Cykl na sen

15 stycznia 2009
Marek Penszko

Pewien brytyjski matematyk, zajmujący się teorią liczb, polecał na bezsenność obliczenia zamiast liczenia owiec. Podobno najlepszy sposób polega na tworzeniu w następujący sposób kolejnych wyrazów ciągu:
– wybieramy jakąś liczbę, najwygodniej 3- lub 4-cyfrową,
– każdą jej cyfrę podnosimy do kwadratu i wszystkie kwadraty sumujemy,
– z sumą postępujemy podobnie, tworząc kolejny wyraz ciągu,
– i tak do zaśnięcia.
Jeżeli jednak dotrzemy do jedynki, to ciąg przechodzi w stały i „lek” przestaje działać. Wtedy trzeba zacząć jeszcze raz od innej liczby, aż pojawi się cykl – przy nim wpadamy w objęcia Morfeusza. Ów cykl nasenny składa się z ośmiu liczb:
…> 4 > 16 > 37 > 58 > 89 > 145 > 42 > 20 >…
Jest więc dokladnie taki, jak w łamigłówce kończącej poprzedni wpis.

W książce The Beginner’s Guide to Mathematica Version 3 Jerry Glynn i Theodore Gray rozważają możliwości modyfikacji ciągowo-cyklicznego sposobu na bezsenność. Sprawdzają, co będzie się działo z ciągiem, jeśli kwadraty zastąpić sześcianami lub wyższymi potęgami. Zaprzęgając do pracy komputer docierają aż do n^15, a wszystko to w ramach nauki programowania. Usypiająca skuteczność ciągu jest tym większa, im dłuższy cykl się w nim pojawia. Niestety, w przypadku potęg większych od 2 cykle są krótkie. Pomijam już to, że sumowanie dużych potęg może działać na zasypiającego pobudzająco.
Ciekawie jest dla sześcianów – ciąg może zapętlić się aż na dziewięć sposobów: cyklem 3-wyrazowym – …> 55 > 250 > 133 >… lub …> 160 > 217 > 352 >…; 2-wyrazowym – …> 919 > 1459 >…; albo 1-wyrazowym, czyli liczbą 0, 1, 153, 370, 371 lub 407.
Glynn i Gray szukali zależności między cyklami w ciągach dla różnych potęg. Ustalili jedno – możliwych cykli jest więcej, jeśli potęgi są nieparzyste.

Próbowaliśmy ze znajomym Słowakiem, także liczbomaniakiem, zmodyfikować ciąg podstawowy (ten z podnoszeniem cyfr do kwadratu) tak, aby był bardziej nasenny, czyli zawierał cykl dłuższy niż 8-wyrazowy. Modyfikacja powinna być oczywiście w miarę prosta rachunkowo i możliwie elegancka. Wspomagaliśmy się piwem Kelt (polecam, ale w Polsce chyba niedostępne), choć mogło to mieć skutek odwrotny od zamierzonego, bo propozycji padło niewiele. Jedyna zaakceptowana sprowadza się do tego, żeby tworząc kolejny wyraz ciągu dodawać do siebie poza kwadratami cyfr jeszcze same cyfry. Ciąg podstawowy, startujący na przykład od 18, szybko się zapętla: 18 > 65 > 61 > 37 (początek cyklu), natomiast w przypadku naszej polsko-słowackiej modyfikacji ciągnie się i ciągnie „heterotonicznie” i różnowartościowo:
18 > 74 > 76 > 98 > 162 > 50 > 30 > 12 > 8 > 72 >  …
Do czego to w końcu doprowadzi i jak może się skończyć ciąg, którego kolejne wyrazy tworzone są zgodnie z zasadą „suma sumy cyfr i sumy ich kwadratów” – oto zagadka.

A gdyby ktoś znał lub znalazł niezbyt skomplikowany rachunkowo ciągowo-cykliczny sposób na bezsenność z cyklem dłuższym niż 8-wyrazowy, wdzięczni będziemy za podzielenie się tą ciekawostką.