Hetmania

Na szachownicy n×n należy rozstawić k hetmanów tak, aby każdy atakował inną liczbę wolnych pól od 0 do k-1, przy czym k powinno być jak największe. Pomijając trywialny przypadek „szachownicy” 1×1, najmniejszą, na której zadanie ma rozwiązanie, jest plansza 3×3:

Het_1

Rozwiązanie na takiej mini-szachownicy jest ekstremalne, tzn. jeden z hetmanów atakuje wszystkie wolne pola (4), a więc k=(n^2+1)/2. Dla planszy 4×4 (chyba) i dla większych plansz (na pewno) takie ekstremalne rozwiązania nie istnieją.
Zadanie zamieszczone we wrześniowym Świecie Nauki dotyczyło konkretnego przypadku – szachownicy 5×5. Jeden z czytelników zaskoczył mnie stwierdzeniem, że zadanie jest niewykonalne, co wsparł dowodem wspomaganym komputerowo. W rzeczywistości jest dokładnie odwrotnie – zadanie ma więcej niż jedno rozwiązanie. Oto jedno z nich.

Het_2

Kto znajdzie całkiem inne rozwiązanie z 11 hetmanami (12 na pewno nie da się ustawić)? „Całkiem” oznacza, że wykluczamy obroty i odbicia, ale wystarczy, aby jeden hetman był umieszczony gdzie indziej (tak mała zmiana nie jest jednak możliwa). Niezmienna pozostać musi narożna pozycja „zerowego” hetmana i trzech, tworzących jego obstawę.

Kom