Długas
Liczby kilkunastocyfrowe to w teorii liczb maluchy. Matematycy, zajmujący się tym działem królowej nauk, korzystają z programów, które wyświetlają liczby nawet kilkusetcyfrowe i dłuższe.
Na ekranie pojawiła się liczba X o szczególnej własności:
po przeniesieniu ostatniej cyfry liczby X na jej początek powstaje wielokrotność X.
Nie sposób zapamiętać całą X, ale zaczynała się ona tak:
10112…
Czy można na tej podstawie odtworzyć całą X? Jeśli ktoś podejmie się tego zadania, wystarczy podać, z ilu cyfr składa się X, choć co najmniej równie mile widziane będą krótkie opisy sposobu rozwiązywania.
Komentarze
Przyjmijmy, że nasza liczba X to 10*A+B, gdzie B jest ostatnią cyfrą (a w zasadzie to liczbą jednocyfrową) oraz A jest liczbą powstałą przez skreślenie ostatniej cyfry liczby X.
Po przeniesieniu ostatnie cyfry na początek otrzymujemy liczbę Y = B*10^K + A, gdzie K jest pewną liczbą naturalną (równą ilości cyfr w zapisie dziesiętnym liczby A).
Wiemy, że liczba Y jest wielokrotnością liczby X, co w połączeniu z faktem, że X rozpoczyna się od cyfr 101… daje na równość: Y = B * X,
czyli B*10^K + A = B * (10A+B)
Na początku sprytnie zauważamy, że gdyby było B<=8, to wtedy w liczbie Y druga cyfra wynosiłaby 0. Dalej przyjmujemy B=9, co upraszcza powyższe równanie:
9*10^K + A = 9 * (10A+9), czyli
9*10^K + A = 90A + 81, czyli
9*10^K = 89A + 81
Dalej zauważamy, że liczba A musi być podzielna przez 9, zatem przyjmujemy A = 9*C i nasze równanie wygląda tak:
10^K = 89C + 9
89C = 999…91
przy czym liczba po prawej stronie ma K cyfr (K-1 dziewiątek oraz jedynkę na końcu)
Aby znaleźć liczbę C wykonujemy pisemnie dzielenie 999…991 : 89. Dzielimy tak długo, aż w pewnym momencie otrzymana reszta wynosi 80 (UWAGA poniżej). Wtedy bowiem po uwzględnieniu ostatniej cyfry (jedynki) pozostanie nam dzielenie 801 : 89, które kończy się dając w wyniku 9
Oczywiście dzielenie można wykonać ręcznie, ja skorzystałem z pomocy komputera, który obliczył następującą wartość liczby C:
C=112359550561797752808988764044943820224719
Oczywiście A=9C, zatem
A=1011235955056179775280898876404494382022471
a nasza szukana liczba X to 10A+9, zatem
X=10112359550561797752808988764044943820224719
i ma ona 44 cyfry w zapisie dziesiętnym.
