Zapewne wiele osób zetknęło się z następującym zadaniem:

Cyfry od 1 do 9 można łączyć w grupy (bez zmiany ich kolejności), tworząc w ten sposób liczby kilkucyfrowe albo stawiać między nimi znaki czterech podstawowych działań arytmetycznych. Celem jest utworzenie poprawnej równości.

Ta łamigłówka to kamyk milowy w matematyce rekreacyjnej. W druku pojawiła się w połowie XIX w. Po raz pierwszy – co trochę zaskakujące – w niemieckiej książce z grami i zabawami dla dziewcząt autorstwa Marie Leske. W pierwszej wersji cyfr nie można było łączyć, więc dziewczętom podano tylko jedno rozwiązanie:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 x 9
Znalazłoby się jednak jeszcze kilka innych, np.
1 x 2 x 3 x 4 + 5 + 6 + 7 x 8 + 9
(1 : 2 + 3) x 4 x 5 + 6 + 7 + 8 + 9
Łącząc cyfry i wspierając się nawiasami można znaleźć setki rozwiązań.

Martin Gardner uszlachetnił to zadanie, ograniczając znaki do plusów i minusów. Wówczas rozwiązań jest jedenaście, w tym jedno z minimalną liczbą znaków – trzema:
123 – 45 – 67 + 89
Przed kilkunastu laty na łamach Wiedzy i Życia ogłosiłem konkurs na uszlachetnienie niejako w odwrotną stronę – plusów/minusów powinno być jak najmniej.
Dziesięć osób odkryło mocno zakręcony unikat z jednym minusem:
1 : 2 x (34 x 56 : 7 – 8 x 9)

Wariacji na temat tego zadania jest wiele. Najczęściej chodzi po prostu o utworzenie działania równego 100 z cyfr od 1 do 9 ustawionych w dowolnej kolejności, ale z jakimiś ograniczeniami. Formalnie działania może nawet w ogóle nie być, jeśli np. wyrażenie:
82 + 3546 : 197
zapiszemy w postaci liczby mieszanej z ułamkiem niewłaściwym:
82 3546/197
Takich unikatów jest jedenaście, w tym jeden z liczbą jednocyfrową:
3 69258/714

A czy znaki działań mogą być tylko jednego rodzaju? Nietrudno i elegancko można dowieść, że na samych mnożeniach, dzieleniach lub dodawaniach do setki się nie dotrze. A na minusach jak najbardziej i to na mnóstwo sposobów. Przykład tylko z dwoma znakami i najmniejszą odjemną:
536 – 289 – 147
Natomiast same plusy nie wystarczą, musi przypętać się jakiś inny znak. Chyba że zastosuje się pewien zabawny podstęp, który pojawił się po raz pierwszy w angielskiej książce ze sztuczkami magicznymi z roku 1857. Droga do stu może wówczas wyglądać tak:
15 + 36 + 47 = 98 + 2 = 100
albo tak:
3 + 12 + 74 = 89 + 5 + 6 = 100
Czy uda się Państwu znaleźć jeszcze choć jeden taki zapis dodawania z dziewięcioma różnymi cyframi i podstępnym pośrednikiem – dodatkowym znakiem równości?

Moi najbliżsi wojażowali w długi weekend po Dolnym Śląsku. Zwiedzali m. in. kopalnię złota w Złotoryi, więc wrócili bogaci – we wrażenia oczywiście. Nie omieszkali też, wiedząc o zamiłowaniu gospodarza Łamiblogu do gier, poinformować go o pewnym odkryciu. Otóż w Świerzawie, małym, urokliwym miasteczku, leżącym niedaleko Złotoryi, znajduje się zachowany w bardzo dobrym stanie kościół romański. W 1977 roku w jego wnętrzu odsłonięto ukryte pod warstwą tynku rysunki i malowidła z XIII wieku. Nawę kościoła można odwiedzić wirtualnie i samemu dostrzec wspomniane odkrycie: po prawej stronie masywnej chrzcielnicy wyryta jest na ścianie… plansza do gry w młynek.

