Ciąg
Z okazji przypadającego dziś Dnia Krótkiego Wpisu niniejszy wpis (w przeciwieństwie np. do poprzedniego) jest, podobnie jak jego tytuł, bardzo niedługi. Ot, zdanie-zadanie.
Każda n-ta liczba w ciągu jest najmniejszą sumą n różnych liczb takich, że każda z nich pomnożona przez n daje iloczyn utworzony z takiego samego zestawu n cyfr.
Oczywiście n1= 1. A co dalej?
Gwoli jasności określenia „taki sam zestaw cyfr” – przykład:
gdyby zestawem były trzy cyfry (0, 6, 7), to wszystkimi możliwymi do utworzenia liczbami byłyby: 607, 670, 706, 760.
Szukany ciąg jest mocno zakręcony i w Encyklopedii ciągów liczbowych go nie ma.
Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.
Komentarze
Jest zakręcony… nie wątpię. To, że nie ma go w Encyklopedii ciągów liczbowych, także mnie nie dziwi… Po zrozumieniu czym ma być tym ciąg, już jestem zachwycony, wniebowzięty i oczarowany, że w ogóle takowy istnieje…
Zajęło mi chwilę, żeby w ogóle zrozumieć ‚instrukcje obsługi’ tego ciągu… ufff…
Czy można używać zera nieznaczące?
mam na myśli drugi wyraz ciągu równy 11 dla liczb(01 i 10), których iloczyn z 2 dałby: 20 i 02
Nie. Specjalnie podałem przykład, w którym nie ma liczb zaczynających się od zera.
mp
Bo jesli zera mozna pisac, to, jesli dobrze rozumiem zadanie, dla n=3
mamy 4+7+34=45
bo:
3*4=012,
3*7=021
3*34=102
Zrozumienie zadania – OK!
mp
No to bez zer mamy na początek (niestety więcej czasu brak, zbyt zakręcone to to jest):
1,33,141…
bo, ponieważ, dlatego:
12+21 (2*12=24, 2*21=42)
34+40+67 (3*34=102, 3*40=120, 3*67=201)
…. i być może 4 wyraz=222, bo:
31+35+53+103 (4*31=124, 4*35=142, 4*53=214 i 4*103=412)
co daje prawdopodobnie taki początek tego ciągu:
1,33,141,222…
A tak swoją drogą: co za szalony umysł wpadł na taki sposób tworzenia ciągu????? :):):)
brrrrrrrrrrrr….
Jeszcze raz przeczytałem ‚instrukcję’ i… błąd:
‚…daje iloczyn utworzony z takiego samego zestawu n cyfr…’
n cyfr! a w 4 wyrazie , wychodzi na to, że użyłem n-1 cyfr 🙁
Zmieniam 4 wyraz na:1110
253+275+280+302
4*253=1012
4*275=1102
4*280=1120
4*302=1210
i to co do tej pory znalazłem (i chyba juz więcej nie będę szukał, bo ołówek mi skwierczy):
1,33,141,1110…
4*275=1100
mp
1;
33(12,21);
141(34,40,67);
2230(310,355,535,1030);
10357(2003,2021,2030,2102,2201)
i na razie wymiękam, bo nic przez Pana już dziś w pracy nie zrobię.
Pozdrawiam
Piotr
No to na szybko jeszcze jeden, bo akurat z 6 jest dość łatwo:
100869 ( 16672,16705,16720,16717,17005,17050)
Piotr
Nie rozumiem na czym polega trudność budowy tego ciągu (prawdopodobnie chodzi o to aby kolejne N były minimalne). Tworzenie liczb spełniających warunki jest bowiem banalne. Przykład dla n=4
1. każda z 4-ech liczb złożonych z tych samych cyfr musi być podzielna przez 4. Cecha podzielności dla 4 – dwie ostatnie cyfry liczby tworzą liczbę, która jest podzielna przez 4.
2. należy wybrać 4 takie liczby, aby ich suma podzielona przez 4 była minimalna.
248,284,428,824 (liczby muszą być różne) spełniają te warunki, ich suma wynosi 1784, czyli 4 wyraz ciągu to 1784/4=446.
Do wyrazu 5, ciąg prezentuje się tak: 1,33,141,446,2733
33=(24+42)/2
141=(102+120+201)/3
2733=(1005+1050+1500+5010+5100)/5
No chyba, że źle zrozumiałem zasady.
Nie wiem czy istnieje wyraz ogólny tego ciągu (funkcja minimalizująca wyrazy jest trudna do „ogarnięcia”). Oczywiście złożoność obliczeniowa dla dalszych wyrazów ciągu rośnie dość szybko.
Od czwartego wyrazu jest źle, bo n-ty wyraz powinien być n-cyfrowy.
mp
W którym miejscu zadania jest warunek ” n-ty wyraz powinien być n-cyfrowy” ? Ja go nie widzę.
