13 N

Prawdziwe czworaczki przychodzą na świat niezwykle rzadko. Według tzw. reguły Hellina są owocem jednej na ponad pół miliona ciąż. Dla odmiany czworaczków liczbowych jest zatrzęsienie, więc jeszcze parę zdań o ich sprawkach.
Przypomnę, że czworaczkiem (tu dopuszczamy liczbę pojedynczą przez analogię do czworaka) są cztery kratki (zwykle z liczbami), tworzące kwadrat 2×2, a właściwie subkwadrat, bo jest on zawsze fragmentem większego kwadratu lub prostokąta. W kwadracie 3×3 można wskazać 4 czworaczki, w kwadracie 4×4 – 9 itd. Ogólnie w kwadracie n×n jest (n-1)^2 zachodzących na siebie czworaczków, czyli tyle, ile skrzyżowań linii dzielących kwadrat na kwadraciki.
W dwu poprzednich wpisach chodziło o czworaczki z konkretnymi liczbami, ale pierwszym etapem rozwiązywania było utworzenie pewnego schematu, a mianowicie: należało tak oznaczyć kratki, np. literą N, aby w każdym czworaczku była nieparzysta liczba liter N, czyli jedna lub trzy oraz aby liczba wszystkich liter N w kwadracie n×n była równa (n^2)/2 dla parzystego n lub [(n^2)+1]/2 dla nieparzystego n. Pojawił się więc ciekawy problem liczby takich schematów dla kwadratu n×n.
Dla n=3 są 3 schematy, które były zamieszczone w przedpoprzednim wpisie. Dla n=4 bubka111 potwierdził w komentarzu, że schematów jest 10 i wszystkie je podał (w jedenastu schematach grgkh dziewiąty jest z błędem). Wcześniej apartado wskazał w wersji liczbowej na następujące dwa przykładowe schematy dla n=5:

Nie są to wszystkie schematy w przypadku kwadratu 5×5 (nie wiem, ile dokładnie ich jest). Proszę znaleźć choć jeden całkiem inny (z dokładnością do obrotów i odbić).

Komentarze z prawidłowym rozwiązaniem ujawniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu (z błędnym zwykle od razu). Wpisy pojawiają się co 7 dni.

Komentarze

[grgkh]

Tak na gorąco, nie prowadząc systematycznych poszukiwań, od razu natknąłem się na trzy schematy będące odpowiedzią na pytanie. Nie było to trudne, bo wystarczyło wziąć któreś z rozwiązań zadania z poprzedniego tygodnia i dodając po linii w poziomie i pionie poszukać możliwych dodatkowych położeń dla nowych pięciu liter N. Oto one, a małe litery „n” są tymi dodanymi:

NN..n  .NN.n  NNN..
.NN..  NN...  .N..n
NN..n  .NN.n  NNN..
.NN..  NN...  .N..n
nn..n  .nn.n  nnn..

Tak na oko wydaje się, że tych rozwiązań nie powinno być jakoś wyraźnie więcej niż w poprzednich wariantach. Ile, to trzeba by sprawdzić jakimś algorytmem z pomocą komputera. Dla wersji 4×4 okazało się to mało skomplikowane, gdy w algorytmie zrezygnowałem z obsługi tablicy dwuwymiarowej zastępując ją tablicą jednowymiarową o długości 16 elementów. Wynik 72 wariantów z odbiciami i obrotami otrzymanych w wyniku jest pewny. Potem w pośpiechu, nieuważnie odseparowałem z tego zbioru, podane tutaj rozwiązania i stąd wziął się mój błąd popełniony przy ręcznym przepisywaniu.

Ten algorytm bez modyfikacji dałby się od ręki zastosować do wszystkich kwadratów o parzystej długości boku. Nad uogólnieniem go dla m.in. wersji 5×5 jeszcze pomyślę.

[bubka111]

Chyba 19
Jednak 18, bo w pierwszym jest tylko 12 N, a jeśli się doda N w odpowiedniej kratce, to schemat będzie taki sam jak przedostatni (po obrocie)
mp

