29.09.2016
czwartek

Przepływy

29 września 2016, czwartek,

Przed ośmiu laty zamieściłem w Łamiblogu zadanie zainspirowane pierwszym prawem Kirchhoffa. Chodziło o oznaczenie krawędzi grafu skierowanego liczbami od 1 do 13 tak, aby suma liczb „wpływających” do  i „wypływających” z   każdego węzła (wierzchołka) były równe. Oto znacznie skromniejszy przykład takiego zadania (liczby od 1 do 6, jedna ujawniona):
Pry_1
Przykład jest niemal trywialny, ale wraz ze wzrostem liczby krawędzi stopień zawiłości zadania szybko rośnie. Inaczej mówiąc, staje się ono coraz bardziej kombinacyjne. Ponieważ zamieszczone wówczas zadanie pochodziło z mistrzostw świata, więc wywołało dyskusję na temat sensu obecności takich zadań na turniejach. Jeśli bowiem próbowanie i błądzenie zaczyna dominować nad logiką, to zawody z założenia intelektualne zmieniają się w loterię. Istotny jest więc nie tyle rodzaj zadania, co stopień jego komplikacji, który powinien być optymalny, czyli taki, aby w trakcie rozwiązywania logika stanowiła danie główne, a kombinowanie tylko przystawkę lub deser. Co innego natomiast, gdy główkujemy bez współzawodnictwa, dla relaksu. Wówczas nieco większa (ale bez przesady) porcja kombinowania bywa całkiem przyjemna, a poza tym można poszukać jakiejś sprytnej metody, która pozwoli ominąć lub znacznie ograniczyć wyboiste próby, aby w miarę prostą logiczno-rachunkową ścieżką dotrzeć do celu. Być może taką ścieżkę uda się znaleźć w poniższym „przepływowym” zadaniu (w kółkach powinny się pojawić liczby od 1 do 12, trójka już jest), które pochodzi z 24-godzinnych mistrzostw w Budapeszcie. Warto dodać, że z 28 tytanów intelektu i kondycji, startujących w tych mistrzostwach, nie rozwiązał go nikt.
Pry_2
Kom

22.09.2016
czwartek

LCD puzzle

22 września 2016, czwartek,

Kreskowe cyfry z displejów są surowcem łamigłówkowym nie tylko w zadaniach arytmetycznych. Pojawiają się także w geometrii rekreacyjnej jako elementy układanki. Zwykle dziesięć różnych cyfr tworzy jakby fragment kratownicy, a rozwiązanie polega na wskazaniu (oznaczeniu) w tym spójnym, „gęstym” układzie poszczególnych cyfr. Oto takie zadanie:

LCp_1

Każda cyfra umieszczona jest we właściwej pozycji, czyli „na baczność” –  co stanowi spore ułatwienie. Byłoby trudniej, gdyby cyfry mogły być obracane o kąt prosty lub półpełny. Niestety, kratownic z możliwymi obróconymi cyframi nie sposób ułożyć tak, aby jako łamigłówki miały jedno rozwiązanie.  Konieczna jest przynajmniej jedna drobna zmiana, np. inny zapis dziewiątki – pozbawienie tej cyfry dolnej poziomej kreski. Oto drugie zadanie z taką właśnie zmianą (było przed laty na turnieju łamigłówkowym w Budapeszcie):

LCp_2

Niektóre cyfry są obrócone, ale odwrotki, czyli odbicia lustrzane wykluczamy.

Jako rozwiązania powyższych dwu układanek wystarczy podać pary liter, oznaczających dwa kwadraty ograniczone przez każdą z cyfr: 2, 3, 4, 5 i 6. W większości przypadków kwadraty są ograniczone z trzech stron, ale także z czterech (dolna połowa szóstki) lub tylko z dwóch (dolna połowa czwórki).

Kom

15.09.2016
czwartek

Mnożenie LCD

15 września 2016, czwartek,

Łamigłówki z cyframi „elektronicznymi” to właściwie klasyka, choć debiutowały raptem przed niespełna półwieczem wraz z rozpowszechnieniem się kalkulatorów kieszonkowych. Chodzi oczywiście o kreskowe cyfry występujące na 7-segmentowym wyświetlaczu – dawniej diodowym, dziś ciekłokrystalicznym.

