Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2

23.01.2017
poniedziałek

Marszałek i kardynał

23 stycznia 2017, poniedziałek,

Propozycje „ulepszenia” szachów pojawiają się od bardzo dawna, a pierwsza próba radykalnej zmiany miała miejsce dokładnie 400 lat temu. W roku 1617 włoski duchowny Pietro Carrera powiększył planszę do prostokąta 10×8 oraz dodał dwie figury – mistrza (skoczek + wieża) i centaura (skoczek + goniec). Na kolejne bardzo podobne modyfikacje królewskiej gry trzeba było czekać ponad trzy wieki. Pierwszą zaprezentował w roku 1920 kubański szachista, późniejszy mistrz świata, José Raúl Capablanca, a następnymi sypnęło całkiem niedawno, na przełomie XX i XXI wieku. We wszystkich powiększano szachownicę i dodawano dwie takie same figury jak w szachach Carrery – wieżoskoczka i gońcoskoczka – tylko nazywano je różnie. Obie stanowiły niejako uzupełnienie ortodoksyjnego mieszańca – „wieżogońca”, czyli hetmana.
Bez hojnych sponsorów i medialnego wsparcia żadna z odmian nie ma szans wychynąć z niszy, ale niektórzy szachiści przynajmniej próbują w nie grać lub rozwiązywać problemy. Oto jedno z takich zadań, odnoszące się do wersji na planszy 10×10 opracowanej przed ponad 30 laty przez Holendra Christiana Freelinga.
maik_1
Wieżoskoczka (marszałka – w zapisie skrót M) i gońcoskoczka (kardynała – w zapisie C) łatwo rozpoznać. Problem jest trzychodówką, czyli białe zaczynają i matują czarnego króla – przy najlepszej grze czarnych – w trzecim posunięciu. W jaki sposób? Wystarczy wskazać pierwszy ruch białych, choć oczywiście zapis dalszego wariantowego przebiegu akcji będzie mile widziany.
Zadanie jest trudne, więc na dobry początek różowymi punktami oznaczono wszystkie pola atakowane przed rozpoczęciem akcji przez białe.

Kom

16.01.2017
poniedziałek

Maluch ABC

16 stycznia 2017, poniedziałek,

Zaczynamy od narysowania trójkąta ABC „giganta”. Żeby było elegancko – równobocznego, choć nie jest to konieczne. Następnie dzielimy giganta na mniejsze trójkąty tak, by każde dwa „maluchy” miały albo wspólny bok, albo tylko wierzchołek, albo nie miały nic wspólnego. Inaczej mówiąc, chodzi o to, by bok żadnego malucha nie był częścią boku innego malucha.
Następnie oznaczamy literami A, B, C wszystkie wierzchołki maluchów leżące wewnątrz giganta ABC i na jego bokach. Warunek jest tylko jeden: żaden wierzchołek malucha, znajdujący się na boku x giganta, nie może zostać oznaczony taką samą literą, jaką oznaczony jest wierzchołek giganta leżący naprzeciw boku x.
Efekt końcowy może być na przykład taki:

maabc_1

Dlaczego, mimo sporego luzu w oznaczaniu wierzchołków, wśród maluchów zawsze pojawi się przynajmniej jeden trójkąt ABC? – oto jest pytanie. Innymi słowy: czy ktoś potrafi dowieść (możliwie elegancko), że tak być musi?

Kom

9.01.2017
poniedziałek

Jeszcze 2017

9 stycznia 2017, poniedziałek,

Wszystkie liczby dzielą się na dwie grupy: samorodki i rodki. Liczba S jest samorodkiem, jeśli nie ma takiej liczby, która powiększona o sumę jej cyfr byłaby równa S. Wszystkie pozostałe liczby to rodki. Od samorodków zaczynają się ciągi rodków – każda następna liczba w takim ciągu równa jest sumie poprzedniej i sumy jej cyfr. Ciągi te często się łączą, ponieważ ten sam rodek może pojawiać się w dwóch lub więcej ciągach, zaczynających się od różnych samorodków. Na przykład, samorodki 1 i 7 dają początek dwóm ciągom, które w 107 zlewają się, niczym rzeki bliźniacze, w jeden ciąg:

