Pi-łami

1 lipca 2013
Marek Penszko

Od dawna znana jest ciekawostka liczbowa, polegająca na zapisie ułamków jednostkowych (z jedynką w liczniku) w postaci ułamków składających się z dziesięciu różnych cyfr. Na przykład:

1/2=13485/26970  lub  1/7=14076/98532  lub  1/9=10638/95742

Numeromaniacy zabawiali się także szukaniem wszystkocyfrowych ułamków  odpowiadających ułamkom niejednostkowym, ale z nie więcej niż dwucyfrowymi liczbami w mianowniku i liczniku. Na przykład:

5/9=15930/28674  albo  5/16=23490/75168  albo  13/19=45981/67203

Ktoś wpadł na pomysł zapisania w ten sposób liczby pi, a ściślej jej ułamkowego przybliżenia 22/7. Okazało się, że można to zrobić na trzy sposoby:

22/7=49302/15687=56034/17829=62370/19845

Wydaje mi się, że ciekawsze byłoby znalezienie takiego ułamka z wszystkich liczb, który byłby najbliższy liczbie pi, czyli w jego rozwinięciu dziesiętnym najwięcej kolejnych cyfr byłoby takich, jak w pi: 3,141592… Więcej cyfr nie podaję, bo podejrzewam, że nawet dotarcie do piątej po przecinku nie jest możliwe. W każdym razie udało mi się zaliczyć (na piechotę) takie, jak należy, tylko do trzeciej, choć na kilka sposobów, np.:

54306/17289=3,1410…  lub  79836/25410=3,1419…  lub  62370/19854=3,1414…

Przy ostatnim przykładzie, z rozwinięciem z czwartą cyfrą po przecinku najbliższą celu, zbytnio się nie namęczyłem – wystarczyło zamienić dwie końcowe cyfry w mianowniku podanego wyżej ostatniego ułamka równego 22/7.
Kombinowałem na logikę, wspierając się oczywiście kalkulatorem, przez pół godziny. Zabawa na krótką metę jest dość przyjemna – polega na dopisywaniu cyfr do licznika i mianownika tak, aby rozwinięcie dziesiętne ułamka było cały czas jak najbliższe celu. Rzecz jasna możliwości jest zbyt wiele, aby można było liczyć na ogólnie najlepsze zakończenie. Przypuszczam jednak, że nawet osiągnięcie czwartej cyfry po przecinku jest mało prawdopodobne. A więc tym razem zadanie i prośba do programistów o potwierdzenie lub obalenie moich przypuszczeń.

Pięciocyfrowych liczb złożonych z różnych cyfr (takie powinny się znaleźć w liczniku i mianowniku) jest 27216, zatem teoretycznie (kombinacje 2-elementowe bez powtórzeń) ułamków do sprawdzenia jest nie więcej niż 370341720. W praktyce jednak znaczniej mniej, ponieważ mianownik powinien być zawarty między 10245, a 31786; właściwie dolną granicę można przesunąć do 10425, bo wcześniej będą powtórki w liczniku. Wystarczy mnożyć kolejne mianowniki różnocyfrowe przez pi, polując na iloczyn (licznik) złożony z różnych cyfr, ale innych niż tworzące mianownik. Dla komputera to pestka (?) :).