Trójki przyrożne

Pisałem niedawno, że dowodów nie będzie. Uściślę: nie będzie zbyt trudnych lub zawiłych dowodów. Natomiast proste dowodziki mogą się okazjonalnie i w rolach drugoplanowych pojawiać. Jak na przykład w tym wpisie.

Dysponujemy trzynastoma różnymi liczbami całkowitymi – od 1 do 13. Dwunastoma z nich oznaczamy krawędzie sześcianu w taki sposób, że
suma liczb na trzech krawędziach zbiegających się przy każdym wierzchołku jest taka sama.
Nazwijmy te trójki liczb przyrożnymi.
Oto cztery stwierdzenia dotyczące tego osobliwego układu liczb na krawędziach:
1. jedną trójkę przyrożną tworzą trzy kolejne wyrazy postępu arytmetycznego.
2. dwie trójki przyrożne składają się wyłącznie z liczb nieparzystych.
3. wśród liczb na krawędziach nie ma trzynastki.
4. jedna trójka przyrożna to trzy potęgi.
Niestety, prawdziwość powyższych stwierdzeń budzi wątpliwości. Które z nich na pewno są fałszywe?
I zadanie dodatkowe: proszę podać przykład takiego rozmieszczenia liczb na poniższym schemacie sześcianu, które będzie zgodne przynajmniej z jednym z podanych stwierdzeń.