Obok 2016
Nowy rok to nowa okazja do „znęcania się” na różne sposoby nad nową liczbą. Klasyczny sposób polega na tworzeniu działań równych noworocznej liczbie z wykorzystaniem tylko cyfr w tej liczbie występujących. Dwa przykłady:
2016=1206+610+200
2016=(20+16)×(20+20+16)
Im mniej powtórzeń, tym lepiej, ale żadnej z czterech cyfr – 0, 1, 2, 6 – nie może zabraknąć. Gdyby komuś z Państwa udało się ułożyć tym sposobem coś fajnego noworocznego, proszę o pochwalenie się dziełkiem.
Nie jest możliwe, aby w działaniu występowały tylko cztery cyfry, jak np. w przypadku 1827 lub 2048:
1827=21×87, 2048=8^4/2+0
Krótko mówiąc, 2016 nie jest tzw. liczbą Friedmana.
Przynajmniej dwie cechy 2016 można uznać za spektakularne. Po pierwsze jest to liczba trójkątna, czyli 2016 kulami o jednakowej średnicy można wypełnić trójkąt równoboczny – w taki sposób, jak 15 czerwonych kul umieszczanych jest na początku partii snookera w trójkątnej ramce. W snookerze wzdłuż każdego boku ramki znajduje się 5 kul. Gdyby zastąpić je kulkami o takiej średnicy, aby wzdłuż boku ramki zmieściło się ich 63, to w trójkącie kulek byłoby 2016. Czyli 2016 jest sumą wszystkich liczb od 1 do 63.
Drugą wyrazistą cechą noworocznej liczby jest duża liczba jej dzielników. Wszystkich (nie tylko różnych) czynników pierwszych w rozkładzie 2016 jest osiem – 2^5×3^2×7, co daje 36 różnych dzielników. Tylko jedna liczba mniejsza od 2016 ma ich więcej – 1680 (40). Wiąże się z tym jeszcze jedna szczególna własność 2016 – liczbę tę można przedstawić jako iloczyn różnych cyfr, a ściślej – liczb jednocyfrowych: 4×7×8×9 lub 2×3×6×7×8. Ciąg liczb o takiej własności jest ograniczony – zaczyna się od 6 (2×3; w iloczynie pomijamy jedynkę), a kończy liczbą 362880 (2×3×4×5×6×7×8×9). Między jakimi liczbami znajduje się w tym ciągu 2016?
Znacznie trudniejsze jest pytanie o liczbę wyrazów tego ciągu, ale może komuś uda się na nie odpowiedzieć.
Komentarze
Dla większości z nas, 2016 to jedyna taka liczba za naszego życia: poprzednia była 1920, a następna będzie 2160.
Ustalenie liczby wyrazów ciągu daje się ogarnąć: albo bierzemy daną liczbę od 2 do 9, albo nie, czyli możliwości jest 2^8 = 256. Od tego należy odjąć sytuacje gdy bierzemy jedną liczbę (8 razy) i zero liczb (1 raz), a więc zostaje 247 iloczynów. Z tego różnych okazuje się być 145, ciekawe że żaden nie powtarza się więcej niż 3 razy.
Zadanie na wariacje z powtórzeniami i wypada sobie życzyć, by rok 2016 nie przebiegał pod znakiem takowych w życiu indywidualnym i społecznym 🙂
2016 znajduje się w tym ciągu pomiędzy liczbami 1920 a 2160.
Liczba wyrazów tego ciągu to 145.
chwila poezji:
Każdy element tego ciągu jest podzielnikiem liczby 362880,
ale nie każdy podzielnik liczby 362880 jest elementem tego ciągu.
No to na pierwszy strzał kilka trywialnych przedstawień liczby 2016 jako działanie z wykorzystaniem 5 cyfr:
2016 = 2016 + 0
2016 = 2016 – 0
2016 = 2016 * 1
2016 = 2010 + 6
Nietrywialne przykłady następnym razem 🙂
2016 = (102 – 6) * 21
2016 = 2 * (2 + 1006)
Oj, nie lubię takich zadań 😉 Ale coś tam ułożyłam:
16^2 * (6 + 6^0 + 6^0) – (16×2)
Ten ciąg jest bardzo rzadki. Ma mniej niż 2^8 elementów. Spróbujemy policzyć je bez kompa…
2016 = 2 * 1000 + 16
2016 = 20 * 100 + 16
2016 = 200 * 10 + 16
😉
Jeśli chodzi o pierwsze pytanie to myślę, że obok 2016 są 1890 (5,6,7,9) i 2160 (5,6,8,9).
Wyrazy ciągu jeszcze liczę 🙂
2016 = (2^10-16)*2 – niestety znowu 6 cyfr 🙁
Co do ciągu, to wg mnie o wiele łatwiej podać liczbę wyrazów ciągu, niż sąsiadów liczby 2016 (a są nimi 1920 i 2160).
W sprawie liczby wyrazów ciągu:
Jeśli liczba należy do ciągu, to jest postaci 2^a * 3^b * 5^c * 7^d, gdzie a<=7, b<=4, c<=1, d<=1.