***********
[N N N 0 0]
[N 0 N 0 0]
[N N N N 0]
[N 0 N 0 0]
[0 0 0 0 N]
***********
[N N N N 0]
[N 0 N 0 0]
[0 0 0 0 N]
[N 0 N 0 0]
[N N N N 0]
***********
[N N N 0 0]
[N 0 N N 0]
[N N N 0 0]
[0 N 0 0 N]
[0 0 0 N N]
***********
[N N N 0 0]
[N 0 N N 0]
[0 0 0 N N]
[N 0 N N 0]
[0 0 0 N N]
***********
[N N N 0 0]
[N 0 N N 0] APARTADO 1
[0 0 0 N N]
[0 N 0 0 N]
[N N N 0 0]
***********
[N N N 0 0]
[0 N 0 0 N]
[N N N 0 0]
[N 0 N N 0]
[0 0 0 N N]
***********
[N N N 0 0]
[0 N 0 0 N]
[N N N 0 0]
[0 N 0 0 N]
[N N N 0 0]
***********
[N N 0 N N]
[N 0 0 0 N]
[0 0 N 0 0]
[N 0 0 0 N]
[N N 0 N N]
***********
[N N 0 N 0]
[N 0 0 0 0]
[0 0 N 0 N]
[0 N N N N]
[N N 0 N 0]
***********
[N N 0 N 0]
[0 N N N N]
[N N 0 N 0]
[N 0 0 0 0]
[0 0 N 0 N]
***********
[N N 0 0 N]
[N 0 0 N N]
[0 0 N N 0]
[0 N N 0 0]
[N N 0 0 N]
***********
[N N 0 0 N]
[0 N N 0 0] APARTADO 2
[N N 0 0 N]
[N 0 0 N N]
[0 0 N N 0]
***********
[N N 0 0 N]
[0 N N 0 0]
[N N 0 0 N]
[0 N N 0 0]
[N N 0 0 N]
***********
[N N 0 0 0]
[0 N N 0 N]
[0 0 N N N]
[0 N N 0 N]
[N N 0 0 0]
***********
[N 0 N N 0]
[0 0 0 N N]
[N 0 N N 0]
[N N N 0 0]
[0 N 0 0 N]
***********
[N 0 N N 0]
[0 0 0 N N]
[N 0 N N 0]
[0 0 0 N N]
[N 0 N N 0]
***********
[N 0 0 N 0]
[0 0 N N N]
[0 N N 0 N]
[0 0 N N N]
[N 0 0 N 0]
***********
[N 0 0 0 0]
[0 0 N 0 N]
[0 N N N N]
[0 0 N 0 N]
[0 N N N N]
***********
[0 N N N 0]
[N N 0 N N]
[N 0 0 0 N]
[0 0 N 0 0]
[0 N N N 0]

[lukasz_m]

Program znalazł 18 istotnie różnych układów dla n=5:
(spróbuję tu zastosować czcionkę o stałej szerokości, mam nadzieję że się uda)

N....   NN...   N.N..
..N.N   N..N.   NNNN.
.NNNN   ..NNN   .N.NN
..N.N   .NN.N   ....N
.NNNN   ..NNN   .N.NN

N..N.   N...N   N..N.
NN...   NN.NN   ..NNN
.NN.N   .NNN.   N..N.
..NNN   ..N..   ..NNN
.NN.N   .NNN.   .NN.N

.NNNN   .NNN.   NN..N
..N.N   NN.NN   N..NN
N....   N...N   NN..N
..N.N   ..N..   .NN..
.NNNN   .NNN.   ..NN.

N.N.N   .NN.N   .N.NN
NNNNN   NN...   NNNN.
N.N.N   N..N.   N.N..
.....   ..NNN   ....N
.N.N.   .NN.N   .N.NN

N..N.   N...N   .NN.N
..NNN   ..N..   NN...
.NN.N   .NNN.   .NN.N
NN...   NN.NN   NN...
.NN.N   .NNN.   .NN.N

NN..N   N.N.N   NN.NN
N..NN   NNNNN   N...N
..NN.   .N.N.   ..N..
.NN..   .....   N...N
NN..N   N.N.N   NN.NN

Wartości dla dalszych n:
n = 6: 0
n = 7: 182
n = 8: 1590
W sumie zastanawia mnie czy nie zrobiłem gdzieś błędu, bo dziwi mnie to zero.

[Spytko z Melsztyna]

 
Wszystkich 93.
Unikalnych 18.
Na wyróżnienie zasługuje numer 18 bo ma 4 osie symetrii.
Spodziewałem się dużo większej ilości niż w przypadku 4 na 4.

