Ulam i Fibonacci

5 stycznia 2012
Marek Penszko

Poza dwiema własnościami 2012, wymienionymi w poprzednim wpisie, niełatwo znaleźć jakieś inne ciekawostki lub osobliwości związane z tegoroczną liczbą – oczywiście ściśle matematyczne, bo apokaliptyczno-numerologicznych, wiążących się głównie z kalendarzem Majów lub Koranem, jest  w sieci mnóstwo.

Za specyficzne można uznać na przykład to, że liczba 2012 dzieli się przez iloczyn tworzących ją cyfr, pomijając zero. W ciągu takich liczb tegoroczna zajmuje pozycję 147., wciśnięta między 2010 a 2016, unikatem więc raczej nie jest.
Jeszcze dalej, bo jako 218. wyraz ciągu, 2012 figuruje wśród tzw. liczb Ulama (od nazwiska wybitnego amerykańskiego matematyka polskiego pochodzenia). Oryginalny i ciekawy jest natomiast sam ciąg, więc o nim słów kilka.
To jakby przeciwieństwo ciągu Fibonacciego, zwłaszcza jeśli ten klasyczny ciąg zdefiniować nieco inaczej. W wersji podstawowej ciąg Fibonacciego zaczyna się od zera i jedynki, a każdy następny wyraz jest sumą dwu poprzednich, czyli:
(A) 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,…
Można jednak zacząć od dowolnej pary liczb całkowitych nieujemnych, np. od 1 i 2, a zasadę tworzenia ciągu sformułować tak: każdy następny wyraz jest największą sumą dwóch różnych liczb wybranych spośród tych, które dotąd pojawiły się w ciągu.
Ciąg Ulama powstanie, jeśli w tym pokrętnym sformułowaniu zamiast „największą” wstawić „najmniejszą” oraz dodać następujący warunek: ciąg powinien być rosnący, a suma, stanowiąca kolejny wyraz, powinna być możliwa do utworzenia (z dostępnych liczb) tylko na jeden sposób.
Zaczynający się od 1 i 2 ciąg wygląda więc tak:
(B) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99, 102,…
Gwoli jasności wytłumaczenie, dlaczego na przykład po 28 jest 36.
29 nie pasuje, bo 29 = 1 + 28 = 3 + 26 = 11 + 18 = 13 + 16, czyli sumę można utworzyć aż na cztery sposoby. 30, 31 i 32 da się złożyć na dwa sposoby, 34 – na trzy. Sum 33 i 35 w ogóle nie można utworzyć. Dopiero 36 ma unikalny skład – 8 + 28 (18 + 18 odpada, bo liczby powinny być różne).

Poza podstawowymi, rzec by można „kanonicznymi” postaciami ciągów przedstawionymi wyżej [(A) i (B)], istnieje nieskończenie wiele ich odmian, zaczynających się od dwu dowolnych liczb. Jeśli np. pierwszą parą będą 1 i 5, to ciąg Fibonacciego rozwinie się tak:
(C) 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118, 191, 309, 500, 809, 1309, 2118, 3427, 5545, 8972,…,
a ciąg Ulama:
(D) 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 20, 22, 23, 24, 26, 38, 39, 40, 41, 52, 57, 69, 70, 71, 82, 87, 98, 102…
W (D), podobnie jak w (B), także pojawi się 2012, w (C), jak widać, podobnie jak w (A) – nie.

Od jakich dwu liczb, których suma jest najmniejsza, zaczyna się ciąg Fibonacciego, zawierający liczbę 2012?

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.