Właściwie powinienem napisać, że wszystko jest źle, bo choć drugi i trzeci wyraz są OK., to zasada ich tworzenia nie.
Proszę zwrócić uwagę np. na Pański zapis piątego wyrazu:
2733=(1005+1050+1500+5010+5100)/5
Rozumiem, że pięcioma liczbami składającymi się na ten wyraz są 201, 210, 300, 1002 i 1020, a nie podane w nawiasie. Ale skoro tak, to np. 201 pomnożone przez 5 nie da iloczynu utworzonego z PIĘCIU cyfr (a powinno, bo to jest PIĄTY wyraz) tylko z CZTERECH.
mp
Czyżby chodziło o ciąg : 1,33,423,5223?
Drugi wyraz to suma 12 i 21( 12×2=24, 21×2=42)
Trzeci to 102+120+201 (102×3=306,120×3=360,201×3=603)
Czwarty to 1002+1020+1200+2001 (1002×4=4008,1020×4=4080,1200×4=4800,2001×4=8004)
Piątego już w ten sposób nie mogę utworzyć, bo 20001×5=100005
Ale krótki wpis, to i krótki ciąg.
To by było za proste. Ale drugi wyraz (zbieg okoliczności 🙂 ) jest OK.
mp
Ja też mam pytania (związane z odpowiedzią Wiąza)
(1) czy „taki sam zestaw cyfr” tyczy się tylko iloczynów czy też iloczynów i składników sumy?
np: N2 = A+B, gdzie
A = a1
B = b1
A*2 = X = 10*a1+b1
B*2 = Y = 10*b1+a1
(….)
(2) Czy iloczyn musi zawierać wszystkie cyfry z zestawu?
(1) Tylko iloczynów
(2) Tak, wszystkie
mp
nie mogę rozkminić jak ten ciąg w ogóle jest skonstruowany.. ):
„Rozkminienie” to pierwsza przeszkoda, z którą wiele osób ma spory kłopot.
W związku z tym ujawniam drugi wyraz (n = 2).
Jest nim 33, ponieważ:
– 33 = 12 + 21 (suma dwóch liczb), zaś 12*2 = 24 i 21*2 = 42 – a zatem oba iloczyny utworzone są z takiego samego zestawu dwóch cyfr – (4,2)
– żadnej 2-cyfrowej liczby mniejszej od 33 nie można przedstawić w postaci sumy dwóch liczb spełniających takie warunki, jak powyżej.
Przypadkiem składniki 12 i 21 także składają się z takiego samego zestawu cyfr, ale dla trzeciego wyrazu już tak nie będzie.
mp
PS Cała sztuka polega na tym, aby szukać kolejnych wyrazów – że tak powiem – od dobrej strony
Pokusiłem się o 5 wyraz… tak z nudów: 10357
10015:5=2003
10105:5=2021
10150:5=2030
10510:5=2102
11005:5=2201
mam nadzieje, ze to ten najmniejszy 🙂
Wiązie, podziwiam. Ja się jeszcze nie pokusiłem. Może dlatego, że się nie nudzę 😉
Ale wyraz jest OK
mp
Skoro Pan sie nie pokusił, a wyraz jest OK, wnioskuję, że ten ciąg stworzył jakiś inny szalony umysł 😉
Przyznaję się ze wstydem, że szalony umysł jest mój, a wyraz jest OK (z prawdopodobieństwem bliskim pewności), ponieważ trzy osoby (w tym jeden Łamiblogowicz) znalazły wcześniej taki sam.
mp
6 wyraz, to już loteria: 100452
100014/6=16669
100104/6=16684
100140/6=16690
100410/6=16735
101004/6=16834
101040/6=16840
nie wiem czy to najmniejsza suma, ale jesli chodzi o podzielnosc przez 7 to juz nie mam siły 🙂
Co do szóstego wyrazu mogę tylko stwierdzić, że Pański jest najmniejszym dotąd znalezionym. Czy w ogóle najmniejszym? Oto jest pytanie.
mp
Co do 7 wyrazu, to już zwykle przestawienie cyfr nic nie da, zasady podzielności są mocno pokręcone, ja wysiadam:) z tego co pamiętam to trzeba mnożyć cyfry od prawej przez kolejne potęgi 3 i zsumować to… Aż to końca… Radziłbym przeskoczyć od razu do 9. Tak pisząc teraz, myślę, że znalezienie 7 wyrazu jest wyzwaniem nie lada.