W książce Podróże w krainie gier Lech Pijanowski poświęcił tej grze, uchodzącej za jedną z najstarszych w dziejach ludzkości, odrębny rozdział. Podał przykłady wielu miejsc na świecie, w których zachowały się, zwykle wyryte w kamieniu, liczące sobie przynajmniej kilka wieków identyczne lub bardzo podobne rysunki. Powtórzył też za źródłowymi angielskimi publikacjami: „w młynka grywali więc Wikingowie, Rzymianie i starożytni Grecy, uprawiano tę grę chyłkiem w kościołach średniowiecza w czasie szczególnie długo trwających obrzędów”. Czyżby w Świerzawie, i nie tylko, grano na ścianach? Musiały to być partie błyskawiczne – zanim pionki pospadały. A serio: niemieccy badacze ustalili, że młynkowe rysunki miały od starożytności przede wszystkim znaczenie symboliczne, zazwyczaj religijne. Zaczęto na nich grywać prawdopodobnie dopiero w XII wieku, adaptując zasady z jakiejś gry warcabopodobnej, zaś pod koniec XX wieku powstała Światowa Organizacja Młynkowa i zaczęto organizować mistrzostwa Europy. Organizacja oraz mistrzostwa mają charakter, że tak powiem – kameralny. Dominują w nich gracze z krajów niemieckojęzycznych, ale w 2007 roku najlepszym młynkarzem Europy został Polak – Jakub Borlik. Tegoroczne mistrzostwa odbyły się pod dziwnie znajomą nazwą – Euro 2012 – pod koniec kwietnia koło Monachium. Zwyciężył Szwajcar Alain Flury.

Jak z tego wynika, gra nie jest prosta, choć kojarzy się z dzieciństwem. Ma dość zawiłą strategię głównie ze względu na podział partii na trzy etapy, w których obowiązują nieco odmienne reguły. Przypomnę krótko, na czym polega każdy kolejny etap:
1. gracze umieszczają na przemian po jednym pionku na punktach (24 miejsca styku linii), aż do wystawienia przez każdego dziewięciu.
2. gracze przesuwają po jednym pionku wzdłuż linii na sąsiedni wolny punkt.
3. ten, komu zostaną na planszy tylko 3 pionki, w każdym ruchu przenosi dowolny z nich na dowolny punkt. Kto zostanie tylko z dwoma pionkami – przegrywa.
Wygrać można także w drugim etapie, blokując pionki przeciwnika tak, aby nie mógł wykonać ruchu.
We wszystkich trzech etapach obowiązuje podstawowa zasada:
kto ustawi trzy swoje pionki na jednej linii, czyli utworzy tzw. „młynek”, ten natychmiast usuwa z planszy jeden dowolny pionek przeciwnika.

Przewrotność strategii polega m. in. na tym, że szóstego pionka przeciwnika właściwie nie warto zbijać, bo pozostając z trzema, będzie mógł je przenosić, a to daje na krótko znaczną przewagę. Zbicia – jednak nieuniknionego – trzeba więc dokonać po doprowadzeniu do takiej sytuacji, w której ta przewaga nie okaże się „druzgocąca”.

Zawiłością strategii młynek nie umywa się oczywiście do szachów, ale niemal dorównuje warcabom. Z komputerami, które już dawno „rozgryzły” strategię, na pewno się nie wygra, bo kto np. w sytuacji przedstawionej na poniższym rysunku, dysponując białymi, będzie wiedział, jak grać, aby zapewnić sobie zwycięstwo najdalej w 187 ruchu.

Młynkowe końcówki są prawie jak szachowe wielochodówki.

Zaczynają białe i wygrywają, czyli tworzą młynek, w czterech ruchach. W jaki sposób? Przypominam, że to trzeci etap, bo obie strony mają po trzy pionki, więc wolno je przenosić na dowolny punkt.

_{Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.}

„Każdą liczbę x otacza x liczb nieparzystych” – 7 słów i 37 liter. Krócej zapewne nie da się sformułować instrukcji obsługi zadania zamieszczonego w poprzednim wpisie. Chyba żeby zamiast „liczbę” i „liczb” wstawić „cyfrę” i „cyfr”- byłoby o dwie litery mniej. Można się wprawdzie zastanawiać, czy cyfra, która jest tylko znakiem, może być, podobnie jak liczba, nieparzysta, ale przecież o liczbie 1791 (skojarzenie z dzisiejszą datą) powiemy, że składa się z cyfr nieparzystych. Jest to zatem liczba cyfronieparzysta. Ponadto wszystkie jej dzielniki także są cyfronieparzyste: 1, 3, 9,  199, 597, 1791 (lepiej brzmiałoby „liczba nieparzystocyfrowa” , ale takie określenie pojawia się czasem w odniesieniu do liczb złożonych z nieparzystej liczby cyfr).

