Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2

9.01.2017
poniedziałek

Jeszcze 2017

9 stycznia 2017, poniedziałek,

Wszystkie liczby dzielą się na dwie grupy: samorodki i rodki. Liczba S jest samorodkiem, jeśli nie ma takiej liczby, która powiększona o sumę jej cyfr byłaby równa S. Wszystkie pozostałe liczby to rodki. Od samorodków zaczynają się ciągi rodków – każda następna liczba w takim ciągu równa jest sumie poprzedniej i sumy jej cyfr. Ciągi te często się łączą, ponieważ ten sam rodek może pojawiać się w dwóch lub więcej ciągach, zaczynających się od różnych samorodków. Na przykład, samorodki 1 i 7 dają początek dwóm ciągom, które w 107 zlewają się, niczym rzeki bliźniacze, w jeden ciąg:

j_17

Liczba 2017 jest rodkiem, występującym w czterech ciągach. Dwa z nich łączą się przed 2017 w „węźle” 1918 – z tych dwóch jeden zaczyna się samorodkiem 1862:
1862→1879→1904→1918→1937→1957→1979→2005→2012→2017,
a drugi samorodkiem 1895:
1895→1918→… (dalej jak wyżej)
Trzeci ciąg dociera do ciągu będącego połączeniem dwu poprzednich w węźle 2012, a więc tuż przed 2017, a zaczyna się od najmniejszego samorodka równego 1840:
1840→1853→1870→1886→1909→1928→1948→1970→1987→2012→2017.
Czwarty ciąg zaczyna się największym z czterech samorodków, wiodących ku 2017. Jakim?

Kom

2.01.2017
poniedziałek

Czwarta pierwsza

2 stycznia 2017, poniedziałek,

Jeśli dwie liczby pierwsze różnią się o 2, zwane są bliźniaczymi. Gdy różnica wynosi 4, mówimy o parze liczb kuzynowskich (cousin). Jeżeli natomiast para liczb pierwszych różni się o 6, to obie są… sexy. To ostatnie określenie pojawiło się w języku angielskim ze względu na homonimiczną grę słów – niby od łacińskiego sex, czyli sześć, a w gruncie rzeczy z powodu zabawnej dwuznaczności. A zatem zaczął się drugi, większy rok z seksownej pary liczb pierwszych: 2017 oraz 2017-6=2011.

Inną cechą 2017 jako liczby pierwszej jest to, że stanowi ona sumę dwu kwadratów liczb naturalnych tylko na jeden sposób: 9^2+44^2=2017. Osobliwością trudno tę cechę nazwać, bo liczb pierwszych o takiej własności jest sporo – dokładnie 148 przed 2017. Bliższe osobliwościom są natomiast liczby pierwsze, tworzące poniższy ciąg, w którym siedemnastą (sic!) jest właśnie 2017:
19, 37, 73, ?, 163, 181, 271, 307, 433, 631, 811, 1009, 1153, 1171, 1423, 1801, 2017, …
Proszę spróbować ustalić, jaka jest „ciągowa” cecha liczb w tym ciągu (a właściwie dwie cechy) i jaka liczba, zastąpiona znakiem zapytania, zajmuje czwarte miejsce.

Kom

24.12.2016
sobota

Gwiazdkowo

24 grudnia 2016, sobota,

Gwiazdki w łamigłówkach mają niemal zawsze znaczenie formalne, tzn. są tylko znakami, które równie dobrze mogłyby być kółeczkami, krzyżykami itp. Gwiaździstość istotna merytorycznie pojawia się chyba tylko w tzw. gwiazdach magicznych, czyli gdy na liniach tworzących ramiona rozmieszczane są liczby. Spróbowałem sprostać wyzwaniu polegającemu na „umerytorycznieniu„ gwiazd i równoczesnym powiązaniu ich z nadchodzącym nowym rokiem. I wyszło coś takiego:

gwi_1

W pustych polach powinny pojawić się liczby od 1 do 12 (środkowe pole okupuje zero). Liczba w każdej z czterech gwiazdek jest sumą liczb, które powinny znaleźć się w polach, na które wskazują niebieskie ramiona gwiazdki. Ponadto 17 powinna być równa suma trzech liczb w każdym ze wskazanych rzędów.
Na moje oko zadanie jest nieproste, ale do ruszenia bez komputerowego wsparcia. Nie upierałbym się jednak, że rozwiązanie jest tylko jedno.
Zdrowia i spokoju dla wszystkich na Święta i rok nowy.