1
[0, 0, 0, 0, 1]
[1, 0, 1, 0, 0]
[1, 1, 1, 1, 0]
[1, 0, 1, 0, 0]
[1, 1, 1, 1, 0]
----------------------
2
[0, 0, 0, 1, 1]
[0, 1, 0, 0, 1]
[1, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 0]
[1, 1, 1, 0, 0]
----------------------
3
[0, 0, 0, 1, 1]
[1, 0, 1, 1, 0]
[0, 0, 0, 1, 1]
[1, 0, 1, 1, 0]
[1, 1, 1, 0, 0]
----------------------
4
[0, 0, 0, 1, 1]
[1, 0, 1, 1, 0]
[1, 1, 1, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 1]
[1, 1, 1, 0, 0]
----------------------
5
[0, 0, 0, 1, 1]
[1, 0, 1, 1, 0]
[1, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 0]
[0, 0, 0, 1, 1]
----------------------
6
[0, 0, 1, 0, 1]
[1, 0, 0, 0, 0]
[1, 1, 0, 1, 0]
[0, 1, 1, 1, 1]
[1, 1, 0, 1, 0]
----------------------
7
[0, 0, 1, 0, 0]
[1, 0, 0, 0, 1]
[1, 1, 0, 1, 1]
[1, 0, 0, 0, 1]
[1, 1, 0, 1, 1]
----------------------
8
[0, 0, 1, 1, 0]
[0, 1, 1, 0, 0]
[1, 1, 0, 0, 1]
[1, 0, 0, 1, 1]
[1, 1, 0, 0, 1]
----------------------
9
[0, 0, 1, 1, 0]
[1, 0, 0, 1, 1]
[0, 0, 1, 1, 0]
[1, 0, 0, 1, 1]
[1, 1, 0, 0, 1]
----------------------
10
[0, 0, 1, 1, 1]
[1, 0, 0, 1, 0]
[0, 0, 1, 1, 1]
[1, 0, 0, 1, 0]
[0, 0, 1, 1, 1]
----------------------
11
[0, 0, 1, 1, 0]
[1, 0, 0, 1, 1]
[1, 1, 0, 0, 1]
[0, 1, 1, 0, 0]
[1, 1, 0, 0, 1]
----------------------
12
[0, 0, 1, 1, 0]
[1, 0, 0, 1, 1]
[1, 1, 0, 0, 1]
[1, 0, 0, 1, 1]
[0, 0, 1, 1, 0]
----------------------
13
[0, 1, 0, 0, 1]
[1, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 0]
[0, 0, 0, 1, 1]
[1, 0, 1, 1, 0]
----------------------
14
[0, 1, 0, 0, 1]
[1, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 0]
[1, 1, 1, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 1]
----------------------
15
[0, 1, 0, 1, 0]
[1, 1, 1, 1, 1]
[1, 0, 1, 0, 1]
[0, 0, 0, 0, 0]
[1, 0, 1, 0, 1]
----------------------
16
[1, 0, 0, 1, 1]
[0, 0, 1, 1, 0]
[0, 1, 1, 0, 0]
[1, 1, 0, 0, 1]
[1, 0, 0, 1, 1]
----------------------
17
[1, 0, 0, 1, 1]
[0, 0, 1, 1, 0]
[1, 0, 0, 1, 1]
[0, 0, 1, 1, 0]
[1, 0, 0, 1, 1]
----------------------
18
[1, 1, 0, 1, 1]
[1, 0, 0, 0, 1]
[0, 0, 1, 0, 0]
[1, 0, 0, 0, 1]
[1, 1, 0, 1, 1]
----------------------

[Antyp1958]

Wszystkich różnych rozwiązań jest 24. Z obrotami rozwiązań jest 93 w tym jedno środkowo-symetryczne.
NNONN
NOOON
OONOO
NOOON
NNONN

Poniżej układ rozbity na czworaczki.

