Kapelusz i okulary

25 lipca 2010
Marek Penszko

Siódemka – liczba prawie kultowa, a trudno znaleźć coś matematycznie osobliwego, co wyróżniałoby ją spośród innych liczb. Inna sprawa, że to spostrzeżenie dotyczy w gruncie rzeczy wszystkich liczb, jeśli osobliwość ma być związana z jedną, konkretną własnością. Gdyby było tak idealnie, można by napisać: „Jedyna liczba, która…” – i dalej bardzo krótko i zwięźle, dlaczego jedyna. Podobnie jak stwierdzenie „jedyna osoba w kapeluszu” wyróżniałoby kogoś na zatłoczonej ulicy. W gąszczu liczb bardzo trudno o takie wyróżnienie, może nawet jest to niemożliwe. Z reguły bywa tak, że – wracając na ulicę – osób w kapeluszu widać więcej, a jedyną jest ta, która poza kapeluszem ma jeszcze okulary. Zdarza się jednak, że wprawdzie nie ma tylko jednej liczby „w kapeluszu”, ale jest ich bardzo mało. Gdyby na przykład wydać rozkaz: „liczby równe sumie silni cyfr, z których się składacie – wystąp!”, to wystąpiłyby tylko cztery: 1, 2, 145 i 40585 (można dowieść, że nie ma więcej). Gdyby natomiast rozkaz dotyczył liczb doskonałych, to nie wiadomo, ile by wystąpiło, zapewne nieskończenie wiele, ale na pewno 47 znanych dotychczas.

Wspomniałem o liczbach doskonałych (dwukrotnie mniejsze od sumy swoich dzielników), bo z sumą dzielników wiąże się własność siódemki chyba najbardziej ją wyróżniająca, choć to cecha typu „kapelusz plus okulary”. Jeżeli zażądamy, aby wystąpiły liczby, których suma dzielników jest sześcianem, to pojawi się ich nieskończenie wiele (7, 102, 381, 690, 1164, 2667,…), ale jeśli dodamy, że chodzi o liczby pierwsze, to zgłosi się tylko siódemka.

I jeszcze dwie ciekawostki:
– jeśli siedem podniesiemy do czwartej potęgi, a cyfry tworzące wynik dodamy do siebie, to otrzymamy… siedem (to nie taka rzadkość – 22, 25, 28, 36 i zapewne sporo dalszych też tak ma);
– aby „usiedmiokrotnić” 1359 wystarczy przestawić cyfry (liczby 4-cyfrowe zwielokrotniane w podobny sposób są jeszcze trzy).

Bohaterkami zadania w poprzednim wpisie były liczby astronomiczne i przy gigantomanii pozostanę.

Z cyfr od 1 do 7 utworzono siedem różnych liczb 7-cyfrowych złożonych z różnych cyfr. Jeden komputer „wziął” na chybił trafił przynajmniej jedną z tych liczb, drugi pozostałe. Oba podniosły swoje liczby do siódmej potęgi i zsumowały wyniki. Wygrywał ten, którego suma była większa. Czy taka gra komputerowa mogła zakończyć się remisem? Odpowiedź proszę uzasadnić.

Wbrew pozorom zadanie nie jest tak trudne, jak by się mogło wydawać – jeżeli ktoś uważał na lekcjach matematyki i wpadnie na pewien pomysł.

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.