Alejka
Na wakacjach proponuję krótki powrót do szkoły – zwłaszcza osobom, które już od dawna, a nawet od bardzo dawna do niej nie uczęszczają. Chodzi o gimnazjum lub liceum, ale nie wiem, o którą klasę, bo nie znam dokładnie aktualnego programu nauczania matematyki. W każdym razie poniższa łamigłówka pachnie lekcją geometrii i byłych uczniów może zestresować. W pierwszej chwili wydaje się prosta, ale niełatwo wpaść na pomysł, jak zacząć, a wzory i obliczenia też są trochę zakręcone.
Mały park w centrum miasta ma kształt prostokąta o wymiarach a×b. Przez jego środek po przekątnej poprowadzona jest wąska alejka o szerokości c.
Na rysunku proporcje między szerokością alejki a wielkością parku nie są zachowane, ponieważ istotne jest pokazanie sposobu poprowadzenia alejki.
Jaka jest powierzchnia alejki, jeśli a=55 metrów, b=40 metrów, c=1 metr?
Podanie sposobu rozwiązania będzie mile widziane.
Komentarze
Alejka to równoległobok, którego podstawą jest przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych a i b natomiast wysokość równoległoboku to po prostu szerokość alejki.
Stąd pole alejki to iloczyn długości przeciwprostokątnej i szerokości alejki, czyli:
P = sqrt(a*a + b*b) * c = sqrt(4625) * 1 ~ 68 (oczywiście m^2)
Oznaczmy przez x, odcinek ścieżki, który jest częścią wspólną ścieżki i boku a. Z podobieństwa trójkątów mamy c/x = b/pierwiastek(b^2+(a-x)^2). Z tego równania kwadratowego wyliczamy x. Pole ścieżki to P=x*b. Po podstawieniu P=66,(6). Wystarczyło nie drzemać na geometrii w gimnazjum 😉 Chociaż podobieństwo trójkątów jest już chyba w podstawówce ?
To może ja podam sposób, bo nie mam kalkulatora pod ręką.
Niech ‚y’ to będzie ten kawałek podstawy z lewej strony (brzeg ścieżki dzieli podstawę ‚a’ na 2 kawałki… to ten lewy, w widoku ścieżki),
zaś ‚x’ to długość kawałka drugiej strony ścieżki, na który rzucony jest ‚y’,
czyli:
c^2 + x^2 = y^2;
drugie równanie z tangensa kąta ścieżki do podstawy:
b/(a-y)=c/x;
z układu powyższych równań, otrzymujemy równanie kwadratowe na ‚y’:
(40^2-1)*y^2 + 110*y – 40^2 – 55^2=0;
skąd wyliczamy ‚y’ (nie wiem czy będą to dwa rozwiązania dodatnie, czy tylko jedno).
natomiast pole ścieżki to:
P=c * sqrt(b^2 + (a-y)^2);
Pozostaje tylko wziąć kalkulator i obliczyć.
Powierzchnia alejki wynosi 66i2/3.
Bok a, dolny, jest podzielony na odcinki y oraz 55-y, górny 55-y oraz y.
Pole pow. alejki wyliczamy na dwa sposoby. Jako różnicę pola prostokątnego placu i dwóch zielonych trójkątów, albo pola równoległoboku o podstawie równej długości przeciwprostokątnej zielonego trójkąta i wysokości c=1. Tworzymy równanie:
55×40-2×1/2x(55-y)x40={sqrt[(55-y)^2+40^2]}x1
lewa strona =40y
stąd y=5/3
pole alejki= 40×5/3=200/3=66 i 2/3
Na wstępie muszę się usprawiedliwić, że w moim rozwiązaniu kluczowy dla rozwiązania szkic zostanie zastąpiony opisem, jako że komputer którym dysponuję na wakacjach, będący własnością mojego wnuczka, nie ma żadnego programu dla tworzenia grafiki.
