Według Pascala
Z trójkątem Pascala wiąże się ciekawa sztuczka liczbowa – jasnowidzenie na dystansie równym… wysokości piramidy. Właściwie piramida jest tzw. trójkątem modularnym, wypada zatem zacząć od wyjaśnienia, co to takiego.
Piszemy liczbę n-cyfrową, a następnie nad każdymi dwoma sąsiednimi wpisujemy ich sumę. Podobnie postępujemy z rządkiem sum – pierwszym i każdym następnym – aż dotrzemy do sumy końcowej na szczycie piramidy. Dla n=7 trójkąt cyfrowy może wyglądać np. tak:
I od razu widać, że coś jest nie tak, bo wszystkie sumy są jednocyfrowe. Dlatego właśnie trójkąt jest modularny – sumy większe od 9 zostały zapisane modulo 9, czyli są pomniejszone o 9. Albo inaczej: jeśli pojawia się suma 2-cyfrowa, to należy ją wpisać jako sumę jej cyfr.
Delikwentowi, który będzie podziwiał nasze niezwykłe umiejętności, wyjaśniamy na wstępie, że jego rola polega na tworzeniu trójkąta modularnego z 10 cyframi w podstawie. Podsuwamy mu poniższy diagram piramidki i prosimy o wpisanie w podstawę 10 dowolnych cyfr, po czym sami natychmiast zapisujemy w sekrecie na karteczce cyfrę i zakrytą umieszczamy obok wierzchołka piramidy.
Po zakończeniu wypełniania trójkąta – zgodnie z modularnymi regułami – okaże się, że cyfra w jego wierzchołku będzie taka sama jak na karteczce.
Chociaż wiadomo, że trik, na którym oparty jest popis jasnowidzenia, wiąże się z trójkątem Pascala, niełatwo go rozszyfrować. Może jednak komuś z Państwa się to uda. Jeśli nie, ujawnię go w następnym wpisie.
Sztukę można także demonstrować jako karcianą, korzystając z 36 kart „liczbowych” – blotki do dziewiątek plus as w roli jedynki. Taki pokaz ma jednak pewną wadę: długość podstawy jest ograniczona. Ile co najwyżej kart można wówczas umieszczać w podstawie trójkąta, aby mieć pewność, że którejś nie zabraknie przed dotarciem do wierzchołka? Proste pytanie? A jeśli założymy, że wartości kart w podstawie powinny być różne?
Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3 dni.
Komentarze
hmm…
5*1+3*6+15*0+7*20 +4*15+5*6+9*1 mod 9 = 1
więc na pierwszy rzut oka, to robimy to tak: każdą liczbę z dolnego rzędu mnożymy przez odpowiadającą mu liczbę trójkąta Pascala, całość sumujemy, „modulujemy” przez 9 i jeśli wyjdzie liczba różna od zero, to na szczycie będzie ta liczba, a jeśli wyjdzie 0, to:
jeśli na dole są same zera, to na szczycie będzie 0
w przeciwnym wypadku na szczycie będzie 9.
(wzór bardziej „na czuja” niż sprawdzony)
I to by było na tyle
Pozdrawiam!
Michał
Sumujemy pierwszą liczbę i ostatnią. Dodajemy 3 razy (czwarta + siódma). Na końcu wyciągamy dziewiątki (możemy też działać mod 9 w trakcie liczenia) …(działania mod 9 ogólnie robi się łatwo). I już.
W trójkącie Pascala każda liczba pokazuje ilość dróg łączących ją z „górą” (korzeniem?). A przy sumowaniu (od dołu) będzie to informacja, ile razy daną liczbę zsumujemy po drodze w górę.
10 rządek trójkąta Pascala wygląda tak:
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
a modulo 9:
1 0 0 3 0 0 3 0 0 1 co daje odpowiedź.
Z ciekawości można sprawdzić czy działa to dla przykładu:
7 rządek to:
1 6 15 20 15 6 1
mod 9:
1 6 6 2 6 6 1
co chyba lepiej zapisać jako:
1 -3 -3 2 -3 -3 1
dostaliśmy liczby 5 3 0 7 4 5 9
5 + 9 + 2*7 = 5 + 0 + 2*(-2) = 1
3*(3+0+4+5) = 3*3 = 0
1-0 = 1 i voila!
Hmmm. A co do kart, to w pierwszej części:
Jeśli zupełnie nic nie założymy to w podstawie mogą być tylko 2 karty!
–9
-99
999
Jeśli wykluczymy 9-ki, to nie jest dużo lepiej:
—6
–33
-666
3333
Co do różnych kart, jeszcze pomyślę.
Jak są różne karty, to niestety tylko 3 karty w podstawie (tyle oczywiście można, bo są 3 różne w podstawie + 3 ponad podstawą)
—2
–11
-191
9182
1. W trójkącie Pascala w dziesiątym wierszu znajdują się liczby:
1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1.
Są to współczynniki dla liczb z najniższego wiersza pustego diagramu.
a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10. Wówczas na szczycie piramidy otrzymamy liczbę
(a1+9*a2+36*a3+84*a4+126*a5+126*a6+84*a7+36*a8+9*a9+a10) mod 9
ale wyrażenie to jest równe
(a1+3*a4+3*a7+a10) mod 9
Czyli cały trick polega na odpowiednim zsumowaniu a1, a4, a7 i a10.