j_17

Liczba 2017 jest rodkiem, występującym w czterech ciągach. Dwa z nich łączą się przed 2017 w „węźle” 1918 – z tych dwóch jeden zaczyna się samorodkiem 1862:
1862→1879→1904→1918→1937→1957→1979→2005→2012→2017,
a drugi samorodkiem 1895:
1895→1918→… (dalej jak wyżej)
Trzeci ciąg dociera do ciągu będącego połączeniem dwu poprzednich w węźle 2012, a więc tuż przed 2017, a zaczyna się od najmniejszego samorodka równego 1840:
1840→1853→1870→1886→1909→1928→1948→1970→1987→2012→2017.
Czwarty ciąg zaczyna się największym z czterech samorodków, wiodących ku 2017. Jakim?

Kom

2.01.2017
poniedziałek

Czwarta pierwsza

2 stycznia 2017, poniedziałek,

Jeśli dwie liczby pierwsze różnią się o 2, zwane są bliźniaczymi. Gdy różnica wynosi 4, mówimy o parze liczb kuzynowskich (cousin). Jeżeli natomiast para liczb pierwszych różni się o 6, to obie są… sexy. To ostatnie określenie pojawiło się w języku angielskim ze względu na homonimiczną grę słów – niby od łacińskiego sex, czyli sześć, a w gruncie rzeczy z powodu zabawnej dwuznaczności. A zatem zaczął się drugi, większy rok z seksownej pary liczb pierwszych: 2017 oraz 2017-6=2011.

Inną cechą 2017 jako liczby pierwszej jest to, że stanowi ona sumę dwu kwadratów liczb naturalnych tylko na jeden sposób: 9^2+44^2=2017. Osobliwością trudno tę cechę nazwać, bo liczb pierwszych o takiej własności jest sporo – dokładnie 148 przed 2017. Bliższe osobliwościom są natomiast liczby pierwsze, tworzące poniższy ciąg, w którym siedemnastą (sic!) jest właśnie 2017:
19, 37, 73, ?, 163, 181, 271, 307, 433, 631, 811, 1009, 1153, 1171, 1423, 1801, 2017, …
Proszę spróbować ustalić, jaka jest „ciągowa” cecha liczb w tym ciągu (a właściwie dwie cechy) i jaka liczba, zastąpiona znakiem zapytania, zajmuje czwarte miejsce.

Kom

24.12.2016
sobota

Gwiazdkowo

24 grudnia 2016, sobota,

Gwiazdki w łamigłówkach mają niemal zawsze znaczenie formalne, tzn. są tylko znakami, które równie dobrze mogłyby być kółeczkami, krzyżykami itp. Gwiaździstość istotna merytorycznie pojawia się chyba tylko w tzw. gwiazdach magicznych, czyli gdy na liniach tworzących ramiona rozmieszczane są liczby. Spróbowałem sprostać wyzwaniu polegającemu na „umerytorycznieniu„ gwiazd i równoczesnym powiązaniu ich z nadchodzącym nowym rokiem. I wyszło coś takiego:

gwi_1

W pustych polach powinny pojawić się liczby od 1 do 12 (środkowe pole okupuje zero). Liczba w każdej z czterech gwiazdek jest sumą liczb, które powinny znaleźć się w polach, na które wskazują niebieskie ramiona gwiazdki. Ponadto 17 powinna być równa suma trzech liczb w każdym ze wskazanych rzędów.
Na moje oko zadanie jest nieproste, ale do ruszenia bez komputerowego wsparcia. Nie upierałbym się jednak, że rozwiązanie jest tylko jedno.
Zdrowia i spokoju dla wszystkich na Święta i rok nowy.