Krawędzie alejki na poziomych bokach trawnika odcinają odcinki o długości 2*x. Aby wyznaczyć te odcinki należy z punktu przecięcia przekątnych zakreślić okrąg o promieniu c/2 i poprowadzić do niego styczne z przeciwległych wierzchołków prostokąta. Styczne te będą równoległe i będą stanowić krawędzie alejki. Gdy połączymy środek w/w okręgu z wierzchołkami równoległoboku stanowiącego alejkę, otrzymamy 4 trójkąty parami przystające,wszystkie o równych powierzchniach. Ta obserwacja pozwala po prostych rachunkach wyliczyć po rozwiązaniu równania kwadratowego długość odc. 2*x:
2*x=(b*c*SQR(a^2+b^2-c^2)-a*c^2)/(b^2-c^2)
Wstawiając wartości liczbowe otrzymuję 2*x=1,666 m, a zatem powierzchnia alejki wynosi: 2*x*b= 66,67 m^2
d – przekątna parku, długa przekątna równoległoboku alejki,
d = pierwiastek kwadratowy z (a do kwadratu + b do kwadratu) = 68,007372
A1 -kąt pomiędzy dolnym a i d,
sin(A1) = b/d A1 = arcsin(b/d) = 36,02737 stopni
A2 – kąt pomiędzy d i górną granicą alejki,
sin(A2) = c/2/d/2 = c/d A2 = arcsin(c/d) = 0,842524 stopnia,
A – kąt pomiędzy dolną granicą parku (a) a górną granicą alejki A=A1+A2 = 36,8699 stopnia,
y – odcinek górnej granicy alejki od dolnego końca alejki do rzutu prostopadłego środka przekątnej alejki na górną granicę alejki;
0,5c/y = tgA2 y = 0,5c/tgA2 = 34
x – odcinek górnej granicy alejki od dolnego końca alejki do rzutu prostopadłego
punktu końca dolnej granicy alejki na górną granicę alejki;
c/x = tgA x=c/tgA = 1,3333
Długość górnej albo dolnej granicy alejki = y+y-x,
Powierzchnia alejki P = (y+y-x)c = 66,6667 metra kwadratowego.
Powierzchnia alejki sqrt(55^2+40^2)m*1m=68,007352543677216725149686860287 m^2.
Ucinając jeden z narożników alejki i przemieszczając ten fragment do drugiego końca alejki otrzymamy prostokąt o bokach 1m i sqrt(55^2+40^2) m.
a*b = 55*40 = 2200
(a-c)*b = (55-1)*40 = 2160
zatem
c = 40
Egh… kłania się umiejętność czytania ze zrozumieniem 🙂 A wątpliwości powinny się pojawić po zauważeniu prostoty poprzedniego rozwiązania…
Zróbmy tak: niech x oznacza długość pomiędzy końcami alejki na dolnym boku parku, zaś d niech będzie długością przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego (o przyprostokątnych b oraz a-x).
Wtedy pole alejki P = dc = xb, skąd otrzymujemy d = xb/c = 40x
Dalej z tw. Pitagorasa d^2 = (a-x)^2 + b^2
czyli 1600x^2 = x^2 – 2ax + a^2 + b^2
czyli po podstawieniu danych:
1600x^2 = x^2 – 110x + 4625
Czyli
1599 x^2 + 110x – 4625 = 0
delta = 110^2 + 4 * 4625 * 1599 = 29593600 = 5440^2
Stąd x = (-110 + 5440) / 1599 = 5330 / (3 * 533) = 10 / 3
(drugie rozwiązanie równania kwadratowego jest ujemne, dlatego możemy je odrzucić).
Teraz już łatwo liczymy pole alejki: P = xb = 40 * 10 / 3 = 400 / 3 =~ 133,3333….
