Magia setek
Przed dwoma laty gościła w Łamiblogu (potem także w „Omnibusie”) mała, formalnie prosta, ale całkiem sprytna i ekstraordynaryjna (lubię to staroświeckie słówko) łamigłówka z setkami.
W dziewięć pól diagramu 3×3 wpisanych jest dziewięć cyfr. Zadanie polega na uzupełnieniu większości z nich albo wszystkich sąsiadką – odpowiednią cyfrą dopisaną obok (przed lub za). W każdej tak uzupełnionej kratce pojawia się liczba dwucyfrowa, a w całej tej operacji chodzi o to, aby po jej zakończeniu suma trzech liczb w każdym z trzech wierszy i w każdej z trzech kolumn diagramu była równa 100, jak w poniższym przykładzie.
W prawie wszystkich takich zadaniach, które widziałem, jakiejś cyfry brak, przynajmniej jednej, a inna się powtarza; zwykle braki i powtórki są przynajmniej dwie (w przykładzie brak 3, 6, 9; bisują 4, 5, 8). Z drugiej strony łamigłówka kojarzy się z unikalnym najmniejszym kwadratem magicznym, więc kusi, aby na początku w diagramie ulokować dziewięć różnych cyfr. Powyżej napisałem „prawie”, ponieważ jest mi znane jedno zadanie z kompletem cyfr, autorstwa amerykańskiego główkołamacza Thomasa Snydera (z lewej).
Tymczasem okazuje się, że gotową łamigłówką może być także klasyczny kwadrat magiczny 3×3 (z prawej). Jedno rozwiązanie nietrudno znaleźć. Czy jest ich więcej? A jeśli tak, to ile? Oto wyzwanie, ale raczej dla programistów.
PS. Już „sypnęło” (23.02) rozwiązaniami kwadratu magicznego nadesłanymi przez programistów, ale programy nie są zgodne, co do liczby wszystkich rozwiązań. Ekstremalnie jest ich 19. Inne propozycje są mniej liczne.
Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.
Komentarze
Drugie zadanie ma 10 rozwiązań. Ciekawe jest w nich to, że jedna z przekątnych, ta od lewej góry, też zawsze daje sumę 100. Suma drugiej jest od 100 zawsze różna, a jedna z nich to liczby 44, 55 i 66. W pierwszym rozwiązaniu nie ma powtórzeń żadnej dodanej cyfry ale jednej z nich brakuje.
Zadanie Snydera
18 46 36
58 15 27
24 39 37
Zadanie (z kwadratu magicznego) ma 15 różnych rozwiązań.
Dwa przykładowe:
18 21 61
33 50 17
49 29 22
28 16 56
38 45 17
34 39 27
Trzy ze wszystkimi cyframi:
8 3 6 — 08 30 62
5 9 2 — 50 29 21
4 1 7 — 42 41 17
8 3 6 — 38 36 26
9 1 7 — 09 19 72
5 4 2 — 53 45 02
8 3 6 — 08 30 62
9 2 7 — 39 24 37
5 4 1 — 54 46 01
Do rozwiązania
6 7 3
9 1 8
5 4 2
Wężykiem:
1 6 7
2 5 8
3 4 9
Thomasa Snydera:
Magiczny:
Poszukałem jeszcze kilku schematów wypełnienia kwadratu 3×3 dziewięcioma różnymi cyframi. Wiele z nich nie ma żadnych rozwiązań. Takimi przypadkowymi układami są dwa pierwsze, ale okazało się, że są też cztery takie, w których można się dopatrzyć w układzie źródłowym czterech sum po 15 – jedna w 1 kolumnie i trzy w każdym rzędzie. Dobre i to. To są cztery przedstawione tu jako ostatnie.
Thomas Snyder (lewy) ma tylko jedno rozwiązanie:
18 46 36
58 15 27
24 39 37
Klasyk (prawy), ma 19 rozwiązań:
1
8 31 61
43 50 7
49 19 32
———-
2
18 21 61
33 50 17
49 29 22
———-
3
18 21 61
33 50 17
49 29 22
———-
4
18 13 69
35 58 7
47 29 24
———-
5
18 14 68
36 57 7
46 29 25
———-
6
18 15 67
37 56 7
45 29 26
———-
7
18 16 66
38 55 7
44 29 27
———-
8
18 16 66
38 55 7
44 29 27
———-
9
18 16 66
38 55 7
44 29 27
———-
10
18 16 66
38 55 7
44 29 27
———-
11
18 17 65
39 54 7
43 29 28
———-
12
28 10 62
32 51 17
40 39 21
———-
13
28 11 61
23 50 27
49 39 12
———-
14
28 11 61
23 50 27
49 39 12
———-
15
28 16 56
38 45 17
34 39 27
———-
16
38 1 61
13 50 37
49 49 2
———-
17
38 16 46
38 35 27
24 49 27
———-
18
48 16 36
38 25 37
14 59 27
———-
19
58 16 26
38 15 47
4 69 27
———-
Liczenie się kłania. Po ponownym przeliczeniu rozwiązań okazało się, że jest ich tylko 14, a nie jak napisałem w poprzednim komentarzu 15.