I zagadka, oczywiście ściśle związana z tym, co było dotąd.
Proszę podać następny wyraz ciągu:
75, 135, 195, 315, 335, 357, 375, …

A jeśli ciąg nie przypadnie komuś do gustu, proponuję zadanie takiego samego rodzaju jak w poprzednim wpisie – czyli z instrukcją na początku bieżącego – ale nieco trudniejsze.

W rozwiązaniu wystarczy wskazać pola, w których pojawią się piątki.

Zadanie pochodzi z finału 7 Mistrzostw Polski w Rozwiązywaniu Łamigłówek (2002).

_{Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.}

Dawno nie było w Łamiblogu indugadki, czyli zagadki (a właściwie łamigłówki) indukcyjnej. Pora nadrobić zaległości.

Przypominam, w czym rzecz: mamy przykład zadania, czyli diagram w większości pusty, i jego rozwiązanie, czyli diagram wypełniony i… nic poza tym. Inaczej mówiąc, brak jest instrukcji, więc trzeba samemu wywnioskować (wyindukować) – na podstawie rozwiązania przykładu – jakie są reguły zadania, które określają sposób wypełniania diagramu. A po wywnioskowaniu rozwiązać inne zadanie, korzystając z tych domniemanych reguł.

Przykład z rozwiązaniem wygląda tak:

A zadanie tak:

Przypominam też, że lubię łamigłówki, których reguły są proste i krótkie, więc nie warto szukać zbytnich zawiłości, rządzących wpisywaniem cyfr w kratki. Reguły można ująć w jednym zdaniu niezbyt rozwiniętym.

Będę od razu uwalniał wszystkie komentarze z rozwiązaniem, zawierającym podane tylko cztery narożne cyfry (bez rozszyfrowanej zasady), a przy pierwszym poprawnym dopiszę, że jest OK.

_{Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.}

Z okazji przypadającego dziś Dnia Krótkiego Wpisu niniejszy wpis (w przeciwieństwie np. do poprzedniego) jest, podobnie jak jego tytuł, bardzo niedługi. Ot, zdanie-zadanie.

Każda n-ta liczba w ciągu jest najmniejszą sumą n różnych liczb takich, że każda z nich pomnożona przez n daje iloczyn utworzony z takiego samego zestawu n cyfr.

Oczywiście n₁= 1. A co dalej?

Gwoli jasności określenia „taki sam zestaw cyfr” – przykład:
gdyby zestawem były trzy cyfry (0, 6, 7), to wszystkimi możliwymi do utworzenia liczbami byłyby: 607, 670, 706, 760.

Szukany ciąg jest mocno zakręcony i w Encyklopedii ciągów liczbowych go nie ma.

_{Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.}

Przywiązałem się do drzew, więc jeszcze przez chwilę na ten temat.
Drzewo jakie jest, każdy widzi. Przynajmniej trzy drzewa na jednej prostej to rząd. A drzeworząd? To dziwne określenie wiąże się z zadaniem, z którym nie mogę się rozstać od dwóch wpisów. Drzeworząd to drzewo-w-rzędzie, ale – drzewo na przecięciu dwóch rzędów, to dwa drzeworzędy, na przecięciu trzech – trzy itd. Jeśli więc posadzimy np. 8 drzew w 6 rzędach – tak, jak poniżej – i obok każdego wpiszemy liczbę równą liczbie rzędów, w których dane drzewo się znajduje,

to suma wszystkich liczb będzie równa liczbie drzeworzędów danego układu, czyli w tym przypadku 19.

W tzw. problemie sadzenia drzew, „wyrosłym” na pograniczu geometrii dyskretnej i kombinatorycznej, chodzi o posadzenie n drzew w jak największej liczbie rzędów r po k drzewa w każdym rzędzie. Poniżej rozwiązania dla k = 3 i n = 6, 7, 8, 9 i 10.