Sprawdzenie pokazuje, że
9X=91011235955056179775280898876404494382022471
(UWAGA) Oczywiście dzielenie można kontynuować, wtedy otrzymujemy kolejne, większe rozwiązania. Tak się składa, że kolejne wartości szukanej liczby X powstają poprzez sklejenie ze sobą kilku wystąpień poprzednio wyliczonej liczby 10112359550561797752808988764044943820224719
Zatem kolejne rozwiązania to:
1011235955056179775280898876404494382022471910112359550561797752808988764044943820224719
101123595505617977528089887640449438202247191011235955056179775280898876404494382022471910112359550561797752808988764044943820224719
10112359550561797752808988764044943820224719101123595505617977528089887640449438202247191011235955056179775280898876404494382022471910112359550561797752808988764044943820224719
itd…
Pięknie 🙂
mp
Rozwiązanie jest trywialnie proste, tyle, że wymaga ono napisania prostego programu komputerowego, dodającego kolejne cyfry (od 1 do 9) do końca i początku liczby 10112, po czym sprawdzający, czy ta nowa liczba z tą samą cyfrą dopisaną na jej początku dzieli się bez reszty przez liczbę z tą sama cyfrą dopisaną do jej końca, a jeśli nie to dopisujący znów kolejne cyfry (od 1 do 9) do końca i początku tej nowej liczby itd. aż ta nowa liczba podzieli się bez reszty przez ‚siebie’, tyle, że po przeniesieniu jej ostatniej cyfry na początek – zakładam tu, że ta cyfra nie może być zerem, jako iż liczba 01 jest tą samą liczbą co 1, a tylko 01 jest innym ciągiem znaków niż 1. Całą sztuka polega więc na traktowaniu danej liczby raz jako liczby, a innym razem jako ciąg znaków, czyli zgrubsza:
Begin
każde X jest zdefiniowane jako liczba
każde Y jest zdefiniowane jako ciąg znaków
X=10112
X1=0, X2=0, X3=0, X4=0
Y jest pustym ciągiem znaków
Wykonuj dotąd, aż X3 stanie się liczbą całkowitą większą od zera:
BEGIN
Y=X (przenieś X do Y1)
Wykonuj dotąd, aż X4 jest mniejsze niż 10
BEGIN
X4=X4+1
dopisz X4 do końca ciągu Y
X2=Y (przenieś Y do X2)
Przenieś ostatni znak z Y1 na jego początek
X2=Y (przenieś Y do X2)
X3=X2/X1 (podziel X2 przez X1)
X=X2 (przenieś X2 do X)
Jeśli X3 jest liczbą całkowitą to policz i wydrukuj ilość jej cyfr oraz X i zakończ program
X4=0
END
END
Wystarczy teraz zakodować powyższy algorytm w jakimś języku programowania, oraz skompilować i uruchomić ów program…;-)
DO ROBOTY MATEMATYCY & PROGRAMIŚCI! 😉
Z tych danych nie da się odtworzyć liczby X a jedynie zauważyć, że liczba jej cyfr jest wielokrotnością 44. Jeśli już znamy liczbę cyfr to dalej już możemy odtworzyć X.
Prosi Pan o opis rozwiązania – to nie będzie zbyt krótkie, ale cóż…
To czy liczba jest całkowita czy też ułamkiem dziesiętnym nie ma znaczenia – to tylko kwestia przeskalowania. Postawmy więc przecinek zaraz za dwójką. Wtedy wiemy, że:
10112 < X < 10113
Mnożymy obie liczby przez 1,2,3,…,9 (zero łatwo wykluczyć) i dostajemy:
10112 10113
20224 20226
30336 30339
40448 40452
50560 50565
60672 60678
70784 70791
80896 80904
91008 91017
Skoro drugą cyfrą wielokrotności X ma być jedynka to od razu widzimy, że ostatnią cyfrą X jest 9.
Teraz wracamy do starej skali i X jest znów całkowita.
Jeśli liczba X ma n cyfr to dostajemy równanie:
9X = 9*10^(n-1) + (X-9)/10
wyliczamy:
90X = 9*10^n + X – 9
89X = 9*(10^n-1)
Po pierwsze ostatnia cyfra X musi być 9, czyli X=-1 mod 10.
Sprawdzamy: (-1)*X = (-1)*(-1) mod 10 czyli X=-1=9 mod 10. Czyli jest dobrze, niezależnie od n.
Po drugie 10^n-1 musi dzielić się przez 89, czyli
10^n = 1 mod 89
Wbijamy to w Excela i widzimy, że przytrafia się tak gdy n = 44k, k naturalne.
Po trzecie sprawdzamy jak wyglądają pierwsze cyfry X. Dla n = 44k szansa na to, że odjęcie jedynki od 10^n wpłynie na pierwsze pięć cyfr jest mniejsza niż na to, że dzisiaj rozjedzie mnie samochód więc liczymy:
9/89 to według Excela 0,101123596
Zgadza się 🙂 Jako ciekawostkę proszę zauważyć, że nie wyliczyłem żadnej tego typu liczby ale dowiodłem, że istnieje ich nieskończenie wiele…
liczba X to: 10112359550561797752808988764044943820224719 (44 cyfry jeśli dobrze policzyłem)
Sposób dojścia do rozwiązania:
mnożenie będzie na pewno przez 9 a więc ostatnia cyfra to 9
zapiszmy:
N = „” (puste)
X1 = 10112(N)9
pomnóżmy X1 * 9 = 910161
sprawdźmy czy nie równa się na 910122(N)
weźmy niepasującą końcówkę (1) jako N
X2 = 10112N19
pomnóżmy X2 * 9 = 9100971
weźmy niepasującą końcówkę (71) jako N
X3 = 10112N719
X4 = 10112N4719
itd…
Program w Javie pomógł dojść do X-a 🙂
Ciekawe czy są jakieś inne początki takich liczb 😉
Panie Marku rozumiem, że mówiąc o wielokrotności, działamy w standardowych działaniach matematyki euklidesowej i poruszamy się w systemie dziesiętnym, tak?
