Kwadratowy kwadrat

18 grudnia 2008
Marek Penszko

Klasyczna definicja kwadratu magicznego jest mniej więcej taka: kwadrat podzielony na n^2 jednakowych, kwadratowych kratek, w które wpisano liczby naturalne od 1 do n^2 tak, że ich sumy w rzędach, kolumnach i na przekątnych są jednakowe. Już jednak w XVI wieku definicję tę, gwoli wzbogacenia i uatrakcyjnienia zabawy, modyfikowano, udostępniając kratki dowolnym liczbom, a nie tylko kolejnym, pod warunkiem, że były one oczywiście różne i wyróżniały się jakąś szczególną własnością.

W roku 1770 Leonhard Euler (ten sam, któremu bywa przypisywane „odkrycie” sudoku) ułożył pierwszy kwadrat magiczny z kwadratami (drugimi potęgami), złożony z 16 kratek (4×4), z sumą magiczną 8515.

Euler lubił się chwalić takimi cudeńkami w listach do innych matematyków, dzięki czemu wiele z nich przetrwało – powyższy kwadrat zachował się w korespondencji do Lagrange’a. Warto zwrócić uwagę, że obfituje on w kwadraty liczb pierwszych. Prawdopodobnie ma to związek ze sposobem, jaki stosował Euler, aby stworzyć to kuriozum.

Natomiast próby ułożenia „kwadratowego” kwadratu magicznego 3×3 spełzły na niczym i „spełzają” do dziś. Ufundowana przed 12 laty przez Martina Gardnera nagroda (100 dolarów) dla tego, kto ułoży taki kwadrat albo udowodni, że jest to niemożliwe, pozostaje nietknięta wraz z rosnącym procentem. Trzy lata temu francuski matematyk Christian Boyer dorzucił 100 euro i butelkę szampana, na pozór łagodząc wymagania: wystarczy, aby kwadratami było tylko siedem liczb – jednak kwadrat powinien być całkiem inny niż poniższy (jak dotąd jedyny znany, w którym tylko dwie liczby nie są kwadratami ), czyli z dokładnością do różnych rodzajów przekształceń. Suma magiczna wynosi w tym przypadku 541875.

Jedno jest pewne: jeśli komuś uda się zainkasować 100 dolarów Gardnera za ułożenie kwadratu, a przy okazji 100 euro i szampana Boyera, to liczby w kratkach będą – w przeciwieństwie do nagród – gigantyczne.

Zanim staną Państwo w szranki, proponuję wprawkę, w której kwadrat 3×3 jest półmagiczny (bez magii na przekątnych) oraz kwadratowy, ale inaczej.

Osiem płytek z liczbami należy umieścić na żółtych polach tak, aby:
– sumy trzech liczb w każdym z czterech rzędów były różnymi kwadratami;
– po wpisaniu w środkowe pole odpowiedniej liczby (jakiej?), sumy liczb w dwóch rzędach wskazanych strzałkami także tworzyły kwadraty, ale kolejne (następujące bezpośrednio po sobie w ciągu kwadratów liczb całkowitych dodatnich).