NN NO ON NN
NO OO OO ON

NO OO OO ON
NN NO ON NN

NN NO ON NN
NO OO OO ON

NO OO OO ON
OO ON NO OO

Wszystkie układy w rozbiciu na czworaczki

1 ——-
NN NN NN NO
NO ON NO OO

NO ON NO OO
NN NN NN NO

NN NN NN NO
NO ON NO OO

NO ON NO OO
OO OO OO ON
2 ——-
NN NN NN NO
NO ON NO OO

NO ON NO OO
OO OO OO ON

OO OO OO ON
NO ON NO OO

NO ON NO OO
NN NN NN NO
3 ——-
NN NN NO OO
NO ON NN NO

NO ON NN NO
NN NN NO OO

NN NN NO OO
ON NO OO ON

ON NO OO ON
OO OO ON NN
4 ——-
NN NN NO OO
NO ON NN NO

NO ON NN NO
OO OO ON NN

OO OO ON NN
NO ON NN NO

NO ON NN NO
OO OO ON NN
5 ——-
NN NN NO OO
NO ON NN NO

NO ON NN NO
OO OO ON NN

OO OO ON NN
ON NO OO ON

ON NO OO ON
NN NN NO OO
6 ——-
NN NN NO OO
ON NO OO ON

ON NO OO ON
NN NN NO OO

NN NN NO OO
NO ON NN NO

NO ON NN NO
OO OO ON NN
7 ——-
NN NN NO OO
ON NO OO ON

ON NO OO ON
NN NN NO OO

NN NN NO OO
ON NO OO ON

ON NO OO ON
NN NN NO OO
8 ——-
NN NN NO OO
ON NO OO ON

ON NO OO ON
OO OO ON NN

OO OO ON NN
NO ON NN NO

NO ON NN NO
NN NN NO OO
9 ——-
NN NN NN NN
NN NN NN NN

NN NN NN NN
NN NN NN NN

NN NN NN NN
NN NN NN NN

NN NN NN NN
NN NN NN NN
10 ——-
NN NO ON NN
NO OO OO ON

NO OO OO ON
OO ON NO OO

OO ON NO OO
NO OO OO ON

NO OO OO ON
NN NO ON NN
11 ——-
NN NO ON NO
NO OO OO OO

NO OO OO OO
NN NO ON NO

NN NO ON NO
ON NN NN NN

ON NN NN NN
OO ON NO ON
12 ——-
NN NO ON NO
NO OO OO OO

NO OO OO OO
OO ON NO ON

OO ON NO ON
ON NN NN NN

ON NN NN NN
NN NO ON NO
13 ——-
NN NO ON NO
ON NN NN NN

ON NN NN NN
NN NO ON NO

NN NO ON NO
NO OO OO OO

NO OO OO OO
OO ON NO ON
14 ——-
NN NO ON NO
ON NN NN NN

ON NN NN NN
OO ON NO ON

OO ON NO ON
NO OO OO OO

NO OO OO OO
NN NO ON NO
15 ——-
NN NO OO ON
NO OO ON NN

NO OO ON NN
NN NO OO ON

NN NO OO ON
ON NN NO OO

ON NN NO OO
OO ON NN NO
16 ——-
NN NO OO ON
NO OO ON NN

NO OO ON NN
OO ON NN NO

OO ON NN NO
NO OO ON NN

NO OO ON NN
OO ON NN NO
17 ——-
NN NO OO ON
NO OO ON NN

NO OO ON NN
OO ON NN NO

OO ON NN NO
ON NN NO OO

ON NN NO OO
NN NO OO ON
18 ——-
NN NO OO ON
ON NN NO OO

ON NN NO OO
NN NO OO ON

NN NO OO ON
NO OO ON NN

NO OO ON NN
OO ON NN NO
19 ——-
NN NO OO ON
ON NN NO OO

ON NN NO OO
NN NO OO ON

NN NO OO ON
ON NN NO OO

ON NN NO OO
NN NO OO ON
20 ——-
NN NO OO ON
ON NN NO OO

ON NN NO OO
OO ON NN NO

OO ON NN NO
NO OO ON NN

NO OO ON NN
NN NO OO ON
21 ——-
NN NO OO OO
NO OO ON NO

NO OO ON NO
OO ON NN NN

OO ON NN NN
ON NN NO ON

ON NN NO ON
OO ON NN NN
22 ——-
NN NO OO OO
ON NN NO ON

ON NN NO ON
NN NO OO OO

NN NO OO OO
ON NN NO ON

ON NN NO ON
OO ON NN NN
23 ——-
NN NO OO OO
ON NN NO ON

ON NN NO ON
OO ON NN NN

OO ON NN NN
NO OO ON NO

NO OO ON NO
OO ON NN NN
24 ——-
NN NO OO OO
ON NN NO ON

ON NN NO ON
OO ON NN NN

OO ON NN NN
ON NN NO ON

