24.08.2016
środa

Lepsze zmiany

24 sierpnia 2016, środa,

„Lepsze”, czyli większe niż „dobre” z poprzedniego wpisu, a ściślej – rodzaj łamigłówki taki sam, ale diagram nieco większy. To zadanie rozwiązywali uczestnicy finału łamigłówkowych mistrzostw Polski w roku 2001 i – jak wspomniałem poprzednio – wiele osób określiło je jako „irytujące”, ponieważ (zdaniem jednego z finalistów) w trakcie rozwiązywania od pewnego momentu „się głupieje”. Moim zdaniem autorowi tej lakonicznej opinii chodziło o to, że po ustaleniu kilku liczb-pewniaków, nie podlegających zmianie, logika zawodzi i trzeba wspomóc się próbowaniem i błądzeniem. Niewykluczone jednak, że komuś z Państwa uda się dostrzec jakąś ukrytą w gąszczu liter, wiodącą do celu wąską ścieżkę logiczną.

Przypominam, co jest grane:
Cyfra nad każdą kolumną i przed każdym wierszem oznacza, ile liter należy w tym rzędzie zmienić na inne. Celem zmian jest utworzenie kwadratu łacińskiego, czyli w każdym wierszu i w każdej kolumnie powinno występować osiem różnych liter – A, B, C, D, E, F, G, H.

Lez_1

Kom

18.08.2016
czwartek

Dobre zmiany

18 sierpnia 2016, czwartek,

Poniższy rodzaj zadania pojawił się przed kilkunastu laty na łamigłówkowych mistrzostwach Polski. Wiele osób określiło go wówczas jako „irytujący”. Dlaczego? O tym za chwilę. Najpierw reguły zabawy, które również można by nazwać irytującymi, a ściślej – irytująco prostymi. To chyba najprostszy pomysł na zadanie oparte na kwadracie łacińskim.

Cyfry nad kolumnami i przed wierszami diagramu oznaczają, ile liter w danym rzędzie należy zmienić na inne tak, aby powstał kwadrat łaciński, czyli aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie występowało siedem różnych liter – A, B, C, D, E, F, G.

Doz_1

A wspomniana irytacja stąd, że zaczyna się łatwo, oznaczając litery kwalifikujące się do zmiany i wpisując w diagram po prawej te, które na pewno pozostaną niezmienione na swoich miejscach. A potem – jak powiedział jeden uczestników mistrzostw – „się głupieje”. Czy rzeczywiście? Na usprawiedliwienie tej opinii wypada dodać, że diagram na mistrzostwach był większy, a zmiany w rzędach liczniejsze.

Kom

12.08.2016
piątek

Bez jednej

12 sierpnia 2016, piątek,

Uprzedzam na wstępie, że tym razem będzie bardziej matematycznie niż łamigłówkowo, a co gorsza – niełatwo.

W Encyklopedii ciągów liczbowych trafiłem na ciąg z gatunku dziwacznych, zaczynający się tak:
100, 105, 108, 110, 120, 121, 130, 132, 135, 140, 143, 150, 154, 160, 165, 170, 176, 180, 187, 190, 192, 195, 198, 200,…
Obejmuje on tzw. gapful numbers, czyli w wolnym tłumaczeniu „liczby szczerbate”. Chodzi o to, że pierwsza i ostatnia cyfra każdej liczby tworzą jej dwucyfrowy dzielnik. Można też tę własność w odniesieniu do początkowego fragmentu, czyli liczb 3-cyfrowych, określić trochę inaczej: jeśli z danej liczby usunąć środkowy „ząbek”, to pozostanie jej dzielnik.
W związku z „ząbkiem” postanowiłem ten egzemplarz nieco zmodyfikować, czyli zaproponować ciąg bliźniaczy, obejmujący liczby zdefiniowane tak:
każda zmienia się w swój dzielnik po usunięciu jednej cyfry z wnętrza (czyli nie pierwszej i nie ostatniej, bo szczerba musi być widoczna między ząbkami).
Początek tego ciągu – nazwijmy go 1-szczerbatym – jest taki, jak szczerbatego, ale od liczb 4-cyfrowych zaczynają się różnice, bo np. 1001 dzieli się przez 11, a przez 101 nie; najmniejsza 1-szczerbata liczba 4-cyfrowa większa od 1000 to 1050=150×7. Ciąg 1-szczerbaty jest więc znacznie rzadszy od szczerbatego (większe odstępy między wyrazami). Na pewno jest nieskończony, bo zawiera wszystkie liczby z dwoma zerami na końcu (usuwane jest przedostatnie zero). Czy liczb zakończonych tylko jednym zerem też jest w nim nieskończenie wiele (podobnie jak zapewne liczb bliźniaczych wśród pierwszych)? – tego nie jestem pewien. Wiem natomiast, że liczby nie kończące się zerem w pewnym momencie się kończą. Jaka jest największa z nich?

Zadanie da się rozwiązać matematycznie „na piechotę”, choć jest trudne, więc ciekaw jestem, czy ktoś sobie z nim poradzi. Oczywiście w konkurencji programistycznej także można startować.