Kom

19.12.2016
poniedziałek

Wieżowe podchody

19 grudnia 2016, poniedziałek,

Aby być wiernym logu Łamiblogu powinienem od czasu do czasu nawiązywać do szachów. Oczywiście nie ściśle szachowo, bo to nie główny temat blogu, tylko łamigłówkowo. Na szczęście logicznych zadań i problemów z szachowym entourage’em powstało mnóstwo. Jest wśród nich grupa zwana podchodami lub labiryntami. Jedną z takich łamigłówek prezentowałem przed laty tutaj. Pora na kolejną, różniącą się nieco regułami od poprzedniej.

Słowo „podchody” ma kilka znaczeń. Tym razem chodzi o ukradkowe zbliżanie się do kogoś lub czegoś. W poniższym zadaniu ruchy wykonuje tylko biała wieża. Pozycja czarnych jest od początku do końca niezmienna, statyczna. Po żadnym ruchu wieża nie może znaleźć się pod biciem, ale jej ruchy mogą być biciami czarnych figur. Celem wieży jest takie podejście do czarnego króla, by mogła go bezpiecznie zaszachować – i aby zaszachowała. „Bezpiecznie” oznacza, że nie może być natychmiast zbita, a więc jedynym ratunkiem dla zaszachowanego króla byłaby ucieczka, czyli ruch na nieatakowane pole albo zasłona.

pdc_1

I jeszcze jeden istotny warunek: wieżowe podchody powinny składać się z minimalnej liczby ruchów.

12.12.2016
poniedziałek

Powrót LiStów

12 grudnia 2016, poniedziałek,

W zadaniach CDS przed 2 i 3 tygodniami występowały LiczboStrzałki, czyli LiSty. Przed laty w Łamiblogu prezentowałem różne zadania z LiStami – chyba wszystkie, jakie wówczas znałem. W międzyczasie poznałem kilka innych, więc postanowiłem do LiStów powrócić.

Zapewne najciekawsze nowe zadanie LiStowe jest z CDS-ami blisko spokrewnione. Wyróżnia się zgrabną, wieloaspektową logiką, czyli koniecznością wnioskowania z różnych zależności. Jeśli zbytnio skupić się na jednym aspekcie, można na jakimś etapie rozwiązywania dojść do wniosku, że trzeba skorzystać z metody prób i błędów. Tymczasem nie jest to konieczne; wszystkie kroki wiodące do celu to czysta dedukcja (jeżeli …, to …) – wystarczy tylko zmienić aspekt.

Pora na konkrety, czyli instrukcję obsługi.
Do niektórych pól należy wpisać liczby z zakresu podanego nad diagramem. W każdym wierszu i w każdej kolumnie powinna znaleźć się dokładnie raz każda liczba z danego zakresu. W niebieskie pola liczby trzeba wpisać, tworząc LiSty, a każda liczba w Liście powinna oznaczać, na ile liczb wskazuje umieszczona w nim strzałka.

Przykład
pol_11
Zadanie
pol_12
Jako końcowe rozwiązanie wystarczy podać liczbę pustych pól na przekątnych diagramu z liczbami.
Zadanie jest pomysłem znanego japońskiego łamigłówkarza Inaby Naoki’ego. Przy okazji: niedawno została u nas pięknie wydana seria książeczek tego autora, przeznaczonych dla dzieci, dbających o swoje rozumki, pod wspólnym tytułem „Japońskie łamigłówki”.

Kom

7.12.2016
środa

ABCD

7 grudnia 2016, środa,

Mam pytanie: czy zadanie to jest ktoś rozwiązać w stanie?
A ponadto czy ma ono tylko jedno rozwiązanie?

Czterocyfrowa liczba ABCD ma dokładnie BD dzielników, wśród których są A i C (A, B, C i D to cztery różne cyfry).
BD jest tyle razy większe od A, o ile C jest większe od A, czyli BD/A=C-A.
Jaką liczbą jest ABCD?

