Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2

9.01.2017
poniedziałek

Jeszcze 2017

9 stycznia 2017, poniedziałek,

Wszystkie liczby dzielą się na dwie grupy: samorodki i rodki. Liczba S jest samorodkiem, jeśli nie ma takiej liczby, która powiększona o sumę jej cyfr byłaby równa S. Wszystkie pozostałe liczby to rodki. Od samorodków zaczynają się ciągi rodków – każda następna liczba w takim ciągu równa jest sumie poprzedniej i sumy jej cyfr. Ciągi te często się łączą, ponieważ ten sam rodek może pojawiać się w dwóch lub więcej ciągach, zaczynających się od różnych samorodków. Na przykład, samorodki 1 i 7 dają początek dwóm ciągom, które w 107 zlewają się, niczym rzeki bliźniacze, w jeden ciąg:

j_17

Liczba 2017 jest rodkiem, występującym w czterech ciągach. Dwa z nich łączą się przed 2017 w „węźle” 1918 – z tych dwóch jeden zaczyna się samorodkiem 1862:
1862→1879→1904→1918→1937→1957→1979→2005→2012→2017,
a drugi samorodkiem 1895:
1895→1918→… (dalej jak wyżej)
Trzeci ciąg dociera do ciągu będącego połączeniem dwu poprzednich w węźle 2012, a więc tuż przed 2017, a zaczyna się od najmniejszego samorodka równego 1840:
1840→1853→1870→1886→1909→1928→1948→1970→1987→2012→2017.
Czwarty ciąg zaczyna się największym z czterech samorodków, wiodących ku 2017. Jakim?

Kom

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 29

Dodaj komentarz »
  1. 1952 -> 1969 -> 1994 -> 2017

  2. Poszukiwany samorodek to 1952.

  3. Brakujący samorodek to 1952.
    1952->1969->1994->2017

  4. Reklama
    Polityka_blog_komentarze_rec_mobile
    Polityka_blog_komentarze_rec_desktop
  5. 1952 – 1969 – 1994 – 2017

  6. 1952 => 1969 => 1994 => 2017

    Sposób rozwiązywania: wrzucamy do wora 2017 i przechodzimy do N=2016. Sprawdzamy, co urodzi N i jeśli to liczba z worka, to ją tam dorzucamy. Liczby z worka, które jeszcze nie zostały urodzone przez kolejne N, są potencjalnymi samorodkami. Pomniejszamy N o 1 i ponawiamy rodzenie i workowanie. I tak aż do momentu, gdy N będzie odpowiednio mniejsze od największego potencjalnego samorodka (wystarczy różnica 28 dla 1999 i mniejszych). W tym momencie nabieramy pewności.

    I tak kolejno wrzucamy do worka:
    2017
    2012 => 2017
    2005 => 2012
    1994 => 2017
    1987 => 2012
    1979 => 2005
    1970 => 1987
    1969 => 1994
    1957 => 1979
    1948 => 1970
    1952 => 1969
    1937 => 1957
    1928 => 1948
    Przy 1924 stop. Ostatnie trzy liczby były podejrzane, a 1952 się przyznała.

  7. Wychodzi na to, że jest 1952-1969-1994-2017.

  8. 1952 -> 1969 -> 1994 -> 2017

  9. Dla tych co zrobili zadanie domowe proponuję zadanie dodatkowe 🙂
    Dwóch graczy gra w Chińczyka ale DWOMA kostkami. Każdy z graczy ma dwa piony ustawione w następujący sposób:
    ……1XX22X1XXXXXXXXXX…..
    1-pion pierwszego gracza
    2-pion drugiego gracza
    X-wolne pole
    Gracz 2 wyrzucił właśnie 4 oczka.
    Którym pionem powinien wykonać ruch gracz 2 aby gracz 1 miał mniejszą szansę zbicia któregoś z jego pionów w kolejnym swoim ruchu ?

  10. 1952

    @Spytko
    Jeśli się ruszy pierwszym z dwóch pionków to gracz 1 będzie mógł zbić tylko jak wyrzuci 4 albo 7 (szansa jak 9 z 36). A jak ruszy się drugim pionkiem to zbity może być przy wynikach 2, 3, 8 (szansa jak 8 z 36), czyli powinien się ruszyć drugim.

  11. 1XXX2X12XXXXXXXXX [4] [7] [1]
    9 możliwości:
    1+3, 3+1, 2+2, 1+6, 6+1, 2+5, 5+2, 3+4, 4+3

    1XX2XX1X2XXXXXXXX [3] [8] [2]
    8 możliwości:
    1+2, 2+1, 2+6, 6+2, 3+5, 5+3, 4+4, 1+1

    Lepiej ruszyć pionem stojącym dalej.
    Jeśli dobrze zrozumiałam zadanie 🙂

  12. Zadanie @Spytka:
    Chyba to dobrze obliczyliście. Ja postanowiłem nie liczyć, tylko spontanicznie wykonać ruch tak jakbym naprawdę grał. Byłbym skłonny ruszyć pionek pierwszy, ponieważ będzie on wtedy dalej i bliżej domku. To może skompensować tę niewielką różnicę 1/36.