A propos prawdopodobieństwa graniczącego z pewnością:) cofnijmy się do ‚Pięciu drzew’ 🙂 Tam też było coś graniczącego z pewnością, a okazało się, że tego ‚pewniaka’ nikt z odpowiadających nie obstawiał:):):)
Tyż prowda
mp
Moim zdaniem (ale bez dowodów)
N2 = 33
N3 = 189
N4 = 1222
N5 = 11450
N6 = 103110
N7 = 1026066
N8 = 10245421
N9 = 102346065
N10 = 1234572480
N11 i dalsze mogłyby być w innych systemach liczbowych.
Do N4 jest OK, N5 i N6 mogą być mniejsze, dalej – nie potrafię ocenić.
mp
N3 też nie jest dobrze – powinno być:
N3 = 156 (41+ 44 + 71)
To już ostatnia poprawka:
N3 = 141;
iloczyny: 102, 120, 201
N4 = 1222;
iloczyny: 1024, 1204, 1240, 1420
N5 = 11450;
iloczyny: 10235, 10325, 12035, 12305, 12350
N6 = 102666;
iloczyny: 102468, 102486, 102648, 102684, 102846, 102864
N7 = 1026066 ;
iloczyny: 1023456, 1023645, 1024653, 1025346, 1026354, 1026543, 1032465
N8 = 10237925;
iloczyny: 10234568, 10234856, 10235648, 10235864, 10236584, 10238456, 10243568, 10243856
N9 = 102346065;
iloczyny: 102345678, 102345687, 102345768, 102345786, 102345867, 102345876, 102346578, 102346587, 102346758
N10 = 1234572480;
iloczyny: 1234567890, 1234567980, 1234568790, 1234568970, 1234569780, 1234569870, 1234576890, 1234576980, 1234578690, 1234578960
pierwsze 5 liczyłem ręcznie, pozostałe – komputerowo 🙂
N3 istotnie przeoczyłem – teraz jest OK. Natomiast N5 i N6 nadal nie są najmniejsze. Może komputer by je zmniejszył 🙂
mp
PS mam wrażenie, że założył Pan, że cyfry tworzące iloczyny powinny być różne – a takiego warunku nie ma w zadaniu
Jestem zafascynowany tym ciągiem. Czy to możliwe żeby dla każdego n, gdy n należy do zbioru liczb naturalnych, istniał wyraz tego ciągu?
Zapomniałem, że przed długimi weekendami nie powinno się wyjeżdżać. Mam nadzieję, że do czasu aż skończy się ten korek podam odpowiedź.
Ale znalezienie wyrazów nie jest aż takie trudne. Drugi wyraz musi
być dwucyfrowy, trzeci trzycyfrowy…, drugi nie może być liczba nieparzystą, dalej już jest trudniej ale też się coś na pewno znajdzie.
co ciekawe, drugi wyraz nie tylko ze nie może być nieparzysty, to jeszcze cyfra dziesiątek także może być tylko parzystą. Ot, i już mniej „zmudno” 😉
Jednak korki to nie najlepsza pora ani miejsce na łamigłówki. A może tak się nieudolnie próbuję tłumaczyć z powyższych zupełnie błędnych wniosków.
3 wyrazem mogłoby być 144:
144=70+40+34
70*3=210
40*3=120
34*3=102
Ale teraz pytanie: czy to jest najmiejsza suma?
Najpierw zrozumienie, a potem szukanie ciagu jest karkolomne. Udalo mi sie dotrzec do piatego wyrazu.
II. 33 (12+21)
III. 141 (34+40+67)
IV. 1222 (256+301+310+355)
V. 10357 (2003+2021+2030+2102+2201)
Dalej to juz chyba da sie tylko z pomoca jakiegos programu komputerowego.
a
N3 = 141
N4=2255 (2048/4=512; 2084/4=521; 2408/4=602; 2480/4=620)
etc. ale nad reszta pomyśle po wyjściu z autobuso-sauno-ściskarki.
N5=52322
wygląda na to, ze trudniej jest zrozumieć ten ciąg niż go znaleźć.
Trzeci wyraz = 141 (34×3=102, 40×3=120, 67×3=201)
Czwarty = 1222 (256×4=1024, 301×4=1204, 310×4=1240, 355×4=1420)
Piąty = 10357 (2201×5=11005, 2003×5=10015, 2021×5=10105, 2030×5=10150, 2102×5=10510)
Szósty= 101518 (16708×6=100248, 16714×6=100284,16738×6=100428,16747×6=100482,16804×6=100824,16807×6=100842)
Jawo, brawo! Tylko szósty wyraz jest nie taki, czyli nie najmniejszy.
mp
Udało mi się do 6 wyrazu! 🙂 z jednym małym ale, 4 wyraz , błąd w rachunkach, pewnie to wina ołówka… muSzę na coś zwalić:) dzisiaj zwalilbym na UPAŁ, okropnie gorąco, szczególnie teraz, czekając w samochodzie na żonę aż wróci ze sklepu 😉