Książę i krokodyl
Zamieszczone w poprzednim wpisie zadanie o kozie na okrągłym pastwisku jest łamigłówką niełatwą i zwodniczą, o ile w ogóle można je nazwać łamigłówką. Byłoby nią bez wątpienia, gdyby miało jakieś zamaskowane, proste rozwiązanie, którego znalezienie wymagałoby wykazania się sprytem i inteligencją. Tymczasem takowego najprawdopodobniej nie ma, wymaga natomiast dość kłopotliwych i długich obliczeń oraz wiedzy matematycznej nieco wykraczającej poza podstawy, które większość osób pamięta ze szkoły. Z drugiej jednak strony dotyczy zabawnej i na pierwszy rzut oka złudnie prostej do rozgryzienia sytuacji, a tym samym kojarzy się z łamigłówkami i wzbudza zainteresowanie. Czy równie zwodnicze jest poniższe zadanie o bohaterze głośnej książki Saint-Exupéry’ego?
W trakcie podróży międzyplanetoidalnych Mały Książę dotarł do miniaturowej, kulistej planetki typu balloon – o gładkiej, jednorodnej i nieskończenie rozciągliwej powierzchni. Jej średnica wynosiła 100 metrów. Książę postanowił obejść ją po wielkim kole, czyli po równiku. Zajęłoby mu to zapewne kilka minut, jednak w momencie, gdy ruszył w drogę, obiekt zaczął rosnąć równomiernie we wszystkich kierunkach – tak, jakby był nadmuchiwany. Książę szedł ze stałą prędkością 1m/s, a średnica planetoidy-balonu zwiększała się skokowo co sekundę o 100 metrów. Czy gdyby taka wędrówka po zwiększającym się obiekcie mogła trwać nieskończenie długo, to Mały Książę zdążyłby go okrążyć i dotrzeć do punktu wyjścia zanim obiekt osiągnąłby rozmiary Ziemi?
Wydaje się, że wcześniej warto zastanowić się nad prostszym pytaniem: czy Książę w tych warunkach w ogóle dojdzie do punktu wyjścia? Inaczej mówiąc, czy w trakcie wędrówki po równiku dystans do mety (znajdującej się w punkcie startu) nie będzie się przypadkiem stale zwiększał. Przy tej okazji może się ujawnić łamigłówkowy charakter zadania. Będzie tak wówczas, jeśli równocześnie okaże się możliwe wyciągnięcie wniosku stanowiącego odpowiedź na postawione w zadaniu pytanie, czyli rozwiązując prostsze zagadnienie, uzyskamy jakby przy okazji odpowiedź na trudniejsze.
Zapewne bliższy koziej zagadki, a więc znacznie bardziej zawiły, byłby natomiast następujący problem: o ile metrów na sekundę powinna zwiększać się średnica kulistego obiektu, aby Książę, idąc po równiku z prędkością 1m/s, dotarł do punktu wyjścia w momencie, gdy obiekt osiągnąłby rozmiary Ziemi?
Na koniec krótkiej Łamiblogowej wycieczki w rejony nieco podwyższonej matematyki proponuję chwilę relaksu przy twierdzeniu o krokodylu, które brzmi następująco: krokodyl jest bardziej długi niż szeroki. To oczywiste? Być może, ale nie dla matematyka. Konieczny jest dowód. Oto on.
Najpierw dowiedziemy, że krokodyl jest bardziej długi niż zielony. W tym celu spójrzmy na krokodyla z góry. Jest tak długi, jak zielony. Teraz popatrzmy od spodu. Jest długi, ale nie wszędzie zielony, bo brzuch ma białawy. A zatem w sumie jest bardziej długi, niż zielony.
Następnie udowodnimy, że krokodyl jest bardziej zielony, niż szeroki. Popatrzmy nań ogólnie – jest zielony i wzdłuż i wszerz, natomiast szeroki jest tylko wszerz, a więc zielony jest bardziej.
Jeśli zatem krokodyl jest bardziej długi niż zielony oraz bardziej zielony niż szeroki, to stąd wynika, że jest bardziej długi, niż szeroki, cnd.
Komentarze
Twierdzenie o krokodylu jest przednie! Ale można by je chyba skrócić: krokodyl jest długi tylko wzdłuż, a zielony jest wzdłuż i wszerz, a więc zileony jest bardziej 🙂
O zadaniach z kozą pisze Michał Szurek w książce „O nauczaniu matematyki”, w tomie 3. Rozważa różne warianty – gdy pastwisko ma kształt koła, prostokąta, sześciokąta.
Coś mi się przedtem z tym krokodylem pomyliło…
Bardzo spodobał mi się dowód na to, że krokodyl jest bardziej długi niż szeroki. Ciekawa jestem kto to wymyślił.
Dowód należy do tzw. „folkloru matematycznego”. Jego autor, o ile mi wiadomo, nie jest znany.
Mały Książe nie ma szans na okrążenie tej planety przed osiągnięciem przez nią rozmiarów Ziemi. Moim zdaniem zdąży przejść około 15 % zaplanowanej trasy. Ale chyba nie będzie żałował, bo i tak „najważniejsze jest niewidoczne dla oczu” więć po co się spieszyć.
Krokodylowe twierdzenie i jego dowód są cudne.
A jednak! Niech tylko się nadyma nie w takim tempie. Wystarczy, że promienia przybywa w każdej sekundzie 1,87 m, wtedy Mały Książę wróci do punktu wyjścia w momencie, gdy mała planetka osiągnie rozmiar Ziemi a cała eskapada zaś będzie trwała niecałe 40 dni.
Mały Książę wróci do punktu wyjścia w momencie, gdy mała planetka osiągnie rozmiar Ziemi po blisko 148 dniach, a sekundowy przyrost średnicy planetki wynosi 0,99999216 m.
Przepraszam, wcale nie mam racji. To bardziej skomplikowane niż się wydaje na pierwszy rzut oka.
Wędrówka Małego Księcia wcale nie jest taka beznadziejna (ale bardzo , bardzo długa) . Dla wariantu podstawowego (zmiana średnicy planety o 100 metrów co sekundę) można określić „kątowy” krok Księcia na 1/50 radiana , 1/100 radiana , 1/150 radiana itd. Droga przebyta to oczywiście 1/50 – ta liczby harmonicznej w radianach . Dla promienia równikowego Ziemi (6378 km) Książe przejdzie zaledwie 3,9 % drogi . Dla ułatwienia skorzystałem z przybliżenia dla liczby harmonicznej .
Hn=ln(n) + liczba Eulera-Mescheroniego(ok. 0,577218) + 1/2n .
Oczywiście Książe dojdzie do punktu wyjścia również w wariancie podstawowym zagadki , gdyz liczba harmoniczna jest ciągiem rosnącym i z pewnością osiągnie wartość 50pi . Oczywiście ani Książe , ani Ludzkość tego nie dożyją .