  13. Wiktor10p.
    Liczba 2005-2012-2017. Liczba 2005 jest samorodkiem .

  14. @aps1968
    Obliczenia czwartexa i OliGM są dobre. Pytanie dotyczyło TYLKO jednej kolejki ruchów.
    Ale masz rację, całościowa strategia Chińczyka musi znajdować złoty środek między:
    a) pogonią do przodu wszystkimi pionami jak najrównomierniej a
    b) pozostawaniem za pionami przeciwnika w odległości dla których p-wo trafienia jest jak największe i
    c) pozostawaniem przed pionami przeciwnika w odległościach dających jak najmniejsze p-wo trafienia
    Myślę, że Chińczyk 2-kostkowy jest dużo ciekawszy od 1-kostkowego.
    Ważną sprawą jest też dobór ilości pól planszy dla odpowiednio 2, 3, 4,….graczy.

  15. @chińczyk
    A co z dodatkowym ruchem po 6-tce lub wprowadzeniem kolejnego pionka? Trochę to zmienia bo dopuszczalne są ruchy typu: 6+4 (z wyprowadzeniem) lub znikają wszystkie dwuelementowe układy z 6-ką i pojawiają się ruch typu 5+2+1, 6+1+1 (w sytuacji dodatkowego ruchu).
    @Wiktor10p
    1895-1918-1937-1957-1979-2005
    1862-1879-1904-1918-1937-1957-1979-2005

  16. @Wiktor10p
    Liczba 2005 nie jest samorodkiem, ponieważ 1979+1+9+7+9=2005

  17. To ja również dorzucę zadanie z kostkami:

    Należy spreparować trzy kości do gry (ozn. A, B i C), tzn. dobrać wartości na każdej z sześciu ścian tych kości, tak aby:
    WIN(A,B) > 0.5
    WIN(B,C) > 0.5
    WIN(C,A) > 0.5,
    gdzie WIN(X,Y) oznacza prawdopodobieństwo, że w jednokrotnym rzucie kośćmi X i Y na kości X wypadło więcej, niż na kości Y.

    Mówiąc nieformalnie: kość A ma być lepsza od kości B, kość B lepsza od C oraz C lepsza od A.

  18. 1952-1969-1994-2017

  19. @timon
    Wydaje mi się, że jeśli rzucamy dwiema kostkami, to sprawa z powtórnym ruchem po szóstce staje się nieaktualna. Bo jak to rozumieć: że raz wypada 6? Że dwa razy wypada 6? Że w sumie wypada 6, np. 3+3? A może rzucamy najpierw i jak wypada 6 to potem jeszcze nie raz tylko 2 razy? Itd? Najprędzej chyba wariant „12”, czyli 6+6. Ale to już @Spytko ustala reguły.

  20. @miodziu
    Moja propozycja:
    A => 1, 4, 4, 4, 4, 4
    B => 3, 3, 3, 3, 5, 7
    C => 2, 2, 2, 6, 6, 6

    Żeby uniknąć sporów w przypadku wyrzucenia równej liczby oczek, rozłożyłem je tak, żeby to nie było możliwe.
    Jest wiele układów spełniających warunki zadania, więc można je jeszcze doprecyzować tak: przeciwnik jako pierwszy wybiera kostkę. Dobrać wartości tak, aby zmaksymalizować szansę na wygraną (zakładając optymalną grę przeciwnika). Czyli zmaksymalizować MIN (WIN (A, B), WIN (B, C), WIN (C, A)).
    U mnie ta wartość wynosi 5/9. Kto da więcej?

    https://dotnetfiddle.net/Widget/ouLp30

  21. Wiktor10p
    OlaGM. Przepraszam za moje niedopatrzenie. Liczba 1952 jest samorodkiem i rozwiązaniem. Pozdrawiam.

  22. @zadania dodatkowe
    Nie wziąłem powtórnego ruchu po”szóstce” pod uwagę.
    Rzeczywiście trzeba by było najpierw skonkretyzować co znaczy „wyrzucić szóstkę”. Rachunki byłyby nieco bardziej rozbudowane ale do zrobienia.
    W ten sposób otwarło się szerokie pole do kombinacji 🙂 ale myślę, że na tym poprzestaniemy bo weszlibyśmy w zawiłości rachunkowe a chodziło mi tylko o zasygnalizowanie tematu 😉

    Zadanie Miodzia świetne !!!
    Od razu się nasuwa, że liczby na różnych kościach powinny tworzyć zbiory rozłączne bo wtedy trudniej o remisy i trudniej osiągnąć >.5
    Zacząłem szukać kości 3-ściennych i bardzo łatwo ręcznie znalazłem rozwiązanie
    A – 1, 5, 9
    B – 2, 6, 7
    C – 3, 4, 8
    A wygrywa z C
    C wygrywa z B
    B wygrywa z A
    Teraz wystarczy na każdej kości zdublować dany układ i gotowe.
    Takich kombinacji jest pewnie więcej ale nie sprawdzałem komputerem.
    Dla kości 2-ściennej (czyli monety) łatwo pokazać niewykonalność tego zadania.