2. Dla wersji karcianej z możliwością powtarzania liczb w podstawie nie możemy zbudować piramidy wyższej niż dwukondygnacyjną. Gdyby była wyższa, to kładąc w podstawie obok siebie trzy dziewiątki na wyższe kondygnacje potrzebowalibyśmy ich co najmniej dodatkowo trzy.
3. W wersji karcianej z różnymi kartami w podstawie nie możemy zbudować piramidy wyższej niż trzykondygnacyjną. Gdyby była wyższa, to kładąc w podstawie obok siebie 9, 1, 8 i 2 potrzebowalibyśmy na wyższe piętra co najmniej 4 dodatkowe jedynki. W piramidach trzykondygnacyjnych nic nam już nie grozi.
Pozdrawiam
Witam
Liczba na szczycie piramidy jest równa sumie iloczynów kolejnych cyfr przez wartość dwumianu Newtona odpowidającą pozycji, na której znajduje się dana liczba. Dla:
n=2 (cyfry a,b) suma = a+b
n=3 (a,b,c) suma = a+2*b+c
itd.
Trik opiera się na spostrzeżeniu, że rząd z 10-cioma cyframi w ostatnim rzędzie piramidki odpowiada trójkątowi Pascala dla n=9. Odpowiednie wartości dwumianów są równe:
1,9,36,84,126,126,84,36,9,1
Suma końcowa na szczycie wyniosłaby:
a+9b+36c+84d+126e+126f+84g+36h+9i+j
Przy czym cyfry: b,c,e,f,h,i ze względu na fakt że są mnożone przez wielkrotności 9 można pominąć (modulo 9), natomiast d i g przemnożyć przez 3 (84 = 9*9 + 3). Czyli wartość cyfry na szczycie będzie równa sumie cyfr liczby
a+3*d+3*g+j.
A to można szybko obliczyć w pamięci i zapisać na kartce zanim delikwent zacznie wypisywać kolejne sumy.
pozdrawiam
peha
W zależności jak zdefiniujemy natychmiast 🙂
oznaczając dolny wiersz jako a,b,c,…,j możemy zauważyć ze na gorze będzie wynik (a+3d+3g+j) mod 9 (co można policzyć prawie „natychmiast”)
Najbardziej magiczna byłaby piramidka o podstawie z 6 cyfr z dodawaniem mod 5 😉
Rozwiazanie zagadki jest bardzo proste. Liczbe, ktora bylaby na szczycie piramidy, wyrazic mozna takim oto wzorem:
a1+9a2+36a3+84a4+126a5+126a6+84a7+36a8+9a9+a10.
Gdzie a1,a2,a3,…,a10 to liczby z najnizszego rzedu.
Poniewaz jednak przy dodawaniu cyfr zawsze bierzemy reszte z dzielenia przez dziewiec, to i ta liczba na szczycie piramidy bedzie reszta z dzielenia przez 9, i podany powyzej wzor skraca sie do ponizszego:
a1+3a4+3a7+a10
A to da sie juz obliczyc w dwie sekundy.
Co do pytania o maksymalna ilosc liczb w podstawie trojkata, to:
1. Jezeli moga one byc takie same, to nie mozna robic podstawy dluzszej niz dwie karty. Dla trzech kart ktos zlosliwy wylozylby chociazby 3 dziewiatki i bylby problem.
2. Jezeli karty w podstawie musza byc rozne, to wydaje mi sie, ze moze ich byc co najwyzej 4. Dla pieciu da sie juz stworzyc ciag (np „92637”), gdzie dla ulozenia piramidy zabraknie kart (w tym przykladzie potrzebnych jest 5 dziewiatek). Dla czterech kart (chyba) niemozliwe jest znalezienie podobnej kombinacji.
pozdrawiam
A jednak sie dalo zrobic ciag 4 kart (9182) dla ktorych zabrakloby Asow.
Gratulacje
Czy znane są piramidy współczynników w analogii do trójkąta Pascala dla wielomianu n-tego stopnia? Mi były znane podczas studiów Fizyki, ale wtedy jeszcze nie było internetu, jako ze były to lata 1967-1972.
torsen1:
Znana jest piramida Pascala dla trójmianu
mp
wyliczyłem niegdyś współczynniki dla trójmianów i uporządkowałem powstała trójwymiarowa piramida o następujących płaszczyznach: 1 / 1,1,1/ 111222, 111 333333 6, 111 444444 666 12 12 12,… odpowiednio uporządkowane w trójkątach dają piękną piramidę…. itp sumy odpowiednio 1, 3, 9, 27, 81 czyli 3 do n-tej.
wzór { n } + { n } + { n } = { n+1 }
k+1,l k,l+1 k+1, l+1 k+1,l+1
gdzie oczywiście Def: { n } = n! / k! l!
podobnie piramidy znalazłem i dla czworomianu i odpowiedni wór, a także wzór dla wielomianu oczywiście z dowodem
k, l
wzór się nieco zniekształcił
{ n } + { n } + { n } = { n+1 }
k+1,l K,l+1 k+1,l+1 k+1,l+1
tyle czasu nie zajmowałem się tym tematem, dlatego i w definicji zrobiłem błąd: powinno być
{ n }
def. 1. = n! / k! l! (n-k-l)!
k, l