Samba na jednej cyfrze

5 stycznia 2007
Marek Penszko

Dla miłośników łamigłówek cyfrowych początek roku stanowi okazję do żonglowania oznaczającą go liczbą. Poza szukaniem jej niezwykłych własności matematycznych (dotychczas bez powodzenia) zabawy polegają na tworzeniu działań z tą liczbą związanych, a klasyczne zabawowe „konkurencje” są trzy.

W pierwszej powstają działania zawierające tylko cztery cyfry roku, bez zmiany ich kolejności. Wynikiem każdego następnego powinna być kolejna liczba naturalna. Mimo że wszelkie chwyty, nawet podwójna silnia, są dozwolone, zadanie bywa bardzo trudne. Oto kilka tegorocznych przykładów:
1 = 2^0 + 0 * 7
3 = sqrt(2 + 0 + 0 + 7)
11 = 2 + 0! + 0! + 7
15 = (-2 + 0 + 0 + 7)!!
23 = -((2 + 0!)!)!! + sqrt(0! + 7!)

Dotychczas wszystkie liczby od 1 do 24 udało się w ten sposób utworzyć; 25 jest pierwszą, która wciąż stawia opór.

Punktem wyjścia do drugiej konkurencji jest szereg cyfr:
1 2 3 4 5 6 7 8 9

Łącząc niektóre z nich (bez zmiany kolejności), czyli tworząc liczby oraz korzystając tylko ze znaków czterech podstawowych działań i z nawiasów, należy uzyskać wynik-rok. Z przykładów na czasie zapewne najłatwiejszy do odkrycia jest następujący:
(1 + 234 – 5 – 6 + 7 – 8 ) * 9 = 2007

Cała sztuka polega jednak na tym, aby znaleźć działanie z jak najmniejszą liczbą znaków, uwzględniając także nawiasy. W podanym przykładzie jest ich osiem. Czy może być mniej?

Trzecia konkurencja jest – jak Samba na jednej nucie Antonio Carlosa Jobima – grą na jednej cyfrze. Poza tym nie ma ograniczeń dotyczących znaków i symboli. Oto trzy ambitne przykłady sprzed trzech lat, autorstwa bardzo młodego (wówczas 17-latka) i bardzo obiecującego amerykańskiego matematyka pochodzenia rosyjskiego Borisa Alexeeva:

sqrt(2^22) – 2 * 22 = 2004
333 * 3! + 3! = 2004
6 * 6 * 6 * 6 + 6! – 6 – 6 = 2004

oraz jeden aktualny przykład, ale mało ambitny, bo dziecinnie prosty i łatwy do znalezienia:

999 + 999 + 9 = 2007

Wynik jest oczywiście tym lepszy, im mniej razy powtórzona zostanie cyfra.
Zachęcam Państwa do prób bicia rekordu Anno Domini 2007 w drugiej lub trzeciej konkurencji. A jeśli braknie czasu lub ochoty, to dla rozruszania szarych komórek proponuję krótki trening.

rys_7.jpg

Wszystkie cyfry w trzech składnikach (zastąpione kratkami) są różne. Proszę rozszyfrować dodawanie, wiedząc że każda cyfra – pomijając zera – jest nie mniejsza od znajdującej się bezpośrednio nad nią.