ON NN NO ON
NN NO OO OO
25 ——-
NO ON NN NO
NN NN NO OO

NN NN NO OO
NO ON NN NO

NO ON NN NO
OO OO ON NN

OO OO ON NN
ON NO OO ON
26 ——-
NO ON NN NO
NN NN NO OO

NN NN NO OO
ON NO OO ON

ON NO OO ON
NN NN NO OO

NN NN NO OO
ON NO OO ON
27 ——-
NO ON NN NO
NN NN NO OO

NN NN NO OO
ON NO OO ON

ON NO OO ON
OO OO ON NN

OO OO ON NN
NO ON NN NO
28 ——-
NO ON NN NO
OO OO ON NN

OO OO ON NN
NO ON NN NO

NO ON NN NO
NN NN NO OO

NN NN NO OO
ON NO OO ON
29 ——-
NO ON NN NO
OO OO ON NN

OO OO ON NN
NO ON NN NO

NO ON NN NO
OO OO ON NN

OO OO ON NN
NO ON NN NO
30 ——-
NO ON NN NO
OO OO ON NN

OO OO ON NN
ON NO OO ON

ON NO OO ON
NN NN NO OO

NN NN NO OO
NO ON NN NO
31 ——-
NO ON NO ON
NN NN NN NN

NN NN NN NN
NO ON NO ON

NO ON NO ON
OO OO OO OO

OO OO OO OO
ON NO ON NO
32 ——-
NO ON NO ON
NN NN NN NN

NN NN NN NN
ON NO ON NO

ON NO ON NO
OO OO OO OO

OO OO OO OO
NO ON NO ON
33 ——-
NO ON NO ON
OO OO OO OO

OO OO OO OO
NO ON NO ON

NO ON NO ON
NN NN NN NN

NN NN NN NN
ON NO ON NO
34 ——-
NO ON NO ON
OO OO OO OO

OO OO OO OO
ON NO ON NO

ON NO ON NO
NN NN NN NN

NN NN NN NN
NO ON NO ON
35 ——-
NO ON NO OO
NN NN NN NO

NN NN NN NO
ON NO ON NN

ON NO ON NN
OO OO OO ON

OO OO OO ON
ON NO ON NN
36 ——-
NO ON NO OO
OO OO OO ON

OO OO OO ON
ON NO ON NN

ON NO ON NN
NN NN NN NO

NN NN NN NO
ON NO ON NN
37 ——-
NO OO ON NN
NN NO OO ON

NN NO OO ON
NO OO ON NN

NO OO ON NN
OO ON NN NO

OO ON NN NO
ON NN NO OO
38 ——-
NO OO ON NN
NN NO OO ON

NN NO OO ON
ON NN NO OO

ON NN NO OO
NN NO OO ON

NN NO OO ON
ON NN NO OO
39 ——-
NO OO ON NN
NN NO OO ON

NN NO OO ON
ON NN NO OO

ON NN NO OO
OO ON NN NO

OO ON NN NO
NO OO ON NN
40 ——-
NO OO ON NN
OO ON NN NO

OO ON NN NO
NO OO ON NN

NO OO ON NN
NN NO OO ON

NN NO OO ON
ON NN NO OO
41 ——-
NO OO ON NN
OO ON NN NO

OO ON NN NO
NO OO ON NN

NO OO ON NN
OO ON NN NO

OO ON NN NO
NO OO ON NN
42 ——-
NO OO ON NN
OO ON NN NO

OO ON NN NO
ON NN NO OO

ON NN NO OO
NN NO OO ON

NN NO OO ON
NO OO ON NN
43 ——-
NO OO ON NO
NN NO OO OO

NN NO OO OO
ON NN NO ON

ON NN NO ON
OO ON NN NN

OO ON NN NN
ON NN NO ON
44 ——-
NO OO ON NO
OO ON NN NN

OO ON NN NN
NO OO ON NO

NO OO ON NO
OO ON NN NN

OO ON NN NN
ON NN NO ON
45 ——-
NO OO ON NO
OO ON NN NN

OO ON NN NN
ON NN NO ON

ON NN NO ON
NN NO OO OO

NN NO OO OO
ON NN NO ON
46 ——-
NO OO ON NO
OO ON NN NN

OO ON NN NN
ON NN NO ON

ON NN NO ON
OO ON NN NN

OO ON NN NN
NO OO ON NO
47 ——-
NO OO OO ON
NN NO ON NN

NN NO ON NN
ON NN NN NO

ON NN NN NO
OO ON NO OO

OO ON NO OO
ON NN NN NO
48 ——-
NO OO OO ON
OO ON NO OO

OO ON NO OO
ON NN NN NO

ON NN NN NO
NN NO ON NN

NN NO ON NN
ON NN NN NO
49 ——-
NO OO OO OO
OO ON NO ON

OO ON NO ON
ON NN NN NN

ON NN NN NN
OO ON NO ON

OO ON NO ON
