Tropiąc kwadrat

8 października 2010
Marek Penszko

Na filmiku w Youtube pan matematyk tłumaczy, jak ustalić, czy liczba jest kwadratem (a ściślej, że nim nie jest). Gdyby nie dobitny ton parominutowego wykładziku, pewnie usnąłbym w połowie. Niestety, dowody matematyczne często muszą być bliskie łopatologii, żeby trafiały do najbardziej opornych.

Zapewne dla większości wystarczyłoby stwierdzenie: potęga iloczynu równa jest iloczynowi potęg, a stąd wniosek, że podnosząc do kwadratu jakąś liczbę, równocześnie podnosimy do kwadratu każdy z czynników pierwszych, na które można ją rozłożyć. Czy wiedząc o tym można sprawdzić „kwadratowość” liczby? Teoretycznie tak, ale rozkładania dużej liczby na czynniki pierwsze „gołymi rękami” nikomu nie życzę. W praktyce taki sposób może być przydatny tylko do wyeliminowania kwadratu przez sprawdzenie podzielności podejrzanej liczby przez małe liczby pierwsze i ich kwadraty. A zatem, jeżeli liczba dzieli się przez 2 (3, 5), a nie dzieli przez 4 (9, 25), to sio! Taki przykład (z trójką i dziewiątką) jest we wspomnianym filmiku.

Zabawa rozpoczęta w poprzednim wpisie polega na znalezieniu prostego sposobu ustalenia z prawdopodobieństwem bardzo bliskim pewności (prawie 99 %), że jakaś duża liczba jest kwadratem. Albo inaczej: na wyeliminowaniu wielkiej liczby z grona podejrzanych o „kwadratowość”. Przyjmijmy, że duża to taka, która nie mieści się w okienku popularnego kalkulatora, czyli ponad 8-cyfrowa.

Przypomnę dwa podstawowe „sita”.
Liczba nie jest kwadratem, jeśli:
1. nie kończy się jedną z następujących par:
00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96.
2. jej ostateczna suma cyfr (jednocyfrowa suma sumy sumy… cyfr) nie równa się 1, 4, 7 lub 9.

Trzecie i ostatnie sito jest nieco większe, bo jakby potrójne, ale proste w obsłudze. Zademonstruję jego działanie na przykładzie 16-cyfrowej liczby z początku poprzedniego wpisu – 2 172 602 007 770 049.
Nad grupami liczby pokawałkowanej od końca na 3-cyfrowe grupy stawiamy (także od końca) na przemian plusy i minusy:

–    +     –    +      –     +
2 172 602 007 770 049

Grupy traktujemy jak liczby poprzedzone umieszczonymi nad nimi znakami i zapisujemy całość w postaci sumy algebraicznej:

– 2 + 172 – 602 + 7 – 770 + 49 = – 1374 + 228

Jeżeli bezwzględna wartość sumy liczb z minusami jest większa niż z plusami, to dodajemy do plusów 1001 tyle razy, aż suma plusów przekroczy bezwzględną sumę minusów, czyli w tym przypadku dwukrotnie i obliczamy wynik S (gdyby natomiast plusy przekraczały minusy o więcej niż 1000, możemy na podobnej zasadzie zmniejszyć je o odpowiednią wielokrotność 1001):

– 1374 + 228 +1001 +1001 = 856

S nigdy nie przekroczy 1000, czyli będzie łatwe do dalszej „obróbki” – i o to chodzi.
Testowana liczba nie jest kwadratem, jeśli reszta z dzielenia S przez:
– 7 nie jest równa 0, 1, 2 lub 4;
– 11 nie jest równa 0, 1, 3, 4, 5 lub 9;
– 13 nie jest równa 0, 1, 3, 4, 9, 10 lub 12.

Dzieląc 856 przez 7 otrzymamy resztę 2, czyli podejrzenie pozostaje. Resztą z dzielenia przez 11 jest 9, a więc liczbę nadal mamy na sicie. Dopiero po podzieleniu przez 13 (reszta 11) uzyskujemy pewność, że 2 172 602 007 770 049 nie jest kwadratem.

Wystarczyłoby zmienić ostatnią cyfrę (9), aby testowana 16-cyfrowa liczba stała się kwadratem. Gdybym zapytał, jaka cyfra powinna zastąpić dziewiątkę, to zagadka byłaby prosta i czysto rachunkowa – z dwóch możliwych końcowych par (41 i 44) tylko po wstawieniu tej pierwszej utworzona liczba 2 172 602 007 770 041 nie odpadłaby w żadnym z trzech testów, ponieważ jest kwadratem 46 611 179. Proponuję więc odrobinę trudniejszą zabawę związaną z liczbą 2 172 602 007 770 041.
Stosując do tej liczby test ostatecznej sumy cyfr, można zauważyć, że końcowa para, decydująca o „kwadratowości” (41), równa jest sumie wszystkich pozostałych cyfr. Proszę znaleźć najmniejszy kwadrat o takiej samej własności.

 Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.