8 31 61
43 50 7
49 19 32
18 13 69
35 58 7
47 29 24
18 14 68
36 57 7
46 29 25
18 15 67
37 56 7
45 29 26
18 16 66
38 55 7
44 29 27
18 17 65
39 54 7
43 29 28
18 21 61
33 50 17
49 29 22
28 10 62
32 51 17
40 39 21
28 11 61
23 50 27
49 39 12
28 16 56
38 45 17
34 39 27
38 1 61
13 50 37
49 49 2
38 16 46
38 35 27
24 49 27
48 16 36
38 25 37
14 59 27
58 16 26
38 15 47
4 69 27
Rozw 1 (jedyne)
18 46 36
58 15 27
24 39 37
*********
Rozw2 (14):
18 13 69
35 58 7
47 29 24
18 14 68
36 57 7
46 29 25
18 15 67
37 56 7
45 29 26
18 16 66
38 55 7
44 29 27
18 17 65
39 54 7
43 29 28
18 21 61
33 50 17
49 29 22
28 10 62
32 51 17
40 39 21
28 11 61
23 50 27
49 39 12
28 16 56
38 45 17
34 39 27
38 16 46
38 35 27
24 49 27
38 1 61
13 50 37
49 49 2
48 16 36
38 25 37
14 59 27
58 16 26
38 15 47
4 69 27
8 31 61
43 50 7
49 19 32
Ekstremalnym przypadkiem jest:
1,3,6
4,9,2
5,8,7
bo ma 377 rozwiązań.
Aż 19? Nie wydaje mi się to możliwe.
Najprostszy algorytm polega na podstawianiu wszystkich możliwości „w kolejnych polach” i „tam, gdzie nie wynika to z obliczenia”. Jest ich 2 * 9 + 1, ponieważ trzeba podstawić cyfry od 1 do 9 przed i za istniejącą cyfrą, ale także wziąć pod uwagę brak podstawienia.
Zakładam, że nie używamy zera jako cyfry stawianej po tej istniejącej, choć i taką regułę, tyle że oddzielnie, można by rozważać.
Pojawił się pewien problem, którego nie dostrzegłem, zanim wysłałem moją propozycję rozwiązania. Jeśli cyfrą dostawianą przed i po jest taka sama cyfra jak istniejąca, to powstaną dwa identyczne rozwiązania. To zdarzyło się w mojej odpowiedzi. W jednym z wariantów na przekątnej pojawiły się liczby 44, 55 i 66. Tylko jedna z nich była testowana jako podstawiana, a więc dostałem listę zwiększoną o zduplikowane jedno rozwiązania. Pozostałe dwie liczby stały na takich pozycjach, które były wyliczane z poprzednich dwóch, które w tej samej kolumnie lub wierszu już były znane ( x = 100 – a – b).
Ile jest naprawdę rozwiązań?
1) Jeśli uznać tożsamość [.xx] oraz [xx.] – bo to ta sama liczba, a o nią było pytanie – to rozwiązań jest o jedno mniej niż podałem wcześniej.
2) Jeśli jednak uznać różnice pomiędzy liczbami [.xx] oraz [xx.] za istotne, to ilość rozwiązań wzrośnie. Dla wariantu z trzema takimi liczbami powielającymi cyfrę w jednocześnie w tym samym wariancie, zamiast jednego należy przyjąć ich osiem (2^3). W mojej odpowiedzi powinno się ich pojawić o 6 więcej.
Nie cenzuruję, ale proszę bez polityki
mp
Zadanie grgkh
9604+748=10352
9704+648=10352
Zadanie niepoprawne politycznie 😀
Ale dla iloczynu mamy tylko jedno rozwiązanie. Co prawda pierwsza litera N jest równa zero ale co tam.
Dla różnicy są 24 rozwiązania, wszędzie T=0
@Spytko z Melsztyna
Ten ekstremalny ma u mnie 218 rozwiązań.
W jednym z komentarzy @grgkh jest wskazówka gdzie szukać błędu.