Kom

19.12.2016
poniedziałek

Wieżowe podchody

19 grudnia 2016, poniedziałek,

Aby być wiernym logu Łamiblogu powinienem od czasu do czasu nawiązywać do szachów. Oczywiście nie ściśle szachowo, bo to nie główny temat blogu, tylko łamigłówkowo. Na szczęście logicznych zadań i problemów z szachowym entourage’em powstało mnóstwo. Jest wśród nich grupa zwana podchodami lub labiryntami. Jedną z takich łamigłówek prezentowałem przed laty tutaj. Pora na kolejną, różniącą się nieco regułami od poprzedniej.

Słowo „podchody” ma kilka znaczeń. Tym razem chodzi o ukradkowe zbliżanie się do kogoś lub czegoś. W poniższym zadaniu ruchy wykonuje tylko biała wieża. Pozycja czarnych jest od początku do końca niezmienna, statyczna. Po żadnym ruchu wieża nie może znaleźć się pod biciem, ale jej ruchy mogą być biciami czarnych figur. Celem wieży jest takie podejście do czarnego króla, by mogła go bezpiecznie zaszachować – i aby zaszachowała. „Bezpiecznie” oznacza, że nie może być natychmiast zbita, a więc jedynym ratunkiem dla zaszachowanego króla byłaby ucieczka, czyli ruch na nieatakowane pole albo zasłona.

pdc_1

I jeszcze jeden istotny warunek: wieżowe podchody powinny składać się z minimalnej liczby ruchów.

12.12.2016
poniedziałek

Powrót LiStów

12 grudnia 2016, poniedziałek,

W zadaniach CDS przed 2 i 3 tygodniami występowały LiczboStrzałki, czyli LiSty. Przed laty w Łamiblogu prezentowałem różne zadania z LiStami – chyba wszystkie, jakie wówczas znałem. W międzyczasie poznałem kilka innych, więc postanowiłem do LiStów powrócić.

Zapewne najciekawsze nowe zadanie LiStowe jest z CDS-ami blisko spokrewnione. Wyróżnia się zgrabną, wieloaspektową logiką, czyli koniecznością wnioskowania z różnych zależności. Jeśli zbytnio skupić się na jednym aspekcie, można na jakimś etapie rozwiązywania dojść do wniosku, że trzeba skorzystać z metody prób i błędów. Tymczasem nie jest to konieczne; wszystkie kroki wiodące do celu to czysta dedukcja (jeżeli …, to …) – wystarczy tylko zmienić aspekt.

Pora na konkrety, czyli instrukcję obsługi.
Do niektórych pól należy wpisać liczby z zakresu podanego nad diagramem. W każdym wierszu i w każdej kolumnie powinna znaleźć się dokładnie raz każda liczba z danego zakresu. W niebieskie pola liczby trzeba wpisać, tworząc LiSty, a każda liczba w Liście powinna oznaczać, na ile liczb wskazuje umieszczona w nim strzałka.

Przykład
pol_11
Zadanie
pol_12
Jako końcowe rozwiązanie wystarczy podać liczbę pustych pól na przekątnych diagramu z liczbami.
Zadanie jest pomysłem znanego japońskiego łamigłówkarza Inaby Naoki’ego. Przy okazji: niedawno została u nas pięknie wydana seria książeczek tego autora, przeznaczonych dla dzieci, dbających o swoje rozumki, pod wspólnym tytułem „Japońskie łamigłówki”.

Kom

7.12.2016
środa

ABCD

7 grudnia 2016, środa,

Mam pytanie: czy zadanie to jest ktoś rozwiązać w stanie?
A ponadto czy ma ono tylko jedno rozwiązanie?

Czterocyfrowa liczba ABCD ma dokładnie BD dzielników, wśród których są A i C (A, B, C i D to cztery różne cyfry).
BD jest tyle razy większe od A, o ile C jest większe od A, czyli BD/A=C-A.
Jaką liczbą jest ABCD?

Kom

28.11.2016
poniedziałek

CDS bis

28 listopada 2016, poniedziałek,

We wpisie z 7 listopada zamieściłem bardzo trudne, wymagające przy rozwiązywaniu nie lada spostrzegawczości, koncentracji i anielskiej cierpliwości, zadanie CDS (Cyfry Do Strzałek). W komentarzach pojawiły się (ku mojemu zdziwieniu) prośby o CDS z większym diagramem. Obiecałem ich spełnienie, czego niniejszym dotrzymuję, ale obawiam się, że ani nie zaspokoję w pełni czekających na bis, bowiem zadanie wydaje się nieco łatwiejsze, ani nie skłonię do zainteresowania łamigłówką większej liczby osób, ponieważ wciąż jest ona na tyle trudna, że pozostaje elitarną.
Dysponuję wprawdzie CDS-ami na diagramach 10×10 i 12×12, ale doszedłem do wniosku, że takie giganty nawet w Łamiblogu byłyby przesadą, więc proponuję tylko o jedno oczko więcej, czyli 8×8.
Gwoli przypomnienia objaśnienie:

Do każdej kratki należy wpisać taką cyfrę – z zakresu od 1 do 7 – aby umieszczona obok niej strzałka wskazywała na tyle różnych cyfr, jaka jest wartość wpisanej cyfry. Cztery cyfry są już na swoich miejscach.