Tak.
mp
chyba się udało 🙂
http://bankfotek.pl/view/1582929
Szukana liczba ma 44 cyfry. Jest nią:
10112359550561797752808988764044943820224719
„po przestawieniu ostatniej cyfry X na jej początek powstaje wielokrotność X”.
– to już nie jest matemetyka , nawet euklidesowa , to jest codzieność polskiej polityki.
Czy dopuszczamy patologiczny przypadek, że ostatnia cyfra może być zerem, bo po przeniesieniu jej na początek….i.t.d ?
😉
mp
Spytko, no ale jak zero z końca przeniesiesz na początek to nie uzyskasz wielokrotności chyba.
Witam,
Istnieje jeszcze (przynajmniej) jeden sposób (liczba wychodzi chyba taka sama)
Nadal zakładamy że mnożymy przez 9
Zaczynamy od 10112….
wynik zaczyna się więc od 91011….
żeby z 2(A) zrobić 1 trzeba wykonać działanie 9*2(A)+3(R) = 21(S)
kolejna cyfra wyniku to 2(A) (910112)
z reszty i ostatniej cyfry widać że chcemy otrzymać teraz S = 32(R*10+A)
32(S) to 9 * 3(A)+5(R)
a więc 101123
S = 53
A = 5
R = 8
X = 1011235…
S = 85
A = 9
R = 4
X = 10112359…
S = 49
…
Zakończenie będzie gdy:
R = 0
przy ostatniej cyfrze X = 9
/Tomek
zgadza się, to było pytanie z serii najpierw mów a potem myśl, a powinno być na odwrót 🙂
myślałem o tym w pamięci i pomyliło mi się co ma być wielokrotnością czego 😉
Liczba X ma 44 cyfry i wygląda tak:
X=10112 35955 05617 97752 80898 87640 44943 82022 4719.
Po przestawieniu 9 na początek powstaje liczba 9 razy większa.
Nie sprawdziłem jednak wszystkich możliwości więc nie wykluczone, że jest jeszcze jakaś inna liczba X.
X=L*10+a0
X1=a0*10^n+L
Z równania X1=k*X (k=1,2,…,9) wyznaczamy:
L=a0*(10^n-k)/(10*k-1)
Dla wszystkich k rachunkiem modulo znajdujemy możliwe n
Wykonujemy dzielenie i szukamy a0, żeby wyjść na X o podanym początku.
X = 10112359550561797752808988764044943820224719
9X=91011235955056179775280898876404494382022471
Najpierw zauważamy, że ostatnią cyfrą liczby X jest 9 i druga liczba z 9 na początku jest 9X.
Potem możemy mnożyć pisemnie od końca:9×9=81. Mamy ostatnią cyfrę wyniku i przedostatnią cyfrę liczby X=1. 9×1+8=17. 7 to przedostatnia cyfra wyniku i trzecia od końca l. X itd. na końcu uzupełniamy l.X 10, bo tak się miała zaczynać
.
Mówiąc ściślej dla wielokrotności k=9 dobre są również liczby:
X*10^44+X
X*10^88+X*10^44+X
i.t.d….
a więc mamy nieskończenie wiele liczb dla danej wielokrotności k.
Pytanie jest czy dla innych wielokrotności k istnieje X.
Poza k=9, sprawdziłem dla k=2, 3, 6, 8 i nie znalazłem. Pytanie co z k=1, 4, 5, 7 ? Tam trzeba rozważyć trochę więcej przypadków.
