Reklama
Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2
Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko Łamiblog - Blog Marka Penszko

1.07.2013
poniedziałek

Pi-łami

1 lipca 2013, poniedziałek,

Od dawna znana jest ciekawostka liczbowa, polegająca na zapisie ułamków jednostkowych (z jedynką w liczniku) w postaci ułamków składających się z dziesięciu różnych cyfr. Na przykład:

1/2=13485/26970  lub  1/7=14076/98532  lub  1/9=10638/95742

Numeromaniacy zabawiali się także szukaniem wszystkocyfrowych ułamków  odpowiadających ułamkom niejednostkowym, ale z nie więcej niż dwucyfrowymi liczbami w mianowniku i liczniku. Na przykład:

5/9=15930/28674  albo  5/16=23490/75168  albo  13/19=45981/67203

Ktoś wpadł na pomysł zapisania w ten sposób liczby pi, a ściślej jej ułamkowego przybliżenia 22/7. Okazało się, że można to zrobić na trzy sposoby:

22/7=49302/15687=56034/17829=62370/19845

Wydaje mi się, że ciekawsze byłoby znalezienie takiego ułamka z wszystkich liczb, który byłby najbliższy liczbie pi, czyli w jego rozwinięciu dziesiętnym najwięcej kolejnych cyfr byłoby takich, jak w pi: 3,141592… Więcej cyfr nie podaję, bo podejrzewam, że nawet dotarcie do piątej po przecinku nie jest możliwe. W każdym razie udało mi się zaliczyć (na piechotę) takie, jak należy, tylko do trzeciej, choć na kilka sposobów, np.:

54306/17289=3,1410…  lub  79836/25410=3,1419…  lub  62370/19854=3,1414…

Przy ostatnim przykładzie, z rozwinięciem z czwartą cyfrą po przecinku najbliższą celu, zbytnio się nie namęczyłem – wystarczyło zamienić dwie końcowe cyfry w mianowniku podanego wyżej ostatniego ułamka równego 22/7.
Kombinowałem na logikę, wspierając się oczywiście kalkulatorem, przez pół godziny. Zabawa na krótką metę jest dość przyjemna – polega na dopisywaniu cyfr do licznika i mianownika tak, aby rozwinięcie dziesiętne ułamka było cały czas jak najbliższe celu. Rzecz jasna możliwości jest zbyt wiele, aby można było liczyć na ogólnie najlepsze zakończenie. Przypuszczam jednak, że nawet osiągnięcie czwartej cyfry po przecinku jest mało prawdopodobne. A więc tym razem zadanie i prośba do programistów o potwierdzenie lub obalenie moich przypuszczeń.

Pięciocyfrowych liczb złożonych z różnych cyfr (takie powinny się znaleźć w liczniku i mianowniku) jest 27216, zatem teoretycznie (kombinacje 2-elementowe bez powtórzeń) ułamków do sprawdzenia jest nie więcej niż 370341720. W praktyce jednak znaczniej mniej, ponieważ mianownik powinien być zawarty między 10245, a 31786; właściwie dolną granicę można przesunąć do 10425, bo wcześniej będą powtórki w liczniku. Wystarczy mnożyć kolejne mianowniki różnocyfrowe przez pi, polując na iloczyn (licznik) złożony z różnych cyfr, ale innych niż tworzące mianownik. Dla komputera to pestka (?) :).

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 20

Dodaj komentarz »
  1. „62370/19854=3,1414?

    Przy ostatnim przykładzie, z rozwinięciem z czwartą cyfrą po przecinku najbliższą celu, zbytnio się nie namęczyłem – wystarczyło zamienić dwie końcowe cyfry w liczniku podanego wyżej ostatniego ułamka równego 22/7.”
    Wystarczyło zamienić dwie cyfry w mianowniku, a nie w liczniku. Drobny błąd, wszyscy i tak pewnie domyślą się o co chodzi, ale na wszelki wypadek zwracam uwagę.

    Poprawiłem się. Dzięki.
    mp

  2. Najlepszy wynik daje iloraz 85910/27346=3,141592 (pi do szóstego miejsca).
    Do piątego miejsca dają pi trzy ilorazy
    60548/19273
    84531/26907
    97468/31025

  3. Jakoś nie przekonuje mnie Pana wyliczenie ilości możliwych ułamków — liczba 370.341.720 wygląda na zdecydowanie za dużą. Ze zbioru 27216 liczb pięciocyfrowych złożonych z różnych cyfr nie może Pan brać par liczb na chybił trafił z dość oczywistego względu 🙂

    Możliwych ułamków jest tyle co różnych ustawień 10 cyfr (5 pierwszych idzie do licznika, pozostałe do mianownika), czyli 10! = 3.628.800. Można jeszcze odrzucić te, w których zero występuje na początku licznika lub mianownika, wtedy będzie jeszcze mniej…

    Ależ oczywiście, że 370… to gigant zdecydowanie za duży. Powinienem napisać, że to liczba ułamków nie „do sprawdzenia” tylko „do utworzenia” z liczb różnocyfrowych – bez przestrzegania warunku,aby różnocyfrowy był cały ułamek. To jakby tylko punkt wyjścia, od którego zaczyna się dalsza selekcja.
    mp

  4. Reklama
    Polityka_blog_komentarze_rec_mobile
    Polityka_blog_komentarze_rec_desktop
  5. Najlepszym przybliżeniem wartości pi ułamkiem zwykłym jest 355/115 co daje dziesiętne rozwinięcie z dokładnością do 7 cyfr znaczących. Mnożąc ten ułamek przez 281 otrzymamy: 99755/31753

