Prętami, linami i klejem
Z czerwonym na wierzchu jest jeden układ, z białym także jeden – oczywiście z dokładnością do obrotów oraz zamiany „elek” A i B. Konkretnie oba rozwiązania zadania z poprzedniego wpisu wyglądają tak:
Takie są wnioski z Państwa komentarzy, ale nie mam stuprocentowej pewności, czy nie udałoby się jeszcze czegoś znaleźć. Sprawa pozostaje więc niedomknięta.
Łamigłówki 3D z przemieszczaniem tworzących je elementów (jak np. kostka Rubika) są zabawkami do ręcznych manipulacji, bo sama wyobraźnia im nie podoła, a na pewno nie byłoby to dla umysłu relaksową rozrywką. Jeśli jednak ograniczyć się do usuwania lub dodawania elementów, to można zaryzykować zabawę bez rączek. Już tak zresztą w Łamiblogu bywało. Pora zatem na drugie podejście – także z udziałem starych, poczciwych sześcianów. Rysunków jednak nie będzie, bo zadania są do rozgryzienia w wyobraźni. Oczywiście, komu wyobraźni nie staje, może się wspomóc kreśląc to i owo, ale umawiamy się, że jak by co, to ja nic o tym nie wiem:).
1. Z 12 sztywnych prętów utworzono szkielet sześcianu. Pręty połączone są przegubowo, więc sześcian można deformować, tworząc zeń inne bryły (jakie?).
Iloma co najmniej prętami o długości równej przekątnej boku sześcianu należy dodatkowo połączyć przeguby, aby szkielet stał się „niedeformowalny”?
Drugie pytanie-zagadka brzmi prawie tak samo jak pierwsze, tylko zamiast „prętami” proszę wstawić „linami”.
2. Z 36 sześcianów sklejono prostopadłościan 3x3x4. Jaką największą liczbę sześcianów można odkleić pod warunkiem, że pozostałe będą tworzyć zwartą bryłę obejmującą wszystkie osiem narożnych sześcianów prostopadłościanu?
Jutro jadę do Ostrawy wystartować w turnieju sudokowo-łamigłówkowym. Proszę o trzymanie kciuków, choć podejrzewam, że to niewiele pomoże, skoro będę chyba jedynym amatorem w gronie „zawodowców”. Kciuki mogą się jednak przydać, bo jadę rowerem, a to ponad 200 kilometrów.
Ze zdziwieniem przeczytałem w przewodniku, że Ostrawa nie jest – jak mi się wydawało – niewielkim przygranicznym miastem, ale metropolią niemal taką, jak powiedzmy Lublin. W Czechach tylko Praga i Brno są bardziej zaludnione. A tramwaje jeżdżą w Ostrawie od 1894 roku – pierwsze nie były co prawda elektryczne, ale też i nie konne. Tylko jakie?
Komentarze
2 łamigłówka – 20, przy założeniu, że zwartość bryły oznacza to, że sześcianiki mogą się stykać tylko ścianami
Ponad 200 kilometrów w siodełku, podczas których trudno przewidzieć co może wydarzyć się na trasie, to wyzwanie godne podziwu.
Jakże blado przy tej eskapadzie wygląda informacja o udziale, a nawet możliwym ewentualnym zwycięstwie w turnieju sudokowo-łamigłówkowym.
Ileż to trzeba mieć PARY w nogach i płucach, a ileż zamiłowania do dwóch kółek, aby zdecydować się na tak romantyczny i szalony pomysł.
Jak Pan Panie Marku dojedzie cały i zdrowy do Ostrawy, to powiem, że jest Pan lepszy niż ostrawski tramwaj z 1894 roku. Mam nadzieję, że nie zapomniał Pan, że z Ostrawy trzeba wrócić, a to już będzie na liczniku ponad 400 kilometrów. Przy takiej odległości, to i nie tylko tramwaj, ale i parowóz wymięka.
Pozdrawiam
Zadanie 1. jest niesamowite i oczekiwałbym więcej takich zadań.
