Diabelskie dzielenia
W ubiegłym roku po długich badaniach uczeni sataniści ostatecznie ustalili gigantyczną wartość liczby D, czyli ile diabłów zmieści się na końcu szpilki. Reszta z dzielenia tej liczby przez 2014 okazała się równa 128. W bieżącym roku podzielono D przez 2015 i reszta z dzielenia także wyniosła 128, co utwierdziło niektórych badaczy w trafności ich obliczeń. Jaka będzie reszta z dzielenia liczby D przez 26?
Drugie pytanie jest trudniejsze: jaka jest wartość liczby D, jeśli zaczyna się ona tzw. Liczbą Bestii, czyli trzema szóstkami, jest 12-cyfrowa, a reszta z jej dzielenia przez 2016 także wynosi 128?
Komentarze
Pytanie 1: 4058338; reszta z dzielenia przez 26 wynosi 24.
Pytanie 2: 666780135968; reszta z dzielenia przez 26 również wynosi 24.
Pierwsze pytanie trywialne. Wystarczy wykonać:
2014*2015+128=4058338 aby otrzymać jedną z możliwych liczb D
Reszta z dzielenia przez 26 to 24.
Wiemy, że D = 2104 * a + 128 (1), dla pewnej liczby całkowitej a. Zatem liczba D jest parzysta!
Wiemy również, że D = 2015 * b + 128 (2), dla pewnej liczby całkowitej b. Ponieważ D jest parzysta, zatem b również musi być parzyste. Przyjmijmy b = 2 * b’, przy czym b’ również jest liczbą całkowitą.
Mamy zatem D = 2015 * 2 * b’ + 128 = 5 * 13 * 31 * 2 * b’ + 128 = 26 * 5 * 31 * b’ + 26 * 4 + 24 = 26 * (5 * 31 * b’ + 4) + 24.
To oznacza, że liczba D przy dzieleniu przez 26 daje resztę 24.
Dalej przyjmujemy, że D = 2016 * c + 128 (3).
Niech x = NWW(2014, 2015, 2016) = 4090675680.
Widzimy, że wystarczy przyjąć D = x * k + 128, dla dowolnej liczby całkowitej k. Wtedy D daje resztę 128 przy dzieleniu przez każdą z liczb 2014, 2015, 2016.
Teraz szukamy takiej wartości k, dla której liczba D jest 12 cyfrowa, oraz rozpoczyna się od trzech szóstek.
Wiemy, że
667 000 000 000 > D >= 666 000 000 000
667 000 000 000 > x * k + 128 >= 666 000 000 000
666 999 999 872 > x * k >= 665 999 999 872
Czyli 666 999 999 872 / x > k >= 665 999 999 872 / x
i po lekkich zaokrągleniach mamy:
163,053… > k >= 162,809…
Czyli k = 163, a wtedy:
D = 163 * 4090675680 + 128 = 666780135968
Odpowiadam na pytanie 1: jeśli od liczby D odjąć 128, to otrzymamy liczbę podzielną i przez 2014, i 2015. Liczba 2015 dzieli się przez 13, a liczba 2014 przez 2, dlatego (D-128) na pewno dzieli się bez reszty przez 26. Reszta z dzielenia D/26 będzie zatem resztą z dzielenia 128/26, czyli 24, bo 26*4 = 104, 104+24 = 128.
Odpowiedź na pytanie drugie brzmi: 666780135968. Wystarczy trochę pokombinować w excelu.
4058338 = 2014*2015 + 128
666780135968 = 2014*2015*2016/2 * X + 128
X = 163
Pierwsza odpowiedź jest banalna:
D=X*