MnoLCD_1

Zwykle w zadaniach mowa jest o uszkodzonym displeju, a praktycznie na rysunku znajduje się działanie z niekompletnymi cyframi, które trzeba rozszyfrować. Przykładem może być prosta łamigłówka z ostatniego zimowego Omnibusa:

MnoLCD_2

Bez dodatkowego warunku zadanie ma trzy rozwiązania.
(a) 67×7=469
(b) 68×6=408
(c) 69×7=483
Aby było jedno rozwiązanie, potrzebny jest dodatkowy warunek. Nasuwa się następujący (taki był w Omnibusie):
(I) wszystkie cyfry w mnożeniu powinny być różne.
Wówczas rozwiązaniem jest (c).
Warunek mógłby brzmieć jednak inaczej – tak, aby zadanie było nieco bliższe displejowej rzeczywistości, a mianowicie:
(II) taka sama cyfra zawsze wyświetla się błędnie w taki sam sposób, ale różne cyfry też mogą się błędnie wyświetlać jednakowo.
Zauważmy, że przy warunku (II) jedynym rozwiązaniem również byłoby (c), ponieważ zarówno w (a), jak i w (b) są dwie szóstki, a jedna z nich wyświetla się inaczej niż druga.

Kolej na (za)danie główne, czyli kreskowe mnożenie, które wypadło z przygotowywanego 11. Omnibusa, ponieważ konsultanci uznali je za zbyt trudne (żmudne):

MnoLCD_3

Mnożenie ma jedno rozwiązanie przy warunku (I) i  jedno więcej niż jedno (ile?) przy warunku (II). Czy uda się Państwu znaleźć oba wszystkie?

Kom

8.09.2016
czwartek

Talizmagia

8 września 2016, czwartek,

Figury magiczne i talizmanowe już się w Łamiblogu pojawiały, ale takie, które byłyby równocześnie magiczne i talizmanowe – jeszcze nie. Czy się pojawią, to zależy od Państwa. Konkretnie chodzi o magiczno-talizmanowe kwadraty 4×4.

Różnych (z dokładnością do obrotów i odbić lustrzanych) kwadratów magicznych 4×4 jest 880. Najbardziej znany to „Melancholijny” kwadrat Dürera:

Tal_1

Czy jest on talizmanowy? Odpowiedź wymaga sprawdzenia, jakie są w tym kwadracie różnice między liczbami w sąsiednich polach (także stykających się tylko rogami), a ściślej, jaka jest najmniejsza z tych różnic R(min). Jak widać R(min) równa jest 1, a takich różnic jest aż osiem (3-2, 11-10, 7-6, 15-14, 6-5, 10-9, 8-7, 12-11). Gdybyśmy mieli pewność że w kwadracie magicznym 4×4 R(min) nie może być większa niż 1, to kwadrat Dürera byłby talizmanowy. A zatem kwadrat jest talizmanowy wówczas, gdy różnica R(min) jest największą możliwą.

Czy komuś z Państwa uda się znaleźć na piechotę kwadrat magiczny 4×4 z R(min)=2? Wątpię, bo to zajęcie benedyktyńskie, choć jestem prawie pewien, że takowy istnieje. Jednak znacznie mocniej wątpię w to, że R(min) może być równe 3, choć mam nadzieję, że sprawę ostatecznie rozstrzygną programiści, których wśród gości Łamibloga nie brakuje i już nieraz gospodarza wspierali. A może komuś uda się dowieść, że R(min)=3 w kwadracie 4×4 nie jest możliwe.

Kom

1.09.2016
czwartek

Dycha

1 września 2016, czwartek,

Nie mam sentymentu do obchodzenia rocznic, ale miło mi, że niektórzy z Państwa pamiętali, że 1 września 2006 roku wystartował Łamiblog. Jak zwykle przy takich okazjach okrągła liczba jest zaskoczeniem. Równie zaskakujący był zestaw kilku zadań, które otrzymałem na tę okoliczność od Michała S. Bardzo dziękuję i pozwolę sobie zamiast fanfar i szampana zaprezentować jedno z nich. Chodzi o sudoku zwane antykońskim – odmianę wymyśloną przed ponad 10 laty przez Michała. Zadanie pasuje do rocznicy nie tylko cyfrowym „obrazkiem”, ale także ze względu na sudoku – sprawcę łamigłówkowego boomu, bez którego Łamiblog zapewne w ogóle by się nie pojawił oraz z powodu „antykonia”, nawiązującego do blogo-logo.

