Polityka_blog_top_bill_desktop
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot1
Polityka_blog_top_bill_mobile_Adslot2

13.06.2016
poniedziałek

Dowodzik

13 czerwca 2016, poniedziałek,

Słowo „przedostatni” jest powszechnie znane. Przymiotnika „przedpierwszy” w słownikach nie ma, ale utworzony jest poprawnie i nietrudno o przypadki, w których mógłby mieć sens. Gdyby na przykład okazało się, że pewien znany od dawna zbiór reguł, zaczynający się od jakiejś najważniejszej pierwszej reguły, zasługuje na uzupełnienie regułą ważniejszą, niż ta pierwsza, to można by tę nową regułę nazwać przedpierwszą.

Równie, jeśli nie bardziej przekonujące byłoby użycie tego słowa w matematyce w odniesieniu do liczb bezpośrednio poprzedzających w ciągu liczb naturalnych liczby pierwsze. Wspominam o tym, ponieważ rok bieżący oznaczony jest właśnie liczbą przedpierwszą, czyli 2016 poprzedza liczbę pierwszą 2017. Liczby przedpierwsze – oznaczmy je jako Q – mają ciekawą, choć nieco zakręconą własność:

żadne x i y (całkowite dodatnie) nie spełniają równania xy+x+y=Q

Proszę o prosty, krótki i elegancki dowód tej własności liczb przedpierwszych.

Kom

Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_mobile
Reklama
Polityka_blog_bottom_rec_desktop

Komentarze: 36

Dodaj komentarz »
  1. x, y – całkowite dodanie, czyli x, y > 0, czyli x, y >= 1

    xy + x + y = xy + x + y + 1 – 1 = (x+1)(y+1) – 1

    Gdyby xy + x + y = Q, to (x+1)(y+1) = Q+1, a Q+1 z definicji liczb przedpierwszych jest liczbą pierwszą, ma jednak przynajmniej trzy różne dzielniki: 1 < x+1 < (x+1)(y+1). Sprzeczność 🙂

  2. Jeśli Q = P – 1 (P liczba pierwsza)
    to:
    xy + x + y = P – 1
    x (y+1) + y + 1 = P
    (x+1) (y+1) = P
    co oczywiście nie jest zgodne z definicją liczby pierwszej

    Uwaga: 1 nie jest liczbą pierwszą – gdyby była można by dyskutować o dodatności zera 🙂

  3. Jeśli liczba xy+x+y ma być liczbą przedpierwszą, to xy+x+y+1 musiałaby być liczbą pierwszą.
    xy+x+y+1 = x(y+1)+y+1 = (y+1)(x+1). Mamy więc dwa dzielniki tej liczby różne od 1 i od tejże liczby, jest to więc liczba złożona.

  4. Reklama
    Polityka_blog_komentarze_rec_mobile
    Polityka_blog_komentarze_rec_desktop
  5. Gdyby xy + x + y było liczbą przedpierwszą, to xy + x + y + 1 byłoby liczbą pierwszą.
    Ale:
    xy + x + y + 1 = x(y+1) + (y+1) = (x+1)(y+1)
    czyli jest równe iloczynowi dwóch liczb większych od 1, czyli nie jest to liczba pierwsza.
    Zatem xy + x + y nie może być liczbą przedpierwszą.

  6. Oj, Panie Marku….

    xy+x+y=(x+1)(y+1)-1 ==Q
    (x+1)(y+1)=Q+1

    Q+1 to liczba pierwsza, która nie rozkłada się na czynniki iloczynu dwóch liczb naturalnych.
    c.n.d.

  7. Q – liczba przedpierwsza, Q+1 – liczba pierwsza, x oraz y liczby całkowite dodatnie.
    Przypuśćmy, że xy+x+y=Q.
    Wtedy xy+x+y+1=Q+1
    Dalej x(y+1)+(y+1)=Q+1
    Nast. (x+1)(y+1)=Q+1
    Po lewej stronie równania jest liczba złożona, po prawej liczba pierwsza. wiec xy+x+y=Q to twierdzenie fałszywe

  8. Równoważnie równanie można napisać: xy+x+y+1=R, gdzie R jest liczbą pierwszą.
    Równanie można jednak zapisać jako: (x+1)(y+1)=R, więc nie może być ono spełnione w zadanej dziedzinie.

