Bidula 2007

1 stycznia 2007
Marek Penszko

W angielskim Słowniku dziwnych i interesujących liczb nie ma 2007. Im krótsza liczba, tym łatwiej doszukać się w niej osobliwości. Wszystkie całkowite od 1 do 42 mają w sobie coś matematycznie niezwykłego, a dalej coraz częściej trafiają się przeciętniaki nie wyróżniające się niczym. Czterocyfrowych jest w panoptikum tylko około stu. Niewykluczone oczywiście, że z czasem dojdą kolejne, gdy jakiemuś arytmetykowi spodoba się któraś bidula, bo zauważy w niej coś, czego nie mają inne.

Co może wyróżniać? W gabinecie osobliwości najbliższe 2007 są 1980 i 2025. Ta pierwsza z powodu 1980 – 0891 = 1089. Jest tylko pięć czterocyfrowych liczb o takiej własności. Następna to 2961, ponieważ 2961 – 1692 = 1269. Czy uda się Państwu znaleźć trzy pozostałe? Natomiast 2025 jest osobliwe dwojako. Po pierwsze: sqrt2025 = 20 + 25. Po drugie: zwiększając każdą cyfrę o 1 utworzymy także kwadrat (3136). Dwu- i więcejcyfrowe kwadraty, które pozostają kwadratami po zwiększeniu każdej ich cyfry o jeden (nie mogą zawierać dziewiątki), to wielkie rarytasy. Dziesiątą w kolejności taką liczbą jest 20761288044852366025. Proszę sprawdzić, czy się nie pomyliłem przy przepisywaniu:)

Robię, co mogę, aby uosobliwić 2007. Trudna sprawa. Co prawda jest to liczba 15-kątna, czyli – mówiąc obrazowo – taka, którą da się przedstawić w postaci 15-kąta foremnego. Można próbować też nieco bardziej zawiłych kombinacji. Na przykład, w ciągu liczb naturalnych trafiają się trójki kolejnych liczb, z których każda jest kwadratem lub wielokrotnością kwadratu. Pierwszy taki „kwadratowy” tercet tworzą 48, 49, 50; drugi zaczyna się od 98, trzeci od 124, a trzydziesty trzeci właśnie od 2007. Niestety, to wszystko za mało na niezwykłość.
Jeśli komuś z Państwa uda się znaleźć w liczbie 2007 coś na tyle osobliwego, że Wysoka Komisja ds. Dziwności uzna to za dostatecznie niezwykłe, gwarantuję pojawienie się tej liczby – wraz z nazwiskiem odkrywcy jej osobliwości – w kolejnym angielskim wydaniu wspomnianego Słownika… . Czyż można łatwiej przejść do historii matematyki, a ściślej do historii teorii liczb?

Dla zachęty „dowód”, że nie ma liczb nieosobliwych. W tym celu załóżmy, że takie są i podzielmy wszystkie liczby na dwie grupy: osobliwe i nieosobliwe. Wśród nieosobliwych jakaś byłaby najmniejsza, ale skoro najmniejsza, to tym samym osobliwa, więc należałoby ją przenieść do osobliwych. Wśród pozostałych nieosobliwych znowu znaleźlibyśmy najmniejszą, którą z tego samego powodu czym prędzej trzeba by dołączyć do osobliwych. Kontynuując ten proces wszystkie nieosobliwe liczby dałoby się przerobić na osobliwe.

Gdy przed wielu laty Martin Gardner opisał w Scientific American tę wariację na temat tzw. paradoksu Berry’ego (jego autorem jest Bertrand Russell), jeden z czytelników przysłał ekspresem telegram:

Natychmiast przestańcie wyławiać nieosobliwe liczby i przenosić je do osobliwych. Zostawcie choć jedną nieosobliwą!

Życzę wszystkim udanego, umiarkowanie osobliwego roku 3x3x223.