów jest 4…
Jeden ma sumę 2, drugi 11, trzeci i czwarty mają sumy 3-cyfrowe.
Gościu co znalazł a(4) musiał mieć tęgi łeb na karku!
Dwa pierwsze generatory a(4) mają postać 10^24 + generator(a(2)), czyli 10^24 +{100, 91} i może to jest właściwy trop?
@miodziu
Bardzo jestem ciekaw twojej metody.
@wszyscy
Bardzo ciekawa dyskusja nam się rozwinęła 🙂
Największa to 1873, najmniejsza 1447
@cpp
Dzięki, trochę się zmartwiłem, jak już coś się wykombinuje, to okazuje się, że jednak jest inaczej… Ciekawe swoją drogą, czy są jakieś praktyczne zastosowania tego, skoro matematycy zajęli się tym w roku 2013.
No ale my tu gadu gadu, a tu rozwiązanie zadania wymaga korekty, nie wem jak to się stało, że zatonąłem na tym Titanicu, w każdym razie muszę skorygować prawie do bitwy pod Grunwaldem: 1414.
Definicje:
d(n) = suma cyfr dziesiętnych liczby n
f(n) = n + d(n)
Mówimy, że liczba n generuje liczbę f(n), lub że n jest generatorem f(n)
Fakt:
Gdy a, b, k są liczbami naturalnymi takimi, że f(a) = f(b) oraz a,b < 10^k, i dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej x przyjmiemy a' = x * 10^k + a oraz b' = x * 10^k + b, to wtedy f(a') = f(b')
Mówiąc mniej formalnie: gdy liczby a i b są generatorami tej samej liczby p, to dopisując na początku liczb a i b pewną liczbę x (z uwzględnieniem zer wiodących w liczbach a i b, gdy są różnej długości) otrzymane liczby będą generatorami pewnej liczby q.
Dowód faktu:
Ponieważ liczba a' składa się z cyfr wchodzących w skład liczb x i a (oraz być może pewnej liczby zer), zatem d(a') = d(x) + d(a). Podobnie d(b') = d(x) + d(b).
Mamy zatem f(a') = a' + d(a') = x * 10^k + a + d(x) + d(a) = x * 10^k + d(x) + (a + d(a)) = x * 10^k + d(x) + f(a) oraz f(b') = b' + d(b') = x * 10^k + b + d(x) + d(b) = x * 10^k + d(x) + (b + d(b)) = x * 10^k + d(x) + f(b). Ponieważ f(a) = f(b), zatem f(a') = f(b'), co kończy dowód faktu.
Twierdzenie:
Niech a_i (dla i=1,2,…n) będzie ciągiem różnych liczb takich, że f(a_i) = 10^k + 1. Liczba 10^k + 1 posiada zatem n różnych generatorów. Dodatkowo zakładamy, że ten ciąg jest rosnący, tzn. a_i < a_j dla i < j oraz a_i = 1 (mod 9).
Wtedy istnieje ciąg liczb b_j (dla j=1,2,…,n,n+1), dla których f(b_j) = 10^l + 1, dla pewnej liczby l.
Dowód:
Przyjmujemy x = 10^m – 1, dla m = 10^k – 1. Liczba x składa się z m dziewiątek, zatem d(x) = 9m.
Definiujemy b_i = x * 10^(k+1) + a_i, dla i=1,2,…,n. Ponieważ a_i < a_j, zatem b_i b_n.
Zatem mamy określony ciąg b_j dla j=1,2,…,n,n+1, dla którego f(b_j) = 10^(m+k+1) + 1, czyli liczba 10^(m+k+1) + 1 ma przynajmniej n+1 generatorów. To kończy dowód twierdzenia.
Teraz wystarczy przyjąć a_1 = 91, a_2 = 100 i korzystamy z twierdzenia k-2 razy – za pierwszym razem jako ciąg wejściowy używamy ciagu (a_1, a_2), przy kolejnych razach używamy ciągu wygenerowanego w poprzednim kroku. W ten sposób otrzymujemy ciąg k liczb a_i, dla których f(a_i) = f(a_j).
PS. Pisząc dowód twierdzenia uświadomiłem sobie, że nigdzie nie korzystam z faktu, który pojawił się na początku. Jednak nie usuwam tego faktu, bowiem znajdują się w nim obliczenia, które ułatwiają zrozumienie przekształceń zawartych w dowodzie twierdzenia.