I gwoli jasności mały przykład z odpowiednio mniejszym zakresem cyfr:
CDS_1
CDS_2
W rozwiązaniu wystarczy podać, ile razy w wypełnionym diagramie występują cyfry, z których żadna nie została na początku ujawniona, czyli 2, 6 i 7.

Kom

21.11.2016
poniedziałek

Dzielnikowo

21 listopada 2016, poniedziałek,

Zacząłem się bawić w kogoś w rodzaju korepetytora z matematyki. „Bawić” to chyba dobre określenie, bo zajęcie jest przyjemne, bezpłatne oraz – mam nadzieję, że będzie – pożyteczne. A przy okazji pojawił się temat do Łamibloga.
W zeszycie ćwiczeń dla klasy piątej na stronie 68 znajduje się następujące zadanie:

Z dwóch trójek, jednej jedynki i trzech zer zbuduj po trzy różne liczby:
a) podzielne przez 10
b) podzielne przez 100
c) podzielne przez 1000

Rozumiem to tak: w każdym punkcie – (a), (b) i (c) – należy utworzyć trzy różne liczby, korzystając ze zbioru {3, 3, 1, 0, 0, 0}. Tylko że wówczas w punkcie (a) trzy liczby nie będą różne (10, 30, 30), a w (b) i (c) zabraknie zer. Czyli albo ja źle rozumiem, albo zadanie jest źle sformułowane. Za drugą ewentualnością przemawia też to, że np. trzy liczby utworzone w (c) – zakładając, że się je utworzy – będą pasowały także jako rozwiązania (a) i (b).
Proszę zmienić tekst tego zadania tak, aby zachowując zwięzłość zyskało jednoznaczność.
Właściwie jest to prosta łamigłówka częściowo z polskiego, więc wypada uzupełnić ją czymś trudniejszym całkiem z matematyki:

Znajdź najmniejszą liczbę n, której…
a) dzielniki (niekoniecznie wszystkie) tworzą początek ciągu arytmetycznego, a suma tych dzielników równa jest n;
b) kolejne cyfry także tworzą początek ciągu arytmetycznego.
O początku ciągu arytmetycznego mówimy, gdy dane są jego przynajmniej trzy pierwsze wyrazy, czyli dwie jednakowe różnice; a zatem liczba n powinna być co najmniej 3-cyfrowa.

PS Jeszcze komentarz do komentarzy dotyczących zadania z poprzedniego wpisu.
Otóż indyjska komisja egzaminacyjna preferowała rozwiązania z szóstką zapisaną jako silnia trzech (3!). Ja natomiast wybrałbym do służby także tych, którzy zastosowali zapis całego działania w innym systemie liczbowym.

Kom

14.11.2016
poniedziałek

Służba za kratki

14 listopada 2016, poniedziałek,

Zadanie ze sprzężeniem zwrotnym z poprzedniego wpisu było benedyktyńskie, żeby nie powiedzieć katorżnicze. Logiczne na początku i momentami na dalszych etapach rozwiązywania, ale jednak decydujące znaczenie miał wybór właściwej drogi na pojawiających się przynajmniej kilka razy rozstajach. Zwłaszcza że, jak zauważył Andrzej 111, trudno było dokonywać tego wyboru „mądrze”.
Przegląd zadań z feedbackiem postanowiłem zawiesić, ale nie z powodu ich żmudności (dlaczego „żmudność” podkreśla się na czerwono?), tylko ze względu na refleksję, że to, co nazywam w tym przypadku feedbackiem, nie odpowiada ściśle znaczeniu tego słowa. Jeden ze znajomych zwrócił mi uwagę, że rozwiązywanie „Strzałek…” z poprzedniego wpisu bliższe jest reakcji łańcuchowej niż feedbackowi. I coś w tym jest. Zatem tym razem zamiast sprzężenia zwrotnego będzie sprzężenie ze służbą cywilną.