ON NN NN NN
50 ——-
ON NN NN NN
OO ON NO ON

OO ON NO ON
NO OO OO OO

NO OO OO OO
OO ON NO ON

OO ON NO ON
ON NN NN NN
51 ——-
ON NN NN NN
OO ON NO ON

OO ON NO ON
ON NN NN NN

ON NN NN NN
OO ON NO ON

OO ON NO ON
NO OO OO OO
52 ——-
ON NN NN NO
NN NO ON NN

NN NO ON NN
NO OO OO ON

NO OO OO ON
OO ON NO OO

OO ON NO OO
ON NN NN NO
53 ——-
ON NN NN NO
NN NO ON NN

NN NO ON NN
ON NN NN NO

ON NN NN NO
OO ON NO OO

OO ON NO OO
NO OO OO ON
54 ——-
ON NN NN NO
OO ON NO OO

OO ON NO OO
NO OO OO ON

NO OO OO ON
NN NO ON NN

NN NO ON NN
ON NN NN NO
55 ——-
ON NN NN NO
OO ON NO OO

OO ON NO OO
ON NN NN NO

ON NN NN NO
NN NO ON NN

NN NO ON NN
NO OO OO ON
56 ——-
ON NN NO ON
NN NO OO OO

NN NO OO OO
NO OO ON NO

NO OO ON NO
OO ON NN NN

OO ON NN NN
ON NN NO ON
57 ——-
ON NN NO ON
NN NO OO OO

NN NO OO OO
ON NN NO ON

ON NN NO ON
NN NO OO OO

NN NO OO OO
ON NN NO ON
58 ——-
ON NN NO ON
NN NO OO OO

NN NO OO OO
ON NN NO ON

ON NN NO ON
OO ON NN NN

OO ON NN NN
NO OO ON NO
59 ——-
ON NN NO ON
OO ON NN NN

OO ON NN NN
NO OO ON NO

NO OO ON NO
NN NO OO OO

NN NO OO OO
ON NN NO ON
60 ——-
ON NN NO ON
OO ON NN NN

OO ON NN NN
NO OO ON NO

NO OO ON NO
OO ON NN NN

OO ON NN NN
NO OO ON NO
61 ——-
ON NN NO ON
OO ON NN NN

OO ON NN NN
ON NN NO ON

ON NN NO ON
NN NO OO OO

NN NO OO OO
NO OO ON NO
62 ——-
ON NN NO OO
NN NO OO ON

NN NO OO ON
NO OO ON NN

NO OO ON NN
NN NO OO ON

NN NO OO ON
ON NN NO OO
63 ——-
ON NN NO OO
NN NO OO ON

NN NO OO ON
NO OO ON NN

NO OO ON NN
OO ON NN NO

OO ON NN NO
NO OO ON NN
64 ——-
ON NN NO OO
NN NO OO ON

NN NO OO ON
ON NN NO OO

ON NN NO OO
NN NO OO ON

NN NO OO ON
NO OO ON NN
65 ——-
ON NN NO OO
OO ON NN NO

OO ON NN NO
NO OO ON NN

NO OO ON NN
NN NO OO ON

NN NO OO ON
NO OO ON NN
66 ——-
ON NO ON NN
NN NN NN NO

NN NN NN NO
NO ON NO OO

NO ON NO OO
OO OO OO ON

OO OO OO ON
ON NO ON NN
67 ——-
ON NO ON NN
NN NN NN NO

NN NN NN NO
ON NO ON NN

ON NO ON NN
OO OO OO ON

OO OO OO ON
NO ON NO OO
68 ——-
ON NO ON NN
OO OO OO ON

OO OO OO ON
NO ON NO OO

NO ON NO OO
NN NN NN NO

NN NN NN NO
ON NO ON NN
69 ——-
ON NO ON NN
OO OO OO ON

OO OO OO ON
ON NO ON NN

ON NO ON NN
NN NN NN NO

NN NN NN NO
NO ON NO OO
70 ——-
ON NO ON NO
NN NN NN NN

NN NN NN NN
NO ON NO ON

NO ON NO ON
OO OO OO OO

OO OO OO OO
NO ON NO ON
71 ——-
ON NO ON NO
OO OO OO OO

OO OO OO OO
NO ON NO ON

NO ON NO ON
NN NN NN NN

NN NN NN NN
NO ON NO ON
72 ——-
ON NO OO ON
NN NN NO OO

NN NN NO OO
NO ON NN NO

NO ON NN NO
NN NN NO OO

NN NN NO OO
ON NO OO ON
73 ——-
ON NO OO ON
NN NN NO OO

NN NN NO OO
NO ON NN NO

NO ON NN NO
OO OO ON NN

OO OO ON NN
NO ON NN NO
74 ——-
ON NO OO ON
NN NN NO OO

NN NN NO OO
ON NO OO ON

ON NO OO ON
NN NN NO OO

NN NN NO OO