Ponieważ blog ma problem z poprawnym formatowaniem mojego komentarza, całość umieszczam tutaj: http://www.gg.pl/dysk/vHmquuoTURNQvXmquuoTQTo/w%C5%82asne.txt
Znajduje się tam konstruktywny dowód pokazujący, że istnieją liczby posiadające dowolną liczbę generatorów.
Mała zmiana: nie 4 lata po bitwie pod Grunwaldem, tylko 4 lata przed. Koronacją Bolesława Chrobrego ma się rozumieć 😉 Zwracam honor: to jest koszmarne. Choć bardziej może rozwiązujący, niż zadanie. Ciekawostka: natrafiłem na liczbę z mojego przykładu 1219, zupełnie przypadkiem, wtedy ją sobie wymyśliłem jako przykład zupełnie niezależnie od zadania właściwego, o którym myślałem, że już dawno rozwiązane…
@miodziu
Gratuluję dowodu, jak rozumiem (tylko żebym znów czegoś nie pokręcił), można twierdzenie sprowadzić do tego, że jeśli mamy liczby 101, 1001, 10001, etc., 1(n zer w środku)1, to zajmując się tylko nimi, dojdziemy co jakiś czas do liczby mającej 2, 3, 4, etc., generatory. Co się zgadza dla 101 (2 generatory) i 10000000000001 (3 generatory).
Jednocześnie te właśnie dwie liczby są najmniejszymi spośród posiadających daną liczbę (2 lub 3) generatorów.
Ale liczba, którą @cpp nazywa a(4), najwyraźniej nie jest tej postaci, bo jak piszesz, suma cyfr największego generatora jest 2, w przypadku zaś liczb miodzia suma cyfr największego generatora jest 1, bo jest to po prostu 1 i zylion zer 🙂
Stąd wynika, że spośród liczb z czterema generatorami, najmniejsza nie jest liczba miodzia, tylko jakaś inna, w sensie postaci, liczba cpp. Inaczej niż dla liczb dwu- i trzygeneratorowych.
Zastanawiam się, czy (chociaż…) generatory liczb miodzia spełniają zauważoną przeze mnie prawidłowość, że liczba cyfr sumy ich cyfr jest różna dla każdego generatora (co nie zachodzi jak wiemy dla liczby a(4) cpp).
Inny dowód.
Niech a_1,…a_n będą generatorami tej samej liczby, n >= 1.
Badamy zbiór liczb postaci 10^k + a_i, gdzie 10^k > a_i.
Ten zbiór też jest generatorem jakiejś liczby. Udowodnimy, że dla pewnego k istnieje jeszcze inny generator.
Niech ma on postać 10^k – b, b > 0. Czyli na początku ten dodatkowy generator będzie miał masę dziewiątek.
Rozpatrzmy na próbę liczbę x = 10^k-1 złożoną z samych dziewiątek.
x generuje liczbę x + k*9. Liczba generowana przez 10^k + a_1 to
10^k + a_i + 1 + d(a_i)). Oznaczmy przez N najmniejsze ka takie, że
x + k*9 = 10^k -1 + k*9 >= 10^k +a_i + 1 + sumdigits(a_i), czyli
k*9 >= a_i + 2 + sumdigits(a_i). Taka liczba istnieje, bo prawa strona ma wartość ustaloną. Jeżeli mamy równość, znaleźliśmy kolejny generator. Jeżeli nie, bierzemy k = N+1. Wtedy nasze
x generuje liczbę za dużą o wartość z przedziału 10..18.
W liczbie x możemy zmniejszyć ostatnią cyfrę o wartość od 1 do 9, co spowoduje redukcję generowanej liczby o wartość 2,4,…, 18.
Możemy też zredukować przedostanią cyfrę x z 9 na 8, co redukuje generowaną liczbę o 11. Jeżeli dołączymy redukcję ostatniej cyfry, możemy zredukować generowaną liczbę o dowolną liczbę z przedziału 10…18. To kończy dowód: znaleźliśmy kolejny generator i nawet możemy stwierdzić, że jest on postaci 10^k – b gdzie 1 <= b 11) i cyfrę jedności o 2 (=4/2). Drugim generatorem liczby 100029 jest więc 99987.