Wychodzi mi, że X ma 44 cyfry…
A dokładniej widzę to tak:
Uzyskana wielokrotność X ma tyle samo cyfr co X, zatem czynnik wielokrotności N nie przekracza 9.
Zapiszmy słupek dodawania. N składników to liczby 10112….(a-1),a, zaś pod kreską mamy a10112….(a-1).
Widzimy, że N musi być równe 9, gdyż tylko wtedy druga cyfra sumy będzie jedynką. Zatem również a jest równe 9.
Dalej to już żmudne dodawanie (pomogło kilka linijek kodu w Pascalu): N*9=81, więc (a-1)=1, osiem dalej, N*1+8=17, więc (a-2)=7, 1 dalej …… aż do uzyskania sekwencji …211019.
Jesli nic nie pokręciłem wychodzą razem 44 cyfry.
Jest sporo podobnych liczb – najmniejsza „nietrywialna” (np: 11, 22) to X: 102564
potem:
X: 128205
X: 142857
X: 153846
X: 179487
X: 205128
X: 230769
potem przynajmniej 10-cyfrowe…
Najmniejsze X składa się z 44 cyfr (nie taki bardzo długas). Rozwiązań jest nieskończenie wiele; są to liczby, które są konkatenacją X a zatem ich długości są podzielne przez 44.
Jeżeli weźmiemy dowolną cyfrę większą od 1 i pomnożymy ją przez siebie a później przez ostatnią cyfrę wyniku dodając przeniesienie, itd. (tak jak uczono nas mnożenia w pierwszej klasie podstawówki, może w drugiej), to wkrótce okaże się, że dwie pierwsze cyfry to 10.
Jeżeli teraz z takiego wyniku utworzymy dwie liczby: doklejając wybraną cyfrę na początek oraz na koniec to pierwsza liczba będzie podzielna przez drugą.
Jeżeli wybraną cyfrą jest 9 to bieżący wynik będzie zaczynał się od 10112.
Liczba X ma 44 cyfry:
10112359550561797752808988764044943820224719
44 cyfry
ręcznie odwróciłem algorytm mnożenia pisemnego zakładając, że trzeba mnożyć przez 9 (8 da błąd już przy 3 cyfrze od lewej) – czyli w skrócie – na początek wstawiłem 9 (bo mam 9-krotność), dalej przepisywałem cyfry 1,0,1,1,2 i kolejne uzyskane wyniki – za każdym razem widzę ile musi być przeniesione „dalej” z mnożenia przez nieznaną cyfrę po prawej, widzę ile mam pod kreską – dostaję liczbę 2-cyfrową, w niej mieści się ileś tam dziewiątek, i ileś dalej – stąd mam kolejną cyfrę itd itp… ręcznie trwało kubek herbaty
miodziu, możesz wyjaśnić trzecie zdanie swojego rozumowania?
„Wiemy, że liczba Y jest wielokrotnością liczby X, co w połączeniu z faktem, że X rozpoczyna się od cyfr 101? daje na równość: Y = B * X”
Po przejrzeniu wszystkich rozwiązań wydaje mi się że najprościej jest tak:
1. Z analizy początku liczby X wnioskujemy, że przenoszona cyfra=wielokrotności
2. Również z analizy początku wnioskujemy, że wynosi ona 9
3. Dzielimy w schemacie „szkolnym” X z przerzuconą na początek 9 przez 9 a nad kreską mamy początek wyniku czyli X i nad kreską mamy zawsze tą jedną cyfrę potrzebną do „spisania” zeby wykonać nastepny krok. w ten sposób odtwarzamy X przeskakujac od dzielnej do wyniku gdzie dzielna i wynik to liczba X przesunięta o jeden.
Y jest wielokrotnością X, zatem K = Y / X jest całkowita. Ponieważ X = 10…, oraz Y ma tyle samo cyfr co X, to po pomnozeniu X przez K zobaczymy, że pierwsza cyfrą Y jest K. My jednak wiemy, że pierwsza cyfrą jest B, zatem K=B.
Oczywiście, teraz wszystko jasne, doskonałe dojście do wyniku. Gratuluję.