Liczba drzeworzędów d w każdym z tych rozwiązań równa jest k*r.
Czy jeśli pominiemy k i zapytamy o maksymalną wartość d dla danego n, to wynik będzie zawsze taki sam, jak w problemie sadzenia drzew? Z zadania goszczącego w dwóch poprzednich wpisach wynika, że nie, bowiem dla n = 8 wartość d może być o jeden większa, niż to wynika ze wzoru k*r, a więc równa 22 – w jednym rzędzie mogą znaleźć się 4 drzewa:

Jest to najmniejsza wartość d większa od tej, która wynika z problemu sadzenia drzew – czyli dla danego n, ale z pominięciem warunku, że liczba drzew k w każdym rzędzie powinna być jednakowa. Co ciekawe, jest to, jak dotąd, jedyny znany mi taki przypadek. Inaczej mówiąc, nie udało mi się zwiększyć liczby drzeworzędów w rozwiązaniu problemu sadzenia drzew dla żadnej innej wartości n i k. Gdyby ktoś z Państwa bliżej zainteresował się tym zagadnieniem i przeskoczył o jedno oczko jakieś inne d (dla danego n) wynikające ze wzoru k*r, to wdzięczny będę za informację.

A dla wszystkich znacznie prostsze zadanie, będące jakby odwrotnością problemu sadzenia drzew.

Na planie sadu drzewa znajdują się tylko w 12 węzłach siatki kwadratowej 5×7. Proszę oznaczyć trzy węzły, w których należy posadzić jeszcze 3 drzewa tak, aby po tej czynności żadne 4 z 15 drzew nie rosły w jednym rzędzie. Należy jednak zrobić to tak, aby zachowany był następujący warunek: od każdego drzewa do każdego innego powinno być możliwe dojście po liniach siatki bez konieczności przechodzenia przez „bezdrzewny” węzeł. Inaczej mówiąc, układ drzew powinien być spójny.

_{Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.}

Posadzić 8 drzew w 7 rzędach tak, aby był 1 rząd z 4 drzewami i 6 rzędów po 3 (nie więcej) drzewa w każdym.
Rozwiązania ogólne (topologicznie różne) są dwa:

Szukanie rozwiązań jest trudniejsze, gdy drzewa rosną w węzłach siatki kwadratowej. Taką właśnie formę miało to zadanie w poprzednim wpisie, ale dla ułatwienia 3 drzewa były już ulokowane w rogach siatki, obejmującej kwadrat złożony ze 169 węzłów. Okazało się, że 5 pozostałych drzew można rozmieścić na pięć sposobów (jednego z nich, nadesłanego przez jawę i Wiąza, wcześniej nie znałem):

Jak widać pierwsze cztery sposoby odpowiadają pierwszemu rozwiązaniu ogólnemu, piąty – drugiemu.

Czy któreś z dwóch rozwiązań ogólnych tego zadania można, sadząc drzewa w węzłach, „wpasować” w prostokątny fragment siatki kwadratowej, obejmujący mniej niż 169 węzłów?

_{Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.}

Ułożyć zadanie i nie potrafić go rozwiązać. Tak czasem bywa, ale częściej zdarza mi się znajdywać rozwiązanie, które – jak się później okazuje – albo nie jest najlepsze, albo nie jedyne. Co ciekawe, konsultanci też czasem zawodzą i dopiero niektórzy czytelnicy wyłapują potknięcia. Ostatnio taki przypadek miał miejsce w marcowym Świecie Nauki.

Artykuł nawiązywał do tzw. problemu sadzenia drzew, który w ogólnym ujęciu polega na posadzeniu n drzew w r rzędach tak, aby w każdym rzędzie rosło dokładnie k drzew. Bardziej konkretnie, chodzi o znalezienie maksymalnego r dla ustalonych n i k. Na przykład, jeśli n = 8 i k = 3, to rzędów r może być najwyżej 7, a drzewa należy posadzić tak:

Jedno z zadań konkursowych było nieco zakręcone, bo drzewa znajdowały się w węzłach siatki kwadratowej, a ponadto występowały dwie wartości r i k.

W sadzie rośnie 169 drzew. Na rysunku odpowiadają im węzły siatki kwadratowej. Osiem drzew przeznaczono do wykarczowania – trzy z nich (oznaczone na rysunku) znajdują się w rogach sadu, czyli w punktach a1, a13 i m1. Gdzie rośnie pięć pozostałych, jeśli wszystkie osiem tworzy siedem rzędów: sześć rzędów po trzy drzewa w każdym (nie więcej) oraz jeden rząd z czterema drzewami?