Gdzieś uciekło dzielenie przez 2 🙂
mp
http://pokazywarka.pl/tyrqvo/
a, b – boki prostokąta
d – przekątna prostokątna
x + y – bok prostokąta o boku 1 m i przekątnej d
c – przeciwprostokątna trójkąta o bokach 1 m i y
Z obliczeń wynika, że:
d^2 = 4625
x + y = 68
Szukamy pola równoległoboku o bokach c i x. W zależności od tego, co potraktujemy jako podstawę, a co – jako wysokości, pole tego równoległoboku można wyrazić tak:
P = x razy 1 m
P = b razy c
Można to przekształcić tak, aby mieć tylko jedną niewiadomą (y), ponieważ:
b = 40
x = 68 – y
c^2 = 1 + y^2
Po rozwiązaniu równania kwadratowego otrzymujemy:
y = 4/3
c = 5/3
x = 66 i 2/3
Zatem pole równa się 66,(6) m^2.
Przez nieuwagę inny odcinek oznaczyłam literą c.
Pozdrawiam 🙂
Pan Marek nie komentuje to może ja skomentuję:
miodziu i Antyp – a i b to długości boków prostokąta (wyraźnie napisane nad rysunkiem), więc nie znamy długości jednej z przyprostokątnych zielonego trójkąta.
kroQ – c jest szerokością alejki mierzoną prostopadla do jej boków, a nie długością jej przecięcia z bokiem „a” parku.
Zgadzam się, że wynik to ~68, ale widzę, że chodzi o większą precyzję 😉
Po wprowadzeniu pomocnicznych nazw odcinków „d” i „e”
zgodnie z rysunkiem:
https://drive.google.com/file/d/0Bwo1QFzne66rZTBTdU1pR0hVLTQ/view?usp=sharing
dostajemy układ równań:
e^2 + c^2 = d^2 (zwkły Pitagoras)
e/c= (a-d)/b (z podobieństwa trójkątów)
Po połączeniu tych równań dostajemy równanie kwadratowe:
(c*(a-d))^2 / b^2 + c^2 = d^2
Po podstawieniu danych stałych a,b,c mamy:
1599/1600 * d^2 + 11/160*d – 4625/1600 = 0
Równianie ma dwa pierwiastki, ale tylko jeden jest dodatni: d=1,60934
Czyli powierzchnia ścieżki to 1,60934*40 = 64,3736 m2
Mało eleganckie rozwiązanie, ale lepszego na razie nie wymyśliłem:
Z podobieństwa trójkątów i twierdzenia pitagorasa długość przeciącia alejki z bokiem „a” prostokąta wynosi ok. 1,7 m. Stąd przeciwprostokątna zielonego trójkąta o przyprostokątnych 40 i 53,3 m wynosi 66,64 m, czyli pole alejki 66,64 m2.
Alejka jest równoległobokiem, ale o wysokości b i podstawie x, będącą odległością wierzchołków dwóch zielonych trójkątów. x powinien być nieco większy niż 1m. Ponieważ boki alejki, nachylone pod pewnym kątem do podstawy a, są równoległe, sinus kąta nachylenia możemy z jednej strony zapisać jako c/x = 1/x, a z drugiej tangens tego kąta to oczywiście b/(a-x). Tu można skorzystać np. z jedynki trygonometrycznej, czyli podzielić sin/tg, dostać cos i z jedynki obliczyć x, ale można też obliczyć przeciwprostokątną zielonego trójkąta (jako funkcję a, b i x) z Pitagorasa i wtedy sin jest b/przeciwprostokątna = 1/x. Od tego momentu zaznaczam, że nie sprawdziłem jeszcze raz rachunków, w każdym razie wychodzi równanie kwadratowe o współczynnikach A = 1599, B = 110 i C = -4625, i pierwiastek z delty jest o dziwo liczbą całkowitą 5440, co jak pamiętamy ze szkoły daje nadzieję, iż rozwiązanie jest dobre. Dodatni pierwiastek, jedyny oczywiście brany pod uwagę, okazuje się x = 1 i 2/3, co wydaje się możliwe, a po pomnożeniu przez 40 dostajemy pole równe 200/3.