  23. @Miodziu
    kostka A: 1,1,4,4,4,4
    kostka B: 2,2,2,2,5,5
    kostka C: 3,3,3,3,3,6

  24. Przy preparowaniu trzech kości da się osiągnąć wszystkie współczynniki WIN = 21/36, np. tak:

    A: 2,5,5,5,5,5
    B: 1,4,4,4,7,7
    C: 3,3,3,6,6,6

    Zadanie można rozszerzyć na 4, 5, 6, … kostek ułożonych w cykl (sprawdzałem komputerem dla max 8 kości – rozwiązania istnieją – proponuję spróbować znaleźć jakieś ręcznie).

    I kolejna wersja: przygotować 2n+1 kości tak, aby każda kość była lepsza od dokładnie n innych kości oraz gorsza od dokładnie n innych kości. Warto zauważyć, że dla n=1 otrzymujemy oryginalne zadanie 🙂

  25. 1952?

  26. Wracając do ciągów rodków, zastanawiam się, czy byłoby tak, że każde dwa ciągi od różnych samorodków kiedyś się spotkają. A jeśli nie, to czy istnieje sposób na zidentyfikowanie na podstawie iluś tam początkowych wyrazów, że nie, te dwa na pewno się nie spotkają.

    Ciekawy problem. Nie znam odpowiedzi.
    mp

  27. @aps1968
    Wydaje mi się samorodek podzielny przez 9 i samorodek niepodzielny przez 9 generują ciągi, które się nie zbiegną.

    Brawo Pani Olu! Istotnie, jeśli samorodek jest wielokrotnością 9, to wszystko co „rodzi” też jest podzielne przez 9. I odwrotnie – samorodek rodka podzielnego przez 9 musi być podzielny przez 9. Zatem żaden samorodek niepodzielny przez 9 nie wygeneruje rodka podzielnego przez 9.
    mp

  28. Podobnie jest dla samorodków podzielnych przez 3, a niepodzielnych przez 9 – również stanowią osobną grupę.

    Eksperymentalnie sprawdziłem, że do miliona wszystkie ciągi dołączają do jednego z trzech wywodzących się od 1, 3 lub 9. Czasem są długie okresy niezależności (80219 zbiega się z 1 w 101108). Każde przekroczenie okrągłej liczby powoduje rzeź w dotychczas rozłącznych ciągach. Im bardziej okrągła granica, tym większa rzeź (100 jest bardziej okrągłe, niż 200, 1000 bardziej, niż 900).

    Super! Teoria rodków w rozkwicie 🙂
    mp

  29. @OlaGM, @y-b
    Dziękuję i również gratuluję. Nie ma to jak postawić dobre pytanie 🙂
    Oczywiście na sytuację ma wpływ, że poruszamy się w systemie dziesiętnym. W systemie np. 9-tkowym byłoby 1-2-4-8-17-26, co się tłumaczy w dziesiętnym jako 1-2-4-8-16-24, od tego momentu dla samorodka 1 inaczej niż podano wyżej w przykładzie. Tutaj by nie działała taka cecha podzielności jak to jest w przypadku podzielności przez 9 w systemie dziesiętnym.
    Ponieważ być może było to już ostatnie zadanie na liczbę 2017, chciałbym się pochwalić, że rozwiązałem problem z Omnibusa Zimowego:
    1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 2017
    Trzeba wstawić po lewej stronie pomiędzy dwie cyfry jeden z czterech znaków działań, a jak nie wstawimy, to liczba się skleja, np. 45 albo 789. Pomiędzy, a więc zabroniony jest „-” przed jedynką. Oczywiście żadnych przecinków, silni, itp, żadnych nawiasów – trzeba pilnować kolejności działań.

    Uściślę: Nie tyle „trzeba wstawić pomiędzy dwie cyfry”, co „można wstawić między każde dwie cyfry”, a trzeba między niektóre – tak, aby wynik się zgadzał. Byłbym zaskoczony, gdyby znalezione rozwiązanie było inne, niż podane w Omnibusie.
    mp

  30. Niestety, aż tak to nie zaskoczę 🙂

css.php