  9. Gdyby xy+x+y=Q, to xy+x+y+1 musiałoby być liczbą pierwszą.
    Tymczasem xy+x+y+1 = x(y+1)+(y+1) = (x+1)(y+1).
    Ponieważ x i y to liczby dodatnie, więc ani (x+1), ani (y+1) nie mogą być równe 1.
    Wniosek (x+1)(y+1) nie jest liczbą pierwszą.

  10. W sumie to niedokładnie napisałem…
    można dyskutować o dodatniości 0 dla każdej liczby przedpierwszej:
    (x+1)(y+1) = P zadziała dla x = 0 i y = Q (i vice versa)
    np:
    2016 = 2016*0 + 2016 + 0
    2017 = (2016+1)(0+1)

    więc, zakładając że zero jest dodatnie, twierdzenie przestaje być prawdziwe!

  11. x>0, y >0 =>
    (x+1)(y+1) = xy + x + y + 1 = Q+1 ma dzielniki > 1 i mniejsze od Q+1
    c.k.d.

  12. Trochę za łatwe jak na ten blog:
    Dla dowolnych dodatnich całkowitych x,y liczba xy+x+y+1 = (x+1)(y+1) jest złożona.

  13. Lewa strona równania to (x+1)*(y+1)-1, a więc liczba „przedzłożona” nie mogąca być jednocześnie liczbą „przedpierwszą” 🙂

  14. (1+x)(1+y)=Q+1
    Q+1 jest liczbą pierwszą, więc x = 0 lub y = 0, a to jest sprzeczne z założeniami.

  15. Załóżmy że pewne liczby X, Y spełniają równanie wyjściowe xy+x+y=Q. Przekształcamy je do X(Y+1)+Y=P-1 gdzie P jest dowolną liczbą pierwszą. Następnie mamy (X+1)(Y+1)=P i jest sprzeczność bo liczba pierwsza jest rozłożona na czynniki. Wniosek: nie ma liczb X, Y spełniających równanie wyjściowe.

  16. Załóżmy, że istnieją takie liczby całkowite dodatnie x i y, które spełniają równanie:
    xy + x + y = Q.
    Wówczas: xy + x + y + 1 = p, gdzie p jest liczbą pierwszą.
    Po prostych przekształceniach otrzymujemy:
    p = xy + x + y + 1 = x (y + 1) + y + 1 = (x + 1)(y + 1), czyli sprzeczność.

  17. x i y muszą być tylko całkowite dodatnie (czyli naturalne) czy jakiś dodatkowy warunek musi być?
    np. x ≠ y

    Dodatkowych warunków nie ma.
    mp

  18. Rozpisując wzór z dodaniem i odjęciem 1, dostajemy postać równoważną:
    xy + x + y = x(y+1) + y + 1 – 1 = x(y+1) + (y+1) – 1 = (x+1)(y+1) -1

    A ponieważ x i y są całkowite i dodatnie, to liczba o 1 większa niż xy+x+y
    jest iloczynem dwóch liczb większych od 1, więc nie jest pierwsza.

  19. Liczba Q : (x+1) daje wynik z resztą x. Zatem liczba (Q + 1) dzieli się przez (x+1) bez reszty, czyli nie jest liczbą pierwszą.

  20. Szwagier chciał pomóc, ale postawił warunek:
    „daj mi czekoladę”.
    Co było robić?- dałem.
    Zjadł kawałek (dosłownie jeden: z narożnika)i oddał mi całą resztę mówiąc:”oddaję ci ilość kostek, która nie jest liczbą przedpierwszą, bo przecież liczba kostek w całej czekoladzie nie jest liczbą pierwszą”

    A teraz mi coś mówi o sumowaniu wartości liter w nazwach zespołów, bo to (ponoć) obrazuje ich relatywną siłę.

    Jakich znowu wartości???
    (dam znać kiedy/jeśli już się dowiem)

  21. @stud: „całkowite dodatnie” to nie to samo co „naturalne”!!!