Zasady sudoku są powszechnie znane, więc krótko przypomnę tylko to, co antykońskie: w kratkach połączonych skokiem konika szachowego nie mogą pojawić się jednakowe cyfry.

Dyc_1

Gdyby ktoś chciał się pochwalić rozwiązaniem, a nie miał sentymentu do wypisywania wszystkich cyfr, wystarczy jeśli poda cztery, które wskoczą w rogi diagramu albo chociaż ich sumę (niestety, nie jest ona równa 10 :) ).

Kom

24.08.2016
środa

Lepsze zmiany

24 sierpnia 2016, środa,

„Lepsze”, czyli większe niż „dobre” z poprzedniego wpisu, a ściślej – rodzaj łamigłówki taki sam, ale diagram nieco większy. To zadanie rozwiązywali uczestnicy finału łamigłówkowych mistrzostw Polski w roku 2001 i – jak wspomniałem poprzednio – wiele osób określiło je jako „irytujące”, ponieważ (zdaniem jednego z finalistów) w trakcie rozwiązywania od pewnego momentu „się głupieje”. Moim zdaniem autorowi tej lakonicznej opinii chodziło o to, że po ustaleniu kilku liczb-pewniaków, nie podlegających zmianie, logika zawodzi i trzeba wspomóc się próbowaniem i błądzeniem. Niewykluczone jednak, że komuś z Państwa uda się dostrzec jakąś ukrytą w gąszczu liter, wiodącą do celu wąską ścieżkę logiczną.

Przypominam, co jest grane:
Cyfra nad każdą kolumną i przed każdym wierszem oznacza, ile liter należy w tym rzędzie zmienić na inne. Celem zmian jest utworzenie kwadratu łacińskiego, czyli w każdym wierszu i w każdej kolumnie powinno występować osiem różnych liter – A, B, C, D, E, F, G, H.

Lez_1

Kom

18.08.2016
czwartek

Dobre zmiany

18 sierpnia 2016, czwartek,

Poniższy rodzaj zadania pojawił się przed kilkunastu laty na łamigłówkowych mistrzostwach Polski. Wiele osób określiło go wówczas jako „irytujący”. Dlaczego? O tym za chwilę. Najpierw reguły zabawy, które również można by nazwać irytującymi, a ściślej – irytująco prostymi. To chyba najprostszy pomysł na zadanie oparte na kwadracie łacińskim.

Cyfry nad kolumnami i przed wierszami diagramu oznaczają, ile liter w danym rzędzie należy zmienić na inne tak, aby powstał kwadrat łaciński, czyli aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie występowało siedem różnych liter – A, B, C, D, E, F, G.

Doz_1

A wspomniana irytacja stąd, że zaczyna się łatwo, oznaczając litery kwalifikujące się do zmiany i wpisując w diagram po prawej te, które na pewno pozostaną niezmienione na swoich miejscach. A potem – jak powiedział jeden uczestników mistrzostw – „się głupieje”. Czy rzeczywiście? Na usprawiedliwienie tej opinii wypada dodać, że diagram na mistrzostwach był większy, a zmiany w rzędach liczniejsze.

Kom

12.08.2016
piątek

Bez jednej

12 sierpnia 2016, piątek,

Uprzedzam na wstępie, że tym razem będzie bardziej matematycznie niż łamigłówkowo, a co gorsza – niełatwo.

W Encyklopedii ciągów liczbowych trafiłem na ciąg z gatunku dziwacznych, zaczynający się tak:
100, 105, 108, 110, 120, 121, 130, 132, 135, 140, 143, 150, 154, 160, 165, 170, 176, 180, 187, 190, 192, 195, 198, 200,…
Obejmuje on tzw. gapful numbers, czyli w wolnym tłumaczeniu „liczby szczerbate”. Chodzi o to, że pierwsza i ostatnia cyfra każdej liczby tworzą jej dwucyfrowy dzielnik. Można też tę własność w odniesieniu do początkowego fragmentu, czyli liczb 3-cyfrowych, określić trochę inaczej: jeśli z danej liczby usunąć środkowy „ząbek”, to pozostanie jej dzielnik.
W związku z „ząbkiem” postanowiłem ten egzemplarz nieco zmodyfikować, czyli zaproponować ciąg bliźniaczy, obejmujący liczby zdefiniowane tak:
każda zmienia się w swój dzielnik po usunięciu jednej cyfry z wnętrza (czyli nie pierwszej i nie ostatniej, bo szczerba musi być widoczna między ząbkami).
Początek tego ciągu – nazwijmy go 1-szczerbatym – jest taki, jak szczerbatego, ale od liczb 4-cyfrowych zaczynają się różnice, bo np. 1001 dzieli się przez 11, a przez 101 nie; najmniejsza 1-szczerbata liczba 4-cyfrowa większa od 1000 to 1050=150×7. Ciąg 1-szczerbaty jest więc znacznie rzadszy od szczerbatego (większe odstępy między wyrazami). Na pewno jest nieskończony, bo zawiera wszystkie liczby z dwoma zerami na końcu (usuwane jest przedostatnie zero). Czy liczb zakończonych tylko jednym zerem też jest w nim nieskończenie wiele (podobnie jak zapewne liczb bliźniaczych wśród pierwszych)? – tego nie jestem pewien. Wiem natomiast, że liczby nie kończące się zerem w pewnym momencie się kończą. Jaka jest największa z nich?