W niektórych krajach praca w służbie cywilnej wymaga nie tylko spełnienia określonych warunków, ale także przejścia przez sito egzaminacyjne. Sito jest zapewne najgęstsze w Indiach – przechodzi przez nie mniej niż pół procenta kandydatów, a wśród pytań egzaminacyjnych trafiają się pozornie proste zadania matematyczne. Na przykład takie:

W kratki należy wstawić liczby tak, aby działanie było poprawne:
Szk_1
Dozwolone jest korzystanie tylko z liczb: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, które mogą się powtarzać.

Gdyby napisali Państwo, że zadanie nie ma rozwiązania, bo suma trzech liczb nieparzystych nie może być parzysta, to z pracą w indyjskiej służbie cywilnej trzeba by się pożegnać. Szanse niewielkie – ale jednak – mieliby Ci, którzy odwracając dziewiątkę utworzyliby np. działanie 6+11+13=30. Na uznanie komisji egzaminacyjnej mogły natomiast liczyć osoby, które wykorzystały jakiś inny kruczek (i wiedzę matematyczną), wiążący się z nie dość precyzyjnym sformułowaniem zadania, i zgodnie z poleceniem „należy” wypełniły kratki liczbami. Proszę spróbować zostać indyjskim „służbistą” cywilnym.
Nadsyłanych propozycji nie będę uwalniał przedwcześnie, aby nie zniechęcać do prób.

Kom

7.11.2016
poniedziałek

Feedback

7 listopada 2016, poniedziałek,

Od dawna przymierzam się, aby pozbierać łamigłówki, w których występuje sprzężenie zwrotne. Chodzi oczywiście o rodzaje, a nie konkretne zadania. Kiedyś wydawało mi się, że zbiorek będzie dość pokaźny, jak na tak nietypowy temat – powiedzmy kilkanaście sztuk. Potem, błądząc po aktualiach i archiwach, doszedłem do wniosku, że wręcz przeciwnie – zbierze się tylko kilka eksponatów i niemal wszystkie oparte na podobnej zasadzie, dotyczącej zależności między liczbami, jako elementami zbioru, a ich wartościami.

Zadania z feedbackiem są pomysłem stosunkowo nowym. Prawdopodobnie pierwszymi były tzw. liczbowe samozdania (self-referential sentences), zwane także autogramami, które polegały na uzupełnianiu zdań liczebnikami, a pojawiły się na łamach Scientific American w rubryce Metamagical Themas Douglasa Hofstadtera na początku lat 80. ub. wieku. Są one nieco ciekawsze w językach fleksyjnych, a więc głównie w polskim, bo uzupełniając liczebnikami np. poniższe zdanie trzeba pamiętać, aby było ono nie tylko prawdziwe, ale także poprawne gramatycznie:

W TYM ZDANIU JEST _______ LITER T, _______ LITERY Ś ORAZ _______ LITER I.

Sztandarowa łamigłówka ze sprzężeniem zwrotnym debiutowała w roku 1995 w japońskim magazynie Puzzler i była przez wiele lat jednym z dań firmowych tego pisma. Mimo oryginalnego, znakomitego pomysłu nie wypłynęła na szersze wody, bo należy z natury – jak zresztą wszystkie zadania ze sprzężeniem zwrotnym – do twardych orzechów. W Polsce nosi nazwę „Cyfry do strzałek”, na świecie debiutowała jako „Number Pointers”, ale pojawia się także pod innymi nazwami, np. „Japanese Arrows”. Przed wielu laty gościła w Łamiblogu (chyba nawet dwukrotnie), ale skoro szykuję mały przegląd zadań z feedbackiem, postanowiłem ją przypomnieć.

Instrukcja jest krótka i zakręcona:

do każdej kratki należy wpisać taką cyfrę X – z zakresu od 1 do 6 – aby strzałka w danej kratce wskazywała na tyle różnych cyfr, jaka jest wartość cyfry X. Na dobry początek jedna cyfra jest już na swoim miejscu.

W małym przykładzie zakres cyfr jest oczywiście odpowiednio mniejszy.

Przykład
Fi_1
Fee_2
Zadanie jest ekstremalnie trudnym sprawdzianem logicznego myślenia, koncentracji i wytrwałości. Wypadałoby je opatrzyć ostrzeżeniem: do rozwiązywania na własną odpowiedzialność. Na okoliczność ewentualnych uwag, dotyczących sposobu lub toku rozwiązywania, wiersze i kolumny diagramu oznaczone są literami. Moim zdaniem na początku rozwiązywania udaje się po krótkich „bólach” ustalić cały jeden rząd. Który?
Jeśli mimo wszystko komuś uda się dotrzeć do finału, wystarczy, jeśli poda, ile razy w diagramie występują cyfry 3 i 4. Mile widziane będą także informacje o czasie rozwiązywania.

Kom

css.php