    Zbiór liczb „całkowitych dodatnich” jest zawsze dobrze zdefiniowany i wygląda tak: {1, 2, 3, 4, 5, …}

    Natomiast zbiór liczb naturalnych definiowany jest na dwa różne sposoby:
    {0, 1, 2, 3, 4, …} lub {1, 2, 3, 4, 5, …}

    To, którą definicję przyjmujemy zależy często od autora publikacji, jego preferencji tudzież wygody stosowania w konkretnym przypadku.

    Z tego też powodu wolę używać sformułowań „całkowite dodatnie” i „całkowite nieujemne”, bo one nie budzą wątpliwości.

    PS. Piszę o tym dlatego, że gdyby w treści zadania sformułowanie „całkowite dodatnie” zastąpić przez „całkowite nieujemne”, to teza do udowodnienia nie byłaby prawdziwa 🙂

  22. OK, czyli twierdzenie (po matematycznemu) brzmi:
    Dla każdego x, y ϵ N zachodzi: xy+x+y≠Q, gdzie Q+1=R, R ϵ P
    N – liczby naturalne,
    P – liczby pierwsze,
    Poprzez dowód „nie wprost” dojdziemy do sprzeczności w równaniu:
    Istnieją takie x, y ϵ N, że xy+x+y=Q
    xy+x+y=R-1
    xy+x+y+1=R
    x(y+1)+y+1=R
    (x+1)(y+1)=R
    co jest sprzecznością, bo x, y > 0 oraz R jest liczbą pierwszą, więc nie da się przedstawić za pomocą iloczynu liczb > 1
    W związku z tym pierwotne założenie xy+x+y≠Q jest prawdziwe dla każdego x, y ϵ N.

  23. @apartado: piękna czekoladowa interpretacja zadania 🙂

  24. @ miodziu
    dziękuję- przekażę Szwagrowi, to się ucieszy.

    przy okazji:
    Szwagier dał mi swoją formułę wyceniającą siłę drużyn EURO2016.

    Każdej literze alfabetu nadajemy wartość jak poniżej:
    A- 22 B- 2 C- 9 D- 23 E- 26 F- 21 G- 25
    H- 8 I- 6 J- 11 K- 10 L- 14 M- 13 N- 1
    O- 18 P- 16 Q- 19 R- 15 S- 17 T- 20 U- 7
    V- 12 W- 4 X- 24 Y- 3 Z- 5

    żeby określić siłę drużyny, sumujemy wartości dla jej trzyliterowego

    oznaczenia.
    lista oznaczeń:
    ALB,AUT,BEL,CRO,CZE,ENG,ESP,FRA,GER,HUN
    IRL,ISL,ITA,NIR,POL,POR,ROU,RUS,SUI,SVK
    SWE,TUR,UKR,WAL

    ————-
    dla przykładu:
    dzisiejszy pierwszy mecz to ROSJA (RUS): SŁOWACJA (SVK)

    sumujemy przypisane literom wartości:
    RUS: 15+7+17=39
    SVK: 17+12+10=39

    czyli według Formuły Szwagra (dalej:FS) ten mecz zakończy się remisem, bo

    siła drużyn jest taka sama.

    Szwagier mówi, że FS ma 98% skuteczności…
    …”bo piłka jest okrągła”.

  25. Przypuśćmy, że istnieje taka liczba przedpierwsza Q dla której istnieją liczby x, y dodatnie całkowite, że:
    xy + x + y = Q

    Wtedy:
    xy + x + y + 1 = Q + 1
    (x + 1)(y + 1) = Q + 1

    Ale Q + 1 jest z założenia liczbą pierwszą, x +1, y + 1 – dodatnie, większe lub równe 2. Zatem przedstawiliśmy Q + 1 jako iloczyn dwóch liczb całkowitych, obu >= 2, czyli Q + 1 nie jest liczbą pierwszą. Sprzeczność, co kończy dowód.

