Antymagia

13 czerwca 2009
Marek Penszko

Kwadrat 3 x 3 można wypełnić liczbami od 1 do 9 na 9!/8 = 45360 różnych sposobów (z dokładnością do obrotów i odbić lustrzanych). Tylko jedno z tych wypełnień ma niezwykłą własność: sumy liczb w wierszach, kolumnach i na przekątnych są takie same. Ten unikatowy egzemplarz, jako układ liczb zwany w matematyce matrycą kwadratową drugiego stopnia, kojarzony w starożytności i w średniowieczu z siłami nadprzyrodzonymi i mistyką, pojawiał się na talizmanach i amuletach jako kwadrat magiczny – i takim pozostał.

  

Arabski talizman jest nieco zagadkowy. Znadujące się na nim liczby i sumę magiczną łatwo rozszyfrować, ale dlaczego suma jest właśnie taka?

Na temat kwadratu magicznego 3 x 3 i jego nieco młodszych, większych kuzynów wylano od średniowiecza morze atramentu. Zagadnienie jest w zasadzie rozrywkowe, ale nie brakuje prac stricte matematycznych. Na fali mody na sudoku temat powrócił i pojawiły się kolejne dziełka, że tak powiem, podsumowujące całokształt; najnowsze jest tu.

Przed półwieczem kwadratomaniacy wymyślili antymagię – sumy liczb w wierszach, kolumnach i na przekątnych powinny być różne. Takich kwadratów 3 x 3 jest 3120, więc nie stanowią niczego niezwykłego. Dlatego z czasem pojęcie antymagii ograniczono do kwadratów, w których wszystkie sumy tworzą fragment ciągu liczb naturalnych. Okazało się jednak, że antymagicznych kwadratów 3 x 3 nie ma – ciąg sum zawsze będzie przerwany. Można jednak uznać za  prawie antymagiczny kwadrat 3 x 3, w którym pojawia się ciąg liczb od 1 do 16 oraz tajemnicza liczba x > 17. Liczby od 1 do 9 wpisane są w diagram, a liczby od 10 do 16 oraz x są sumami.
Z lewej strony przykład (x = 20), z prawej zadanie domowe: w kwadracie magicznym należy przestawić cztery liczby tak, aby powstał prawie antymagiczny.

 

Dla ułatwienia, bo zadanie jest trudne: x > 20, trzy z czterech przestawianych liczb są w tym samym rzędzie, a rozwiązania są przynajmniej dwa (przynajmniej tyle znam).

A gdyby ktoś miał ochotę przejść do historii matematyki, może spróbować znaleźć prosty dowód niemożności utworzenia kwadratu antymagicznego 3 x 3. To nie żart, nikomu dotąd się to nie udało. Chodzi oczywiście o logiczny dowód, a nie sprawdzenie przy pomocy komputera, że żaden z 3120 heterokwadratów 3 x 3 (tak obecnie określa się te, w których wszystkie sumy są różne) nie jest antymagiczny.