Kom

28.11.2016
poniedziałek

CDS bis

28 listopada 2016, poniedziałek,

We wpisie z 7 listopada zamieściłem bardzo trudne, wymagające przy rozwiązywaniu nie lada spostrzegawczości, koncentracji i anielskiej cierpliwości, zadanie CDS (Cyfry Do Strzałek). W komentarzach pojawiły się (ku mojemu zdziwieniu) prośby o CDS z większym diagramem. Obiecałem ich spełnienie, czego niniejszym dotrzymuję, ale obawiam się, że ani nie zaspokoję w pełni czekających na bis, bowiem zadanie wydaje się nieco łatwiejsze, ani nie skłonię do zainteresowania łamigłówką większej liczby osób, ponieważ wciąż jest ona na tyle trudna, że pozostaje elitarną.
Dysponuję wprawdzie CDS-ami na diagramach 10×10 i 12×12, ale doszedłem do wniosku, że takie giganty nawet w Łamiblogu byłyby przesadą, więc proponuję tylko o jedno oczko więcej, czyli 8×8.
Gwoli przypomnienia objaśnienie:

Do każdej kratki należy wpisać taką cyfrę – z zakresu od 1 do 7 – aby umieszczona obok niej strzałka wskazywała na tyle różnych cyfr, jaka jest wartość wpisanej cyfry. Cztery cyfry są już na swoich miejscach.

I gwoli jasności mały przykład z odpowiednio mniejszym zakresem cyfr:
CDS_1
CDS_2
W rozwiązaniu wystarczy podać, ile razy w wypełnionym diagramie występują cyfry, z których żadna nie została na początku ujawniona, czyli 2, 6 i 7.

Kom

21.11.2016
poniedziałek

Dzielnikowo

21 listopada 2016, poniedziałek,

Zacząłem się bawić w kogoś w rodzaju korepetytora z matematyki. „Bawić” to chyba dobre określenie, bo zajęcie jest przyjemne, bezpłatne oraz – mam nadzieję, że będzie – pożyteczne. A przy okazji pojawił się temat do Łamibloga.
W zeszycie ćwiczeń dla klasy piątej na stronie 68 znajduje się następujące zadanie:

Z dwóch trójek, jednej jedynki i trzech zer zbuduj po trzy różne liczby:
a) podzielne przez 10
b) podzielne przez 100
c) podzielne przez 1000

Rozumiem to tak: w każdym punkcie – (a), (b) i (c) – należy utworzyć trzy różne liczby, korzystając ze zbioru {3, 3, 1, 0, 0, 0}. Tylko że wówczas w punkcie (a) trzy liczby nie będą różne (10, 30, 30), a w (b) i (c) zabraknie zer. Czyli albo ja źle rozumiem, albo zadanie jest źle sformułowane. Za drugą ewentualnością przemawia też to, że np. trzy liczby utworzone w (c) – zakładając, że się je utworzy – będą pasowały także jako rozwiązania (a) i (b).
Proszę zmienić tekst tego zadania tak, aby zachowując zwięzłość zyskało jednoznaczność.
Właściwie jest to prosta łamigłówka częściowo z polskiego, więc wypada uzupełnić ją czymś trudniejszym całkiem z matematyki:

Znajdź najmniejszą liczbę n, której…
a) dzielniki (niekoniecznie wszystkie) tworzą początek ciągu arytmetycznego, a suma tych dzielników równa jest n;
b) kolejne cyfry także tworzą początek ciągu arytmetycznego.
O początku ciągu arytmetycznego mówimy, gdy dane są jego przynajmniej trzy pierwsze wyrazy, czyli dwie jednakowe różnice; a zatem liczba n powinna być co najmniej 3-cyfrowa.

PS Jeszcze komentarz do komentarzy dotyczących zadania z poprzedniego wpisu.
Otóż indyjska komisja egzaminacyjna preferowała rozwiązania z szóstką zapisaną jako silnia trzech (3!). Ja natomiast wybrałbym do służby także tych, którzy zastosowali zapis całego działania w innym systemie liczbowym.

Kom

css.php