Jazda za 9

13 lipca 2012
Marek Penszko

Chyba każdy, kto spojrzy na ciąg
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048,…
powie, że
(1) tworzą go kolejne potęgi dwójki,
a nikt nie określi go rekurencyjnie tak:
(2) każda następna liczba jest najmniejszą, która nie może być sumą dowolnej liczby poprzednich (różnych) liczb,
choć to oczywiście tyż prowda (wypadałoby jeszcze dodać, że ciąg jest rosnący).

Chyba nikt, kto spojrzy na ciąg
1, 2, 4, 5, 8, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 25,…
nie określi go (jeśli w ogóle jakoś go określi) niemal dokładnie tak, jak brzmi (2). A tymczasem wystarczy w (2) przed ostatnim wyrazem dodać tylko jedno słówko  „kolejnych” – i będzie OK.

Weźmy pięć pierwszych wyrazów tego ciągu, czyli wszystkie jednocyfrowe, i zbliżmy je do siebie, tworząc liczbę:
12458.
Biorąc jedną cyfrę tej liczby lub sumę kilku kolejnych cyfr, można – co wynika z zasady tworzenia ciągu – „dojechać” od 1 do 9, o tak:
1, 2, 3 (1+2), 4, 5, 6 (2+4), 7 (1+2+4), 8, 9 (4+5).
Bardzo istotne jest przy tym, że:
(3) każdą liczbę na trasie da się utworzyć tylko w JEDEN SPOSÓB.

Czy można, przestawiając cyfry w 12458, utworzyć liczbę, która pozwoli w ten sam sposób zajechać dalej?
1 i 2 muszą być obok siebie. 5 nie może być ani obok 1, ani obok 2, bo byłby drugi sposób na 8. Zatem dozwolony jest jeden z pięciu układów:
12X5X
12XX5
X12X5
5X12X
5XX12
Ponieważ 4 nie może być obok 1 (powstałaby suma 5, a 5 już jest), natomiast musi być obok 2 (jedyny sposób na utworzenie 6, skoro 5 odskoczyło od 1), więc liczby do przeglądu pozostają dwie:
81245
58124
Pierwsza odpada od razu, bo suma 9 powstaje w niej na dwa sposoby, a w drugiej do 10 się nie dotrze.

Czy istnieje liczba 5-cyfrowa, która umożliwia dojechanie od 1 przynajmniej do 10, a jeśli tak, to jaka liczba 5-cyfrowa pozwala zajechać najdalej?
I drugie pytanie, znacznie trudniejsze: jak najdalej można zajechać dowolną liczbą (teoretycznie najwyżej 9-cyfrową; zero pomijamy, bo żadnego pożytku z niego nie ma)?
Proszę nie zapominać o warunku (3).

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.