Najwięcejraczki
Przed rokiem pozwoliłem sobie trochę pozłowieszczyć w związku z liczbą 2011. W tym roku czarnowidztwo przemilczę, bo straszenia dookoła nie brakuje, zresztą inni robią to lepiej, nie tylko politycy i ekonomiści, (np. w filmie 2012). Skupię się na związkach tegorocznej liczby z matematyką czystą i piękną choć osobliwą. A właściwie na jednym związku, dotyczącym pewnej niezwykłej cechy tej liczby. Zacznę jednak od lat minionych.
Rok ubiegły wyrażał się liczbą pierwszą, której oczywiście na czynniki pierwsze rozłożyć nie sposób.
Sześć lat wcześniej była w kalendarzu liczba półpierwsza (2005), czyli taka, która jest iloczynem dwóch i tylko dwóch liczb pierwszych (5 × 1001 401).
Teraz nastała nam liczba, którą nazwę 1/3-pierwszą, bo można ją rozłożyć dokładnie na trzy czynniki pierwsze (2012 = 2 × 2 × 503). Takich liczb jest sporo, tworzą ciąg dość gęsty w zbiorze liczb naturalnych, więc nie są niczym osobliwym. 2012 wyróżnia się jednak wśród nich cechą szczególną – rozpoczyna kwartet kolejnych takich liczb:
2012, 2013 (3 × 11 × 61), 2014 (2 × 19 × 53), 2015 (5 × 13 × 31).
Kwartety liczb 1/3-pierwszych to białe kruki, znacznie bielsze niż np. ich odpowiedniki wśród liczb pierwszych – liczby bliźniacze (tylko że bliźniaki nie są kolejnymi liczbami). Poprzednie kwartety vel czworaczki przypadły na lata 1083-1086, następnymi będą 2091-2094.
Wieloraczki występują także w ciągu liczb półpierwszych, ale są najwyżej trojaczkami:
(33, 34, 35); (85, 86, 87); (93, 94, 95);…
Choć czworaczki są wśród liczb 1/3-pierwszych rzadkością, to jednak nie największą, bo możliwe są więcejraczki.
Jakie n-raczki są (mogą być teoretycznie) najwięcejraczkami w 1/3-pierwszym światku i dlaczego?
Pytanie dodatkowe: kto zna lub znajdzie (np. pisząc program) pierwsze takie najwięcejraczki? Podpowiem, że są 6-cyfrowe.
I jeszcze drobne ciekawostki.
2012 × 2102 = 4229224, czyli palindrom podwójny, bo po obu stronach znaku równości tak i wspak jest to samo. Poprzedni rok też tak miał.
Palindromowo, a właściwie ananimowo może być również inaczej: 2012 × 2012 = 4048144 – ta równość napisana wspak także jest prawdziwa.
Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co 3-4 dni.
Komentarze
Grupa sześcioraczkowa zaczyna się od liczby 18241. Najmniejsza grupa siedmioraczkowa zaczyna się od liczby 211673. Takich grup jest więcej .
Wszystkiego najlepszego w Nowym Roku. Antyp
5 x 1001 = 5005
2005 = 5 x 401
😉
Pierwsza równość jest prawdziwa także w lustrze 😉
mp
Teoretycznie nie mogą istnieć 8-raczki wśród 1/3-pierwszych liczb, gdyż wśród 8 kolejnych liczb naturalnych dokładnie jedna dzieli się przez 8 (2*2*2), co przy wskazówce, że najwięcej raczki wśród 1/3-pierwszych liczb to liczby 6 cyfrowe gwarantuje, że nie ma 8-raczków.
211673-211679 jest szukanym ciągiem 7 kolejnych 1/3-pierwszych liczb.
Wszystkiego najlepszego w 2012 roku.
Maksymalnie mogą być pięcioraczki, bo każda liczba podzielna przez 6 ( i większa od 6) ma conajmniej 4 dzielniki
Wielokrotnosci 8 na pewno nie sa 1/3-pierwsze, wiec teoretycznie najwiekszymi -raczkami moga byc 7-raczki.
a
Wycofuję wpis z 3 stycznia godz. 10.14 – okazało się, że niewłaściwie zrozumiałem pojęcie liczby 1/3 pierwszej (myślałem, że chodzi o liczbę, która ma dokładnie trzy dzielniki, podczas gdy chodzi o liczbę, którą można rozłożyć na 3 czynniki)