Kom

5.08.2016
piątek

Z silnią

5 sierpnia 2016, piątek,

Teoria liczb jest wprawdzie działem matematyki poważnej, ale mocno związanym z rozrywkami matematycznymi. W gruncie rzeczy jej podwaliny stanowi frapujący i zagadkowy także dla nieprofesjonalistów temat, jakim są liczby pierwsze. W ciągu wieków teoria liczb przygarniała wiele innych zagadnień, debiutujących wcześniej w ramach matematyki rekreacyjnej. Ostatnio do obiektów zdecydowanie rozrywkowych, które się do niej wślizgują, należą tzw. liczby Friedmana.

Najmniejszą liczbą Friedmana i jedyną dwucyfrową jest 25 ponieważ 25=5^2; trzy inne przykłady z uzasadnieniem, czyli działaniem po znaku równości, są następujące: 125=5^(1+2), 126=6*21, 1296=6^((9-1)/2).
Z przykładów nietrudno domyślić się definicji: liczba Friedmana to taka, którą można zapisać w postaci działania, zawierającego tyle samo takich samych cyfr, co w liczbie, dysponując tylko pięcioma działaniami (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie).

Czy 2016 jest liczbą Friedmana? Wiadomo, że nie. A czy byłaby, gdyby dopuścić stosowanie silni? Prawdopodobnie także nie. Zatem ostatecznie zadanie brzmi tak:
Utwórz działanie równe 2016, zawierające cyfry 0, 1, 2, 6 – wyłącznie takie i każdą przynajmniej raz; dozwolone jest stosowanie tylko takich działań, jak w przypadku liczb Friedmana oraz silni (pojedynczej) i nawiasów; ponadto liczby w działaniu mogą być co najwyżej 3-cyfrowe (aby uniknąć trywialnego 2010+6).
Celem nadrzędnym jest utworzenie działania zawierającego najmniej cyfr.

Kom

29.07.2016
piątek

Czystka

29 lipca 2016, piątek,

Zadania szachowe – takie, jak dwu-, trzy- czy wielochodówki – formalnie są łamigłówkami, ale takie określenie, zdaniem szachistów, obniża ich rangę. Natomiast typowe łamigłówki szachowe nie są, w odróżnieniu od zadań, bezpośrednio związane z rozgrywką – korzystają tylko z szachowych rekwizytów i zasad, np. z szachownicy lub sposobów poruszania się bierek. Takie łamigłówki gościły już nieraz w Łamiblogu. Przypomnę jedną z nich w nowej formie, wymyślonej przez amerykańskiego informatyka i łamigłówkarza Dennisa Shashę.

Na szachownicy stoi 7 figur i 2 pionki.

Czy_1

Celem jest prawie zupełne „oczyszczenie” planszy, czyli pozostawienie na niej tylko jednej bierki. Aby do tego doprowadzić, należy w kolejnych ruchach zbijać jednymi bierkami inne. Dozwolone są tylko bicia, a zatem wybitka powinna zakończyć się po ośmiu ruchach wykonywanych jak w grze, na przemian, a więc nie wolno wykonać dwóch kolejnych bić bierkami tego samego koloru. Jaki kolor zaczyna czystkę – to także trzeba ustalić samemu. Rozwiązaniem jest oczywiście zapis ośmiu kolejnych bić.

Kom

22.07.2016
piątek

Do trzech

22 lipca 2016, piątek,

W bieżącym Omnibusie na stronie 31 są trzy zadania pod wspólnym tytułem „Podzielność myślenia”. Każde z nich polega na podzieleniu diagramu wzdłuż linii przerywanych na części (wielokąty) jednakowej wielkości – każda złożona z pięciu kratek (pentomino) – ale o różnym kształcie. W diagram wpisana jest złota myśl, a z tworzącymi ją literami wiąże się dodatkowy warunek dotyczący podziału.
Drugi diagram wygląda tak:

Dot

Podziału na cztery różne pentominowe części należy dokonać w taki sposób, aby w każdej znalazła się inna liczba spółgłosek.
W Omnibusie podane są dwa rozwiązania:
1) NIMPMJAEYOPWRŚTLEWÓM
2) NIMPMAERYOJPWLŚTEWÓM
Tymczasem kilku czytelników poinformowało mnie o trzecim rozwiązaniu. Jakim?

Kom

14.07.2016
czwartek

Minus trzy

14 lipca 2016, czwartek,

W mailach, jakie otrzymuję od rozwiązujących zadania zamieszczone w Omnibusach, najczęściej pojawia się oczywiście to, co najbardziej konkretne, czyli uwagi dotyczące poszczególnych zadań, a zwłaszcza niedoróbek. „Niedoróbka” lub „usterka” jest właściwym słowem, bo zwykle chodzi o to, że jakaś łamigłówka ma więcej niż jedno podane rozwiązanie. W pierwszym tegorocznym, czyli ogólnie dziesiątym Omnibusie, jak dotąd czytelnicy odkryli jeden feler: kilka rozwiązań ma zadanie „Okrągły stół”. Ile? – to pytanie do wszystkich, którzy wakacyjnym Omnibusem dysponują i zmierzą się z zawiłościami informacji podanych na stronie 4.