  6. Oczywiście miałem na myśli pomnożenie licznika i mianownika przez 281 🙂

  7. Tylko te powtarzające się 9,7,5,3… Ale w konkurencji „maksimum 2 powtórzenia” zaproponowany ułamek jest bardzo dobry. 🙂

  8. Witam. Znalazłam cztery cyfry po przecinku
    a ułamek będzie wyglądał tak: 62350/19847=3,1415
    Pozdrawiam

  9. 85910/27346 = 3.1415929203539825
    Jest to ułamek najbliższy pi, sześć cyfr po przecinku się zgadza

  10. Co do tego, że 355/115 najlepiej przybliża pi to można się kłócić
    np ten ułamek
    709507129685401/225843133696748
    daje dużo lepsze przybliżenie. Zwiększając ilość cyfr w liczniku i mianowniku można dowolnie dokładnie przybliżyć wartość pi.

  11. Wyniki najblizsze Pi:
    licznik mianownik wynik
    85910 27346 3.14159292
    97468 31025 3.141595488
    60548 19273 3.141597053
    97584 31062 3.141587792
    84531 26907 3.14159884
    Pozdrawiam

  12. 85910/27346=3,141592920353……
    daje 6 dobrych cyfr po przecinku 3,141592

    natomiast w konkurencji bez zera najlepsze jest:
    16924/5387=3,141637…..tylko 3 dobre cyfry po przecinku

  13. 39480/12567=3.14156123
    42907/13658=3,14152877
    56042/17839=3,14154381
    57496/18302=3,14151459
    60548/19273=3,14159705 – pięć m-c po przecinku 🙂
    szukam dalej

  14. kolejne dwa rozwiązania z 4 m-cami po przecinku:
    62350/19847=3,14153273
    65183/20749=3,1415008
    pozdrawiam

  15. troszkę się tych z 4 m-cami nazbierało 🙂
    74106/23589=3,14154903
    75683/24091=3,14154664
    75963/24180=3,14156328
    76591/24380=3,14155045
    78946/25130=3,14150418
    78960/25134=3,14156123
    79813/25406=3,14150201
    83097/26451=3,14154474
    84039/26751=3,14152742
    84517/26903=3,14154555
    86490/27531=3,14154953
    90354/28761=3,14154584
    95761/30482=3,14155895
    97584/31062=3,14158779
    97645/31082=3,14152886
    97652/31084=3,14155192

    również znalazły się jeszcze dwa z 5 zgodnymi cyframi:
    84531/26907=3,14159884
    97468/31025=3,14159549

    a na koniec prawdziwa perełka, ze zgodnością do szóstego miejsca po przecinku:
    85910/27346=3,14159292

  16. Przed uwolnieniem komentarzy jak widzę nie zdążyłem… Tyle w każdym razie udało mi się znaleźć:
    85910 / 27346 = 3.1415929…
    Mam nadzieję, że do następnego takiego zadania zdążę nauczyć się programować. ; -)

  17. Skoro już łamiblogowicze pomogli Gospodarzowi, to może teraz ktoś pomoże L. J. Mordellowi.
    Czy w rozwinięciu dziesiętnym liczby pi występuje ciąg kolejnych cyfr 123456789 ?

    Andrzeju, Mordellowi już nikt nie pomoże – nie żyje od ponad 40 lat :). A bez czarnego humoru: w pierwszych stu milionach cyfr takiego „stringa” nie ma, co każdy może sprawdzić tu http://www.angio.net/pi/piquery.html

  18. H. Czy można w jakiś sposób przewidzieć lub obliczyć, z ilu cyfr składa się okres dowolnego ułamka?

  19. Nie przypadkiem wspomniałem o L. J. Mordellu.
    Wacław Sierpiński w jednej ze swoich książek pisze: „Nie wiadomo, czy równanie x^3+y^3+z^3=3 ma inne rozwiązania w liczbach całkowitych (x,y,z) poza (1,1,1), (4,4,-5), (4,-5,4) i (-5,4,4).
    Zagadnienie, czy inne rozwiązania tu istnieją, porównuje L. J. Mordell co do trudności z zagadnieniem, czy np. ciąg kolejnych cyfr 123456789 występuje w rozwinięciu dziesiętnym liczby pi”.

    Podany przez Mordella ciąg cyfr o mało co nie został znaleziony przez podaną powyżej wyszukiwarkę (do pełni szczęścia zabrakło ostatniej cyfry).
    Przypuszczam, że gdyby głębiej wejrzeć w rozwinięcie dziesiętne liczby pi, to w końcu natrafilibyśmy nie tylko na Mordellowski, ale i każdy dowolny ciąg cyfr.

  20. Widliszku, algorytm do szukania permutacji znajdziesz w książce Lipskiego „Kombinatoryka dla programistów”.

  21. Zainspirowany pytaniem Bryce W. Soto stawiam pod burzę mózgów następującą hipotezę:
    Jeśli p>11 jest liczbą pierwszą to długość okresu (1/p)=p-1
    Jeśli m nie jest liczbą pierwszą to długość okresu (1/m)<<m-1
    Hipoteza wynika z prostej obserwacji ale może już jest udowodniona i to w jakiejś mocniejszej formie ????????

    Spytku, komentarz Bruce W. Soto jest właściwie spamem, ale puściłem go, bo sprytnie siedzi w temacie (ustaliłem, że tekst jest przeniesiony ze strony http://www.jakubas.pl/matematyka/4/4.htm). Na tejże stronie jest więcej na ten temat.
    Oczywiście to wszystko na marginesie Twojej hipotezy, która zasługuje na uwagę.
    mp

css.php