  26. Teraz sobie myślę, że mogłam to ująć prościej, krócej i bardziej elegancko:
    xy+x+y+1=(x+1)(y+1)

  27. Ponieważ Q=P-1 (P jest liczbą pierwszą), podane równanie przybiera postać: x*y+x+y=P-1, zatem x*y+x+y+1=P.
    Lewą stronę równości można zapiać jako iloczyn: (x+1)*(y+1)=P, zatem może być: x+1=1 oraz y+1=P, (albo symetrycznie: x+1=P oraz y+1=1). Stąd x=0 i y=P-1=Q, albo x=Q i y=0.
    Zatem równanie spełnia para liczb 0, Q, co potwierdza bezpośrednie sprawdzenie. Liczba 0 nie ma znaku, więc trudno uznać ją za liczbę dodatnią, całkowita oczywiście jest.
    qed

  28. Założenie:
    x*y+x+y=Q liczba przedpierwsza więc Q+1 liczba pierwsza
    x*y+x+y+1=Q+1
    x(y+1)+y+1=Q+1
    (y+1)*(x+1)=Q+1 tu jest sprzeczność z założeniem, bo Q+1 nie jest liczbą pierwszą gdyż ma podzielniki.
    Teza:
    Liczba postaci x*y+x+y nie jest liczbą przedpierwszą, gdyż liczba następna jest złożona.
    Miało być elegancko więc jest w czterech linijkach.

  29. Uporzadkujmy obie liczby naturalne rosnaco, wtedy y=x+n, gdzie dla n=0 obie liczby sa rowne, a dla pozostaly naturalnych n y jest wieksze od x. Zeby Q byla liczba przedpierwsza, Q+1 musi byc liczba pierwsza. Policzmy:
    Q+1= xy+x+y+1= x(x+n) +x + x + n +1 = (x + n)(x +1) +x +1 = (x +1)(x +n +1), co jest iloczynem dwoch liczb, a zatem nie jest liczba pierwsza. C.b.d.u.

  30. Troche skomplikowalem. Q+1=xy+x+y+1=(x+1)(y+1), co nie jest liczba pierwsza.

  31. Jeśli Q jest liczbą przedpierwszą, to Q + 1 jest liczbą pierwszą. Jeśli zatem istnieją liczby x i y spełniające wskazane równanie, to również zachodzi:

    xy + x + y + 1 = Q + 1

    Grupując wyrazy otrzymujemy:
    (x+1)*(y+1) = Q+1

    x oraz y są liczbami całkowitymi większymi od 0, zatem przedstawiliśmy Q+1 jako iloczyn dwóch liczb większych od 1. Q+1 nie może być więc liczbą pierwszą, więc otrzymaliśmy sprzeczność.

  32. x*y+x+y = Q = P-1 (P liczba pierwsza)
    x*y+x+y+1 = P
    (x+1)*(y+1) = P
    I mamy sprzeczność bo P z definicji nie możne być iloczynem liczb >=2

  33. @miodziu: To ja pozwolę sobie rzucić anegdotkę na temat tego, czy 0 jest liczbą naturalną.

    Otóż to zależy gdzie i kiedy.
    We Wrocławiu i w Rzeszowie 0 jest liczbą naturalną, a w Warszawie nie jest, ale za okupacji było!
    Kto zgadnie, dlaczego?

  34. Kurczę, 5 lat studiów matematyki byłem przekonany, że liczby naturalne to całkowite dodatnie. Aż zwątpiłem, sprawdziłem w Wiki i faktycznie, czasem zero zalicza się do zbioru liczb naturalnych a czasem nie… Człowiek uczy się całe życie jednak 🙂

  35. pwgdrk,
    Z Warszawy pochodzi Sierpiński i o ile pamiętam, on był zwolennikiem tezy, że liczby naturalne zaczynają się od 1.

  36. Chmmm… Zadanie było proste. Większość osób rozwiązała je bez problemu.

    Ale w Waszych opisach widzę sporo drobnych, subtelnych wręcz błędów.

    W wolnej chwili postaram się wszystko opisać, z cytatami i przykładami 🙂

  37. @cpp:
    Coś w tym może być; podobno jak Sierpiński z żoną wyjeżdżali na urlop, to przy liczeniu walizek żonie wychodziło 9, a jemu 8, bo zaczynał od 0 😉

    A rozwiązaniem zagadki jest to, że we Wrocławiu jest tramwaj (w Rzeszowie – autobus) nr 0, a w W-wie kiedyś był, a teraz nie ma.

css.php