Postępik

28 października 2009
Marek Penszko

Jako cyklista fanatyk z żalem witam jesienne chłody, które nie sprzyjają dłuższym i dalszym wycieczkom. Pół biedy, gdy jesień jest bardziej słoneczna, niż dżdżysto-śnieżna. Niestety, z tegoroczną bywa raczej odwrotnie. Ponieważ jestem też piwoszem – ale nie fanatykiem, tylko smakoszem, i to umiarkowanym – połączyłem obie słabości w krótkodystansowe hobby pod tytułem „spragniony cyklista”. To jakby wersja dla ubogich długodystansowego „Spragnionego podróżnika” z Travel channel. Niezorientowanym wyjaśniam, że bohater programu zwiedza świat jako konsument regionalnych trunków, zwykle z górnej półki. Napisałem „zwykle”, bo zdarza się, że po niektórych, mimo skromnego spożycia, z trudem przychodzi do siebie, a raz nawet (w Peru, jeśli dobrze pamiętam) ledwo uszedł z życiem. Moje pedałowanie ogranicza się do pobliskich wsi słowackich i polskich. Nawet w najmniejszej trafia się przytulna knajpka, w której można się pokiwać nad kufelkiem, chłonąc folklor i rozwiązując lub układając jakąś łamigłówkę. Na przykład matematyczną, związaną z trójkątem Pascala.

Urok trójkąta Pascala bierze się przede wszystkim z kontrastu między trywialnym sposobem jego tworzenia, a mnóstwem zaskakujących i wcale nie trywialnych zależności i osobliwości matematycznych, jakie się w nim pojawiają. Jak wiadomo konstrukcja zaczyna się od klina z jedynek, który następnie wypełniany jest liczbami zgodnie z prostą regułą: pod każdą parą cyfr wpisujemy ich sumę. Można też, deformując nieco klasyczny kształt, przedstawić trójkąt w postaci ciągu dwuwymiarowego (jak ciąg w poprzednim wpisie), którego wyrazy określa symbol Newtona.

 

Podstawowe „cuda” trójkąta Pascala są dość znane. Można o nich poczytać np. w Wikipedii. Przypomnę jedno, którego w Wikipedii nie ma: jeśli od dowolnej lewej jedynki pojedziemy w dół po przekątnej (na rysunku ciągowym) i zatrzymamy się na jakiejś liczbie, to tuż pod nią odczytamy, niczym na liczniku, jaki dystans pokonaliśmy (suma „przejechanych” liczb).
Pora na cudo mniej znane, a bardziej łamigłówkowe.

W siódmym wierszu (pierwszy jest zerowy) występują kolejno trzy liczby, tworzące fragment postępu arytmetycznego: 7, 21, 35 (ze względu na symetrię jest tu także „regres” arytmetyczny – 35, 21, 7).  To rzadkość w wierszach trójkąta Pascala, a dłuższy fragment w żadnym się nie pojawia.
W którym najbliższym wierszu znajduje się następny trzywyrazowy postępik arytmetyczny i z jakich liczb się składa?

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3 dni.