Moim zdaniem, aby usztywnić sześcian potrzeba aż 6 prętów natomiast wystarczy tyle samo lin. Pisząc „aż’ dla prętów i „tylko” dla lin chcę zaznaczyć, że moje początkowe wyobrażenie było zupełnie mylne. Wydawać by się mogło, że potrzeba mniej prętów. Natomiast przypuszczałem, że lin musi być wiecej niż prętów.
W przypadku prętów wystarczy na przykład wmontować w każdą ścianę sześcianu po jednym pręcie. Pięć prętów nie wystarczy.
W przypadku lin należy je wmontować po dwie w trzy ściany mające wspólny wierzchołek. Inne wmontowanie prawdopodobnie nie usztywni sześcianu.
Zaznaczam, że nie jestem w stu procentach przekonany o poprawności rozwiązania. Wymagałoby to jakiegoś teoretycznego dowodu albo praktycznego sprawdzenia opartego na konstrukcji szkieletu sześcianu.
Co do brył jakie powstają po deformacji szkieletu (a jest ich spora liczba), to przyznam, że nie wiem jak niektóre z nich sensownie nazwać. Szczególnie nie wiem czy istnieją już jakieś nazwy dla „sześcianów skręconych”.
W zadaniu drugim albo kryje się jakiś kruczek albo jest ono niezwykle proste. Po mojemu do połączenia ośmiu narożnych sześcianów wystarczy pozostawić dodatkowych 8 sześcianów. Czyli, spełniając warunki zadania, można odkleić 20 odpowiednich sześcianów.
Oczekuję z niecierpliwością na inne komentarze.
Z pozdrowieniami,
Jazz_off
PS
Trzymam kciuki i życzę sukcesów w ostrawskim turnieju!
1.
pręty: 3
liny: 6
2.
20 sześcianów można spokojnie odkleić
Dobre zadanie jak piękno nie pozwoli aby obojętnie koło niego przejść. Pozostaje w pamięci i mimo woli myśli się o nim. Tak było w moim przypadku z pierwszym zadaniem. Zapadło mi w pamięć i nie pozwala o sobie zapomnieć. W szczególności zastanawiające było dla mnie, dlaczego potrzeba aż sześciu prętów do usztywnienia szkieletu sześcianu. Odpowiedź jest, jak zwykle, niebanalna i jednocześnie niemal oczywista.
Jeden punkt w przestrzeni trójwymiarowej (a w takiej właśnie się znajdujemy) ma trzy stopnie swobody. Inaczej mówiąc można go swobodnie przemieszczać w trzech kierunkach tj. w góre i w dół, w prawo i lewo oraz w przód i w tył. Sześcian ma sześć wierzchołków i gdyby nie krawędzie, to każdy z nich miałby po trzy stopnie swobody. Zatem układ ośmiu wierzchołków miałby łącznie 24 stopnie swobody. Każde połączenie dwóch wierzchołków krawędzią czy przekątną ściany (i nie tylko ściany) zmniejsza liczbę stopni swobody o 1. Zatem, aby jednoznacznie określić położenie ośmiu wierzchołków potrzeba 24 ograniczenia. Nas jednak nie interesuje ostateczne położenie sztywnego sześcianu w przestrzeni. Zatem możemy zrezygnować z sześciu ograniczeń. Trzech związanych z przemieszczaniem środka sztywnego sześcianu w przestrzeni trójwymiarowej oraz trzech związanych z ewentualnymi obrotami tego sześcianu. Zatem zamiast 24 ograniczeń musimy zrealizować o 6 mniej czyli 18. Ale – zgodnie z treścią zadania – nieusztywniony szkielet sześcianu ma tych ograniczeń już 12 w postaci krawędzi. Ostatecznie aby otrzymać 18 ograniczeń, to do tych 12 musimy dołożyć kolejne 6 na przykład w postaci przekątnych ścian bocznych. Ot i cała prawda.
Nie umiem sobie jeszcze odpowiedzieć na pytanie, czy ograniczeń w postaci lin musi być zawsze tyle samo co prętów. Może dla innych brył tak być nie musi.
Z pozdrowieniami,
Jazz_off
To jeszcze raz ja.
Chwilę po drugim moim komentarzu uświadomiłem sobie, że popełniłem błąd w rozumowaniu do zadania pierwszego w wersji z linami.