99987 + 3*9 + 8 + 7 = 100000 – 13 + 27 + 15 = 100029.
Coś dziwnego stało się z poprzednim moim komentarzem (wycięło kilkadziesiąt środkowych linijek przykładu) – teraz ostatnie 3 linijki są z innej bajki – trudno.
To ja spróbuję jeszcze raz wkleić końcówkę poprzedniego postu:
[…]
To kończy dowód: znaleźliśmy kolejny generator i nawet możemy stwierdzić, że jest on postaci 10^k – b gdzie 1 <= b <= 19.
Czy istnieje całkowita liczba o n+1 generatorach.
Przykład.
weźmy dowolną liczbę, np 23.
23 + 2 + 3 = 28. 28 ma jeden generator: 23.
Twierdzę, że istnieje liczba postaci 100…00023, która generuje liczbę mającą 2 generatory.
28/9 = 3 r 1. Bierzemy więc x = 99999 (3+2 = 5 dziewiątek).
x generuje liczbę 100000 – 1 + 5*9 = 100044.
Tymczasem poszukujemy drugiego generatora liczby generowanej przez 100023 czyli drugiego generatora liczby 100029.
100044-100029 = 15 = 11 + 4. Musimy więc w x zmniejszyć cyfrę dziesiątek o 1 (redukcja liczby generowanej o 11) i cyfrę jedności o 2 (=4/2). Drugim generatorem liczby 100029 jest więc 99987.
99987 + 3*9 + 8 + 7 = 100000 – 13 + 27 + 15 = 100029.
@cpp: Nie wiem, czy to wina długiego komentarza, czy znaków mniejszości/większości zawartych w tresci, które są interpretowane jako znaczniki htmlowe. Ja już sie nauczyłem, że komentarz edytuje w pliku na komputerze, potem tylko wklejam treść w polu komentarza i po wysłaniu weryfikuje, czy jest wyświetlany poprawnie.
Jako musztardę po obiedzie pozwoliłem sobie napisać indukcyjny krok procedury poszukiwania liczby o dowolnej ilości generatorów. Ideowo jest tożsamy z tym co napisali miodziu i cpp oraz przykładem witmana, ale chciałem uzyskać optimum między ścisłością i prostotą wywodu w szczególności co do istnienia szukanej liczby. Ciekawe czy mi się to udało ? 🙂
Załóżmy, że mamy k liczb generujących te sama liczbę:
G = L1 + S(L1) = … = Lk + S(Lk).
Oczywiste jest, że dodanie do każdej z nich 10^n nie zaburzy powyższej równości bo będziemy mieć:
G’ = 10^n + L1 + S(L1) + 1 = … = 10^n + Lk + S(Lk) + 1
Znajdźmy teraz k+1 liczbę generującą również liczbę G’. Nasza k+1 liczba będzie miała na początku n-1 dziewiątek a na końcu cyfrę (9-x).
Mamy k równań:
10^n + L1 + S(L1) + 1 = … = 10^n + Lk + S(Lk) + 1 = G’ = 10^n – 1 – x + n*9 – x
Dalszy rachunek prowadzimy dla jednego z nich:
10^n + L1 + S(L1) + 1 = 10^n – 1 – x + n*9 – x, upraszczając otrzymujemy:
L1 + S(L1) + 2 + 2*x = 9*n, gdzie 0 <= x <= 9.
Z tego ostatniego równania znajdujemy x i n.
Pozostaje udowodnić istnienie rozwiązania ostatniego równania w ogólnym przypadku.
Lewa strona może przyjmować wartości 9 kolejnych liczb parzystych albo nieparzystych w zależności od wyrażenia L1 + S(L1). A więc rozpiętość zbioru wartości lewej strony jest 18.
Prawa strona jest parzysta (albo nieparzysta) dla co drugiego n, a więc prawa strona skacze po liczbach parzystych (nieparzystych) krokiem długości 18. Jest więc oczywiste, że zwiększając n musimy wpaść w którąś z 18 wartości, które przyjmuje lewa strona. W ten sposób mamy k+1 liczbę generująca liczbę G’ i teraz powtarzając powyższą procedurę możemy przystąpić do szukania liczby G”, która będzie miała k+2 generatory.