Muszę też wspomnieć o skromnym gronie wnikliwych osób, które bardzo skrupulatnie rozwiązują, wręcz analizują wszystkie zadania i informują mnie o najmniejszych potknięciach. W tym gronie wyróżnia się Pani Kamila, która nadsyła pełną, drobiazgową „erratę” ze sporym, bo ponadrocznym opóźnieniem. Postanowiłem w związku z tym przypomnieć małe zadanie liczbowe z jednego z poprzednich Omnibusów, którego dodatkowe rozwiązanie odkryła jako jedyna Pani Kamila.

Z błędnej równości należy usunąć trzy znaki (z jednej lub obu stron znaku równości) tak, aby była poprawna. Znakami są liczby i znaki działań. Powstały po usunięciu znaków „luz” w działaniu jest likwidowany. Dostawianie nawiasów wykluczamy.

Przykład:
Mint_1

Zadanie:
Mint_2

Ile jest rozwiązań i jak wyglądają poprawne równości?

Kom

8.07.2016
piątek

Talizmanowo

8 lipca 2016, piątek,

W encyklopedii matematycznej MathWorld znajduje się hasło „sześciokąt talizmanowy” zilustrowane następującym przykładem:

Tal_1

Ogólna matematyczna definicja takiego „zębatego” sześciokąta, stanowiącego fragment siatki heksagonalnej, podana jest w encyklopedii. Przykładowy składa się z 19 pól, w których rozmieszczono liczby od 1 do 19 tak, że – na tym polega jego „talizmanowość” – różnica między liczbami w sąsiednich polach nigdzie nie jest mniejsza od określonej liczby, w tym przypadku od 4.

Talizmanowe sześciokąty wymyślił i nazwał Joseph Madachy, spec od matematyki rekreacyjnej. Przykład pochodzi z jego książki wydanej w roku 1979. Od tego czasu nikt się takimi figurami liczbowymi bliżej nie interesował, więc postanowiłem dołożyć do tematu małą cegiełkę, zamieszczając w czerwcowym Świecie Nauki zadanie, polegające na wypełnieniu 19-polowego sześciokąta liczbami od 1 do 19 tak, aby różnica między liczbami w sąsiednich polach prawie nigdzie nie była mniejsza niż 5. Dopisałem „prawie”, bo początkowo sądziłem, że przykład w MathWorldzie jest ekstremalny i nie sposób go przebić, czyli wszystkich różnic nie mniejszych niż 5 nie idzie uzyskać. Tymczasem ku mojemu zdziwieniu okazało się to możliwe. Czy Państwu też uda się przebić MathWorlda? Nie wiem, na ile całkowicie różnych sposobów da się to zrobić, ale na pewno na więcej niż jeden.

Kom

1.07.2016
piątek

Konsumpcja 2016

1 lipca 2016, piątek,

Tytuł tego wpisu jest zaszyfrowanym dodawaniem:

Kon_1

Pod dziesięcioma różnymi literami ukrywa się dziesięć różnych cyfr.
Jaką 10-cyfrową liczbą wyraża się KONSUMPCJA, jeśli dodawanie jest poprawne, a rozmieszczenie zaszyfrowanych literami cyfr spełnia następujące dodatkowe warunki:
– wszystkie różnice między cyframi w sąsiednich kratkach (mających wspólny bok) są większe od 2;
– tylko dwie z tych różnic są równe 3?

Gdyby sumą był np. rok 2015 albo 2017, to KONSUMPCJA okazałaby się „bezwartościowa”, czyli żadnego rozwiązania by nie było,  niezależnie od warunków dodatkowych. Dlaczego?
Który najbliższy rok zapewnia (bez warunków dodatkowych) obfitą 10-cyfrową KONSUMPCJĘ, czyli rozwiązanie, a właściwie wiele rozwiązań?

Kom

25.06.2016
sobota

Wybory

25 czerwca 2016, sobota,

Do fotela prezydenckiego kandydowało pięć osób – V, W, X, Y, Z. Stawka była bardzo wyrównana. Pięć firm (A, B, C, D, E) przeprowadziło sondaże tuż przed wyborami, a ich wyniki różniły się. W tabeli przedstawiono kolejność kandydatów w poszczególnych sondażach, zgodną z liczbami głosów oddanych na każdego.

Wyb_1

Po wyborach okazało się, że żadna z tych kolejności nie była zgodna z wynikiem wyborów, ale każda pozycja została trafiona w co najmniej jednym sondażu (trafieniem jest wskazanie właściwego kandydata na właściwym miejscu). Ponadto cztery sondaże zawierały tyle samo trafień, a jeden o jedno trafienie mniej.
Jakie były wyniki wyborów, czyli którzy kandydaci znaleźli się na kolejnych miejscach?

Kom

css.php