Zatem zadanie jest bardziej intrygujące niż myślałem i wymaga głębszego zastanowienia.
Pozdrawiam,
Jazz_off
Andrzeju, dziękuję za miłe słowa. Wróciłem. Żyję bez reanimacji. Prawdę mówiąc, w drodze powrotnej rower trochę jechał, a trochę był wieziony. O turnieju wkrótce.
Pozdrav
mp
Serdecznie gratuluję tej podróży. Taka odległość i w takim górzystym terenie to wyczyn godny zawodowca. To, co napisał Andrzej, dobrze wyraża podziw dla Pana Marka.
W świetle tej podróży rozwiązywanie przedstawionych zadań to strasznie mizerna zabawa.
A co do zadań:
1) W sześcianie z prętów umieścił bym trzy pręty przekątne na bokach sąsiadujących z jednym wierchołkiem (czyli tak, aby usztywnić każdą z trrzech płaszczyzn). Sześcian będzie niedoformowalny, jeśli jego boki pozostaną kwadratami, więc trzy usztywnione boki nie pozwolą na poruszenie siedmiu wierzchołków do nich należacych, a co za tym idzie także i ostatniego ósmego wierzchołka.
Natomiast lin będzie potrzeba dwa razy tyle, bo dla usztywnienia jednego boku potrzeba dwie liny.
2) Aby pozostało osiem wierzchołków musi je łączyć co najmniej osiem innych sześcianików – zostać musi 16, więc można usunąć 20.
Robert_C napisał: „sześcian będzie niedoformowalny, jeśli jego boki pozostaną kwadratami”. Zatem pytam, czy do uzyskania kwadratu wystarczy wstawić jedną przekątną. Otóż do usztywnienia jednej ściany nie wystarczy jeden pręt. Tak byłoby na płaszczyźnie. Natomiast w przestrzeni trójwymiarowej musimy wstawić drugą belkę. Na potwierdzenie tego proszę wyciąć z papieru kwadrat i zgiąć go wzdłuż przekątnej.
A co do lin, to też mi się wydawało, że wystarczy ich sześć. Niestety i mnie się zapomniało, że kwadrat można deformować nie tylko na płaszcyźnie ale także w przestrzeni trójwymiarowej. Dla mnie wersja z linami dalej pozostaje otwarta i, jak już wcześniej napisałem, z niecierpliwością oczekuję na rozwiązanie z sensownym uzasadnieniem. Może rozwiązanie tego zadania nie będzie tak „strasznie mizerną zabawą”. 😉
Z pozdrowieniami,
Jazz_off
Spróbowałbym z tym wyciętym z papieru kwadratem (o którym pisze Jazz_on), nazwijmy go ABCD, założyć belkę AC. Teraz mogę wierzchołek B lub D odchylać w trzeci wymiar, a odległości AC w żaden sposób nie zmienię. Ale do tego kwadratu doklejam drugi DCEF z przekątną CF, ustawiam go mniej więcej prostopadle i już nie mogę poruszyć wierzchołka D (bo trzymają go w trzech kierunkach boki AD, DC i DF). Ruchome pozostały mi już tylko wierzchołki B i E oraz możliwość pochylenia pierwszego kwadratu względem drugiego. Ale jeśli teraz dokleję trzeci kwadrat BGEC z przekątną CG to unieruchomione zostaną wierzchołki B i E, no i oczywiście już nie pochylę pierwszych dwóch kwadratów bo trzeci utrzyma je pod kątem 90 stopni. Tak więc wszystkie siedem wierzchołków mam wzajemnie unieruchomione, a trzy kwadraty tworzą ze sobą odpowiednio kąty proste, więc powstał mi (prawie) sześcian.
To wszystko podpowiada mi tylko moja wyobraźnia, więc nie twierdzę, że nie może spłatać figla.
To co napisał Robert_C jest dla mnie jak najbardziej zrozumiałe. Zatem skupmy się na chwilę na następującym fragmencie: „… ustawiam go mniej więcej prostopadle i już nie mogę poruszyć wierzchołka D (bo trzymają go w trzech kierunkach boki AD, DC i DF)”.