NO ON NN NO
75 ——-
ON NO OO ON
OO OO ON NN

OO OO ON NN
NO ON NN NO

NO ON NN NO
NN NN NO OO

NN NN NO OO
NO ON NN NO
76 ——-
OO ON NN NN
NO OO ON NO

NO OO ON NO
NN NO OO OO

NN NO OO OO
ON NN NO ON

ON NN NO ON
OO ON NN NN
77 ——-
OO ON NN NN
NO OO ON NO

NO OO ON NO
OO ON NN NN

OO ON NN NN
NO OO ON NO

NO OO ON NO
OO ON NN NN
78 ——-
OO ON NN NN
NO OO ON NO

NO OO ON NO
OO ON NN NN

OO ON NN NN
ON NN NO ON

ON NN NO ON
NN NO OO OO
79 ——-
OO ON NN NN
ON NN NO ON

ON NN NO ON
NN NO OO OO

NN NO OO OO
NO OO ON NO

NO OO ON NO
OO ON NN NN
80 ——-
OO ON NN NN
ON NN NO ON

ON NN NO ON
NN NO OO OO

NN NO OO OO
ON NN NO ON

ON NN NO ON
NN NO OO OO
81 ——-
OO ON NN NN
ON NN NO ON

ON NN NO ON
OO ON NN NN

OO ON NN NN
NO OO ON NO

NO OO ON NO
NN NO OO OO
82 ——-
OO ON NN NO
NO OO ON NN

NO OO ON NN
NN NO OO ON

NN NO OO ON
NO OO ON NN

NO OO ON NN
OO ON NN NO
83 ——-
OO ON NN NO
NO OO ON NN

NO OO ON NN
NN NO OO ON

NN NO OO ON
ON NN NO OO

ON NN NO OO
NN NO OO ON
84 ——-
OO ON NN NO
NO OO ON NN

NO OO ON NN
OO ON NN NO

OO ON NN NO
NO OO ON NN

NO OO ON NN
NN NO OO ON
85 ——-
OO ON NN NO
ON NN NO OO

ON NN NO OO
NN NO OO ON

NN NO OO ON
NO OO ON NN

NO OO ON NN
NN NO OO ON
86 ——-
OO ON NO ON
NO OO OO OO

NO OO OO OO
NN NO ON NO

NN NO ON NO
ON NN NN NN

ON NN NN NN
NN NO ON NO
87 ——-
OO ON NO ON
ON NN NN NN

ON NN NN NN
NN NO ON NO

NN NO ON NO
NO OO OO OO

NO OO OO OO
NN NO ON NO
88 ——-
OO ON NO OO
NO OO OO ON

NO OO OO ON
NN NO ON NN

NN NO ON NN
NO OO OO ON

NO OO OO ON
NN NO ON NN
89 ——-
OO OO ON NN
NO ON NN NO

NO ON NN NO
NN NN NO OO

NN NN NO OO
NO ON NN NO

NO ON NN NO
OO OO ON NN
90 ——-
OO OO ON NN
NO ON NN NO

NO ON NN NO
NN NN NO OO

NN NN NO OO
ON NO OO ON

ON NO OO ON
NN NN NO OO
91 ——-
OO OO ON NN
NO ON NN NO

NO ON NN NO
OO OO ON NN

OO OO ON NN
NO ON NN NO

NO ON NN NO
NN NN NO OO
92 ——-
OO OO ON NN
ON NO OO ON

ON NO OO ON
NN NN NO OO

NN NN NO OO
NO ON NN NO

NO ON NN NO
NN NN NO OO
93 ——-
OO OO OO ON
NO ON NO OO

NO ON NO OO
NN NN NN NO

NN NN NN NO
NO ON NO OO

NO ON NO OO
NN NN NN NO

[grgkh]

Oto przykładowe rozwiązania dla kwadratów 7×7, 8×8, 9×9 i 11×11

N.N..NN
....NN.
N.N..NN
NNNN..N
N.N..NN
....NN.
N.N..NN

........
N.N.N.N.
NNNNNNNN
N.N.N.N.
........
N.N.N.N.
NNNNNNNN
N.N.N.N.

N.N.N.N.N
.........
N.N.N.N.N
NNNNNNNNN
.N.N.N.N.
.........
.N.N.N.N.
NNNNNNNNN
N.N.N.N.N

N.N.N.NN.N.
.......NNNN
N.N.N.NN.N.
NNNNNNN....
N.N.N.NN.N.
.......NNNN
N.N.N.NN.N.
NNNNNNN....
N.N.N.NN.N.
.......NNNN
.N.N.N..N.N

Ile ich we wszystkich wariantach jest w ogóle dla każdego z tych rozmiarów?
3×3 – 9
4×4 – 72
5×5 – 93
6×6 – brak rozwiązań
7×7 – 1176
8×8 – 12648
9×9 – 14656
10×10 – brak rozwiązań
11×11 – 201125
itd.