Daje to 8 * 5 * 2 * 2 = 160 możliwości, z których kilka należy wykluczyć:
70cd – 4 możliwości – bo skoro w liczbie mamy wszystkie dwójki, to w iloczynie tworzącym liczbę musieliśmy skorzystać z liczby 6 – co daje minimum jedno wystąpienie czynnika pierwszego 3
04cd – 4 możliwości – analogiczne tłumaczenie
1000, 0100, 0010, 0001 – 4 możliwości – bo tu mamy liczbę pierwszą, która nie może być iloczynem…
2000, 0200 – 2 możliwości – bo tu co prawda mamy dwa czynniki pierwsze, ale są one równe.
0000 – 1 mozliwość
W sumie mamy 160 – 15 = 145 liczb. Choć osobiście uważam, że w ciągu powinny się znaleźć również liczby z zerem i jedynką (jako iloczyny różnych liczb jednocyfrowych):
0 = 0*1
2 = 1*2
3 = 1*3
4 = 1*4
5 = 1*5
7 = 1*7
9 = 1*9
Ładne wyprowadzenie liczby wyrazów ciągu.
Oczywiście, gdyby ciąg trafił do OEIS należałoby go wydłużyć o podane siedem wyrazów.
mp
16*16*16/2 – 20 – 12
Można też odjąć dwa razy po 16, ale wtedy nie będzie 0.
Oj lubię takie zadania i też coś ułożyłem.
2016=1262016/626 (!)
2016=1211616/601
Oczywista modyfikacja:
16*16*160/20 – 16 – 16 (albo – 2*16).
W pierwszym wariancie, żeby nie to jedno 160, mielibyśmy z samych 16stek i 20stek. Da się oczywiście zrobić, dodając 16 do siebie 10 razy i biorąc w nawias.
Ciąg ma 145 wyrazów. 2016 leży między 1920 i 2160. Ustalenie liczby elementów tego ciągu bez komputera jest zbyt żmudne mimo, że liczba może mieć tu co najwyżej trzy rozkłady. Dość łatwo wskazać układy podstawowe mające 1, 2 lub 3 rozkłady ale później zaczyna się mnóstwo wyjątków związanych z występowaniem pozostałych czynników.
Zadanie KWADRATURA (podział kwadratu na kwadraty) z Omnibusa jest bardzo sympatyczne. Układ 5 równań z 7 niewiadomymi da się sprowadzić do 1 równania z 2 niewiadomymi i sprawdzenia 5 przypadków z których tylko jeden ma sens. Żadnych prób i błędów.
A wydawało mi się, że łatwiej jest rozwiązać to zadanie geometrycznie, próbując i błądząc (niezbyt mozolnie), niż algebraicznie. Przyznam się też ze wstydem, że nie wiem, o jakie 5 równań z 7 niewiadomymi chodzi. Dla mnie jest jedno równanie z siedmioma niewiadomymi, czyli suma kwadratów równa 21^2.
mp
Skoro można 20 i 16, to można też 201 i 6: 201×6+201×6-201-201+6. Z 2015 byłoby tutaj zgrabniej.
1920
2016
2160
145 liczb
Każdy bok daje jedno równanie. Patrząc na lewy górny róg zauważamy, że A może być równe tylko 4 albo 5. Patrząc na środek i dół widzimy, że A nie może być równe 5. Rachunki na poniższym slajdzie. Nawet nie próbowałem zabierać się za to geometrycznie 🙂
http://pokazywarka.pl/v30c9w/
@aps1968
A może po prostu 201*10+6?
Moim zdaniem to jest trywialne lub na granicy trywialności.
Dla porównania nietrywialne (Antypa) i przy okazji ciekawe ze względu na powtórkę:
1262016/626=2016
Oj tak! Przykłady z dzieleniem bardzo mi się podobają.
Od siebie dodam taki:
2016 = 122222016 / 60626
A przy okazji bardziej ogólny problem: czy dowolną liczbę naturalną n można przedstawić jako iloraz liczb, których zapis w systemie o podstawie d (domyślnie d=10) składa się wyłącznie z cyfr liczby n.
Strzelam, że tak się da i zapewne wynika to z jakiegoś mocnego twierdzenia. Ale nie nasuwa mi się na myśl nic konkretnego.
http://oeis.org/A020338 – trywialne, ale pasuje
mp
@miodziu
Nie, bo mają być tylko 201 i 6 🙂 Czyli co najwyżej nie 201×10, a 201+…+201 10 razy. No to jeszcze bardziej trywialne 🙂
Errata:
elementy sąsiednie wokół 2016 to 1920 i 2160.
A wszystkich elementów jest 145, z czego
67 jest wynikiem jednego iloczynu,
54 elementy można uzyskać na dwa sposoby(np. 12 to 2*6 i 3*4)
a 24 elementy można uzyskać na trzy sposoby (np. 24 to 6*4 albo 3*8 albo 2*3*4).
Nie mogłem wymyślić rozwiązania analitycznego i zachęcony przez Spytka znalazłem wszystkie 247 potencjalnych kombinacji, z czego 102 potem odpadły jako powtórki.
Rozwiązanie skuteczne, ale mało finezyjne.