Ok. Jeśli odległość między wierzchołkami A i F trójkąta ACF będzie stała, to zgadzam się, że nie będę mógł poruszyć wierzchołka D. Ale co mi gwarantuje stałą odległość między A i F? Tylko dodatkowa – czwarta przekątna. Podobnie będzie z wierzchołkiem B i E.
Spójrzmy na to jeszcze inaczej. Wstawienie przekątnych AC, FC i GC nie gwarantuje nam kąta prostego między trzema ścianami, bo nie mamy do czynienia z trzema kwadratami lecz z sześcioma trójkątami mającymi wspólny wierzchołek: ACD, DCF, FCE, ECG, GCB i BCA. Tak powstałą figurę możemy rozmaicie deformować. Np. możemy zbliżać do siebie wierzchołki A, F i G aż znajdą się w jednym punkcie. Możemy także zbliżać do siebie wierzchołki B, D i E aż i one znajdą się w jednym punkcie. Możemy je deformować na rozmaite jeszcze sposoby. Niedeformowalność uzyskamy dopiero po wstawieniu aż trzech dodatkowych przekątnych.
Jeśli nie wytłumaczyłem tego jak należy, to pozostaje zbudowanie modelu. Myślę, że i tak warto go zbudować – będzie naprawdę ciekawy.
Pozdrawiam serdecznie,
Jazz_off
Witam (po raz pierwszy).
Sześcian można deformować w trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyznach. Aby usztywnić sześcian potrzeba usztywnić 3 jego ściany, te które mają wspólny wierzchołek. Trzy przekątne wychodzące z tego wierzchołka usztywnią cały sześcian. Inaczej mówiąc, z jednego z wierzchołków sześcianu wychodzi sześć prętów (3 boki + 3 przekątne).
Po pewnym zastanowieniu mogę wskazać bardziej uniwersalne rozwiązanie: należy usztywnić trzy NIEnaprzeciwległe ściany – każdą przy pomocy jednego prętu lub dwóch lin.
Eleganckie rozwiazanie, to takie w którym trzy pręty-przekątne tworzą trójkąt, który wyznacza czwartą płaszczyznę i rozcina sześcian na czworościany. Czworościan „ni ma prawa się gibać” :-).
Pozdrawiam
marcus
do marcusa:
Jak już tłumaczył Jazz_on, druciany sześcian można defirmować nie tylko w opisanych przez Ciebie płaszczyznach, lecz również tak, aby jego ściany przestały być płaskie. Na przykład skręcając jego górną podstawę względem dolnej (tak, jakbyś odkręcał słoik). Druty będą wtedy równoległe do niektórych krawędzi antygraniastosłupa czworokątnego. Jego siatkę możesz zobaczyć np tu:
http://www.matematyka.wroc.pl/files/u9/siatka_antygraniastoslup_1.gif.
Twoje „eleganckie rozwiązanie” nie rozcina sześcianu na czworościany, tylko dzieli go na czworościan i „sześcian z odciętym rogiem”, który moim zdaniem wciąż jest deformowalny.
Bryła ta ma 3 ściany będące kwadratami, 3 będące trójkątami prostokątnymi i jedną – trójkątem równobocznym
Można bowiem „pociągnąć” za wierzchołek przeciwległy do tego odciętego, zamieniając kwadraty na romby i nie zmieniając przy tym położenia trójkąta równobocznego.
W każdym razie dowód Jazz_ona opierający się na stopniach swobody poraża mnie swą genialnościa a równocześnie prostotą – nie wymaga umiejętności widzenia przestrzennego 🙂
Wciąż zastanawiam się nad drugą częścią zadania i mam nadzieję, że Gospodarz o nas nie zapomniał i przedstawi rozwiązanie…
Jeśli mówimy (piszemy) o nierozwiązanych zadaniach, to pragnę nieśmiało przypomnieć, że nadal nie znam odpowiedzi dotyczącej usztywniania sześcianu przy użyciu lin.
Pozdrawiam,
Jazz
Tu się równie nieśmiało muszę zgodzić. Postaram się niedługo coś z tym fantem zrobić.
mp