Ciekawe, jakie jest matematyczne uzasadnienie tego, że w dwóch powyższych sytuacjach rozwiązania nie istnieją?

Ile jest rozwiązań w wersji bez odbić i obrotów, jeszcze nie sprawdzałem, ale nie jest to trudne do zaprogramowania i w wolnej chwili postaram się to zrobić.

Szacunek. Dla mnie też brak macierzy binarnej dla 6 i 10 (z warunkami, aby każda klatka 2×2 zawierała nieparzystą liczbę zer vel jedynek oraz aby liczby wszystkich zer i jedynek były równe) – pozostaje póki co zagadką. Podejrzewam, że dowód może być złożony, czyli wymagający rozpatrywania różnych układów zer i jedynek.
mp

[uch_ty]

Cechą wspólną przykładowych (dwóch) kwadratów 5×5 może być narożny subkwadrat zawierający 3 litery N, z których dwie znajdują się na głównej przekątnej. Poniżej pozostałe kwadraty 5×5 zawierające ten narożnik oraz 13 liter N:

NNNOO
ONOON
NNNOO
NONNO
OOONN

NNNOO
ONOON
NNNOO
ONOON
NNNOO

NNOON
ONNOO
OONNO
NOONN
NNOON

NNOON
ONNOO
NNOON
ONNOO
NNOON

NNOOO
ONNON
OONNN
NOONO
OONNN

NNOOO
ONNON
OONNN
ONNON
NNOOO

NNOOO
ONNON
NNOOO
ONNON
OONNN

NNONO
ONNNN
OONON
NOOOO
NNONO

[grgkh]

W kwadracie 5×5 jest 18 różnych schematów.

01    02    03    04

NNNN. NNN.. NN..N N.NN. 
N.N.. N.NN. N..NN ...NN 
NNNN. NNN.. ..NN. N.NN. 
N.N.. .N..N .NN.. NNN.. 
....N ...NN NN..N .N..N 

05    06    07    08

NNNN. NNN.. NN... NN..N
N.N.. .N..N .NN.N .NN..
....N NNN.. ..NNN NN..N
N.N.. .N..N .NN.N .NN..
NNNN. NNN.. NN... NN..N

09    10    11    12

.NN.N .NN.. .N..N NN.NN
NN... NN..N NNN.. N...N
.NN.N N..NN N.NN. ..N..
NN... NN..N NNN.. N...N
.NN.N .NN.. .N..N NN.NN

13    14    15    16

NNN.. NNN.. NN..N NN..N
N.NN. .N..N .NN.. N..NN
...NN NNN.. NN..N ..NN.
N.NN. N.NN. N..NN N..NN
...NN ...NN ..NN. ..NN.

17    18

NN.N. NNN..
.NNNN N.NN.
NN.N. ...NN
N.... .N..N
..N.N NNN..

symetryczne ukośnie: 1 – 4
symetrycznie w osi poziomej: 5 – 12
pozostałe są asymetryczne

[lukasz_m]

Niedługo po wysłaniu rozwiązań zdałem sobie sprawę że wyjaśnienie braku rozwiązań 6×6, 10×10 i ogólnie (4k+2)x(4k+2) jest dość proste.

Załóżmy że mamy planszę (4k+2)x(4k+2). Rozbijamy planszę na (nie nakładające się!) bloki 2×2, będzie ich (2k+1)^2. Jest ich zatem nieparzyście dużo i każdy ma nieparzystą liczbę wpisanych N, czyli łączna liczba wszystkich N byłaby nieparzysta. Tyle że połowa z (4k+2)^2 to liczba parzysta, sprzeczność.

Faktycznie, proste i ładne.
mp

[Spytko z Melsztyna]

Też policzyłem dla większych N ale nie miałem czasu wrzucić wyników na czas. W kolejnych wierszach mamy: N, wszystkich, unikalnych
3, 9, 3
4, 72, 10
5, 93, 18
6, 0, 0
7, 1176, 182
8, 12648, 1590
9, 14656, 2049
10, 0, 0
11, 201125, liczy się…
Ciekawe z tym 6 i 10.
Czy te zera występuja regularnie co ileś czy tylko te dwa wyjątki ?
Warto odnotować, że dwa sąsiednie boki kwadratu determinują jego wnętrze. Dzięki temu można było zaatakować większe wartości N.