Ale gdyby policzyć, jaką długość musiałaby mieć wykładzina np. rozwijana z roli o szerokości 1 m, żeby w ten sposób ułożyć ją w prostokącie 40 x 55 m (bez sztukowania, z obcięciem wystających rogów) to wychodzi 67,97 m.
Czyli ~68 😉
Ma Pan rację… dzielenie przez dwa uciekło we wzorze na rozwiązanie równania kwadratowego. Powinno być
x = (-110 + 5440) / (2 * 1599) = 5330 / (6 * 533) = 10 / 6 = 5 / 3
Wtedy oczywiście pole wynosi 66,(6)
—————-
cóż za diabelska liczba 😀
Samo narysowanie jest banalnie proste:
– Wyznaczamy środek parku na przecięciu przekątnych.
– Rysujemy okrąg o średnicy 1m.
– Z odpowiednich wierzchołków prostokątnego parku prowadzimy styczne do okręgu.
– Ścieżka gotowa.
Pytanie jak z tego policzyć jej pole… Do przemyślenia w weekend.
@czwartex: długośc wykładziny o szerokości ‚c’, bez obcinania wystających rogów wynosi dokładnie 68:
L=sqrt(a^2 + b^2 – c^2);
80 m^2
Jednak nie. Cofam ~
Taka „wykładzina z rolki” musiałaby mieć długość dokładnie 68 m.
A przekątna prostokąta 40×55 jest minimalnie dłuższa.
To już ostatni mój wpis o alejce.
Zrobiłem jakiś czeski błąd przy liczeniu delty.
Końcówka powinna brzmieć:
Równanie ma dwa pierwiastki, ale tylko jeden jest dodatni: d=1,66667
Czyli powierzchnia ścieżki to 1,66667*40 = 66,6667 m2
Wziąłem w końcu kalkulator i wyszło mi, że pole jest równe 66 i 2/3.
66 + 2/3
S = b\frac{\sqrt{a^2 + b^2 -1}b – a}{b^2-1}
200/3 = 66,(6)
Twierdzenie sinusów dla: zielonego trójkąta oraz rożka alejki.
200/3 m^2
Jeżeli boki alejki oznaczymy jak x (krótszy) i y (dłuższy), to otrzymamy dwa równania
na pole równoległoboku 40*x i 1*y. Z drugiej strony mamy: y^2=40^2+(55-x)^2.
Po uproszczeniu i podstawieniu otrzymujemy równanie kwadratowe 1599x^2+110x-4625=0.
z tego x=1,67, pole alejki 1,67*40=66,8
Niech x będzie długością krótszego boku równoległoboku (alejki), a y kątem między dłuższym bokiem alejki a bokiem prostokąta o długości a.
Wtedy: siny=c/x=1/x, tgy=b/(a-x)=40/(55-x).
Z równości (tgy)^2=((siny)^2)/(1-(siny)^2) po przekształceniach otrzymujemy równanie kwadratowe 1599x^2+110x-4625=0, którego dodatnim rozwiązaniem jest x=5/3.
Powierzchnia alejki jest równa bx=200/3 [m^2].
200/3 m^2
1) Oznaczając dłuższy brzeg alejki jako ‚l’ a krótszy jako ‚x’ dostajemy
l*1 = x*b
(albo z podobieństwa trójkątów, albo licząc pole alejki raz jako równoległobok, a raz jako prostokąt po przełożeniu kawałka „z góry na dół”)
Z kolei twr. Pitagorasa daje l^2 = b^2 + (a-x)^2.
Wstawiając pierwsze równanie do drugiego dostajemy zwykłe równanie kwadratowe z rozwiązaniem dodatnim x = 5/3.
200/3=66,66. Równanie kwadratowe z ogromną deltą,podobieństwo trójkątów:pozostałego po jednej ze strony alejki i trójkątnej końcówki alejki .