Na zmaganie się z tym zadaniem, podobnie jak na cały problem sadzenia drzew, nie ma uniwersalnej metody. Trzeba próbować i kombinować, co też czyniłem i znalazłem następujące rozwiązanie: pięć drzew tkwi w punktach a7, d4, e1, e5, g1. Graficznie, z zaznaczonymi siedmioma rzędami, wygląda to tak:

Co ciekawe, konsultant też wpadł na takie rozwiązanie, a na żadne inne nie, co utwierdziło mnie w podejrzeniu, że innego nie ma. Jakież więc było moje zdziwienie, gdy okazało się, że żadna z blisko setki osób, uczestniczących w konkursie, nie nadesłała takiego rozwiązania.

Ile różnych rozwiązań ma to zadanie – nie wiem, a ile różnych nadesłali czytelnicy – na razie nie ujawnię. Być może niektórzy z Państwa spróbują znaleźć i nadesłać choć jedno – oczywiście inne niż podane wyżej – i może będzie wśród nich takie, którego nie znam. Wszystkie staro- i nowoodkryte podam za kilka dni, o ile ktoś z Państwa wcześniej do cna nie rozgryzie tego zadania.

_{Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.}

W niedziele (ale dziś wyjątkowo nie) TVP2 serwuje magazyn „Kultura, głupcze”. Tytuł jest n-tym wykorzystaniem szablonu „X_n, głupcze”; X₁ = „gospodarka” zastosował Bill Clinton w kampanii wyborczej przed 20 laty. Dla mnie jednak ciekawsze jest to, że ten tytuł w animowanej czołówce magazynu pisany jest na załamującej się trzykrotnie pod kątem prostym ścianie, a efekt końcowy wygląda tak:

(Rysunek ze strony TVP )
Jeśli spojrzymy z większej odległości prostopadle na pierwszy i trzeci fragment ściany, to LTU GŁUPCZE nie zobaczymy, a odczytamy tylko wyraz KURA.

Są słowa, które można by zapisać na tej ścianie tak, że ich części na pierwszym i trzecim fragmencie oraz na drugim i czwartym tworzyłyby w obu przypadkach znane wyrazy. Takim słowem są np. PISANKI:

Poza tym, że oba słowa tworzą wyrażenie, to drugie można też potraktować jako spójnik lub partykułę, a nawet rzeczownik (było takie państwo). Znając wyrazy PISK i ANI oraz wiedząc, jak „powstały”, łatwo odtworzyć wyjściowe PISANKI. A gdyby takich par krótszych słów – utworzonych z dłuższych zapisanych na takiej ścianie jak wyżej i w taki sam sposób – było np. 5 i były przemieszane? Oto one:

Proszę spróbować odtworzyć pięć dłuższych słów. Wszystkie są rzeczownikami pospolitymi w pierwszym przypadku liczby pojedynczej. Dla zachęty i dla ułatwienia dodam, że skoro mamy „świnta”, to pozwoliłem sobie odrobinę „poświntuszyć”.

Zadanie należy do tzw. werbalnych testów inteligencji, a w związku z tym istotny jest czas rozwiązywania. Odtworzenie wszystkich słów w ciągu 5 minut, oczywiście korzystając tylko z głowy, można uznać za dobry wynik, 4 minuty – bardzo dobry. Ogólnie: x minut – ocena 9-x. Ciekawe, ile osób zasłuży na ocenę ujemną

_{Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni}

Trochę się jeszcze poślizgamy, jeśli oczywiście ktoś lubi i ma ochotę. Skorzystamy z ostatnich podrygów zimy; wszak następne zlodowacenie dopiero mniej więcej za 9 miesięcy – może będzie nim znajdujący się w Majowym programie koniec świata (21 grudnia).

Prawdziwym pretekstem do bisu jest jednak to, że poprzednio o japońskim lodowisku napisałem: „pomysłowe, wyszukane i często niełatwe”, a tymczasem oba zadania okazały się proste jak sopel. Pora zatem na twardsze orzechy. Moim zdaniem przynajmniej jeden jest twardy jak lód. A jeśli tak, to który zdaniem Państwa?

Przypominam, że instrukcja obsługi lodowiska oraz przykład są w poprzednim wpisie.
Jako rozwiązania wystarczy podać liczbę zakrętów na białych polach (śnieg) i skrzyżowań na szarych (lód).

_{Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.}