Zadanie da się rozwiązać matematycznie „na piechotę”, choć jest trudne, więc ciekaw jestem, czy ktoś sobie z nim poradzi. Oczywiście w konkurencji programistycznej także można startować.

Kom

5.08.2016
piątek

Z silnią

5 sierpnia 2016, piątek,

Teoria liczb jest wprawdzie działem matematyki poważnej, ale mocno związanym z rozrywkami matematycznymi. W gruncie rzeczy jej podwaliny stanowi frapujący i zagadkowy także dla nieprofesjonalistów temat, jakim są liczby pierwsze. W ciągu wieków teoria liczb przygarniała wiele innych zagadnień, debiutujących wcześniej w ramach matematyki rekreacyjnej. Ostatnio do obiektów zdecydowanie rozrywkowych, które się do niej wślizgują, należą tzw. liczby Friedmana.

Najmniejszą liczbą Friedmana i jedyną dwucyfrową jest 25 ponieważ 25=5^2; trzy inne przykłady z uzasadnieniem, czyli działaniem po znaku równości, są następujące: 125=5^(1+2), 126=6*21, 1296=6^((9-1)/2).
Z przykładów nietrudno domyślić się definicji: liczba Friedmana to taka, którą można zapisać w postaci działania, zawierającego tyle samo takich samych cyfr, co w liczbie, dysponując tylko pięcioma działaniami (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie).

Czy 2016 jest liczbą Friedmana? Wiadomo, że nie. A czy byłaby, gdyby dopuścić stosowanie silni? Prawdopodobnie także nie. Zatem ostatecznie zadanie brzmi tak:
Utwórz działanie równe 2016, zawierające cyfry 0, 1, 2, 6 – wyłącznie takie i każdą przynajmniej raz; dozwolone jest stosowanie tylko takich działań, jak w przypadku liczb Friedmana oraz silni (pojedynczej) i nawiasów; ponadto liczby w działaniu mogą być co najwyżej 3-cyfrowe (aby uniknąć trywialnego 2010+6).
Celem nadrzędnym jest utworzenie działania zawierającego najmniej cyfr.

Kom

29.07.2016
piątek

Czystka

29 lipca 2016, piątek,

Zadania szachowe – takie, jak dwu-, trzy- czy wielochodówki – formalnie są łamigłówkami, ale takie określenie, zdaniem szachistów, obniża ich rangę. Natomiast typowe łamigłówki szachowe nie są, w odróżnieniu od zadań, bezpośrednio związane z rozgrywką – korzystają tylko z szachowych rekwizytów i zasad, np. z szachownicy lub sposobów poruszania się bierek. Takie łamigłówki gościły już nieraz w Łamiblogu. Przypomnę jedną z nich w nowej formie, wymyślonej przez amerykańskiego informatyka i łamigłówkarza Dennisa Shashę.

Na szachownicy stoi 7 figur i 2 pionki.

Czy_1

Celem jest prawie zupełne „oczyszczenie” planszy, czyli pozostawienie na niej tylko jednej bierki. Aby do tego doprowadzić, należy w kolejnych ruchach zbijać jednymi bierkami inne. Dozwolone są tylko bicia, a zatem wybitka powinna zakończyć się po ośmiu ruchach wykonywanych jak w grze, na przemian, a więc nie wolno wykonać dwóch kolejnych bić bierkami tego samego koloru. Jaki kolor zaczyna czystkę – to także trzeba ustalić samemu. Rozwiązaniem jest oczywiście zapis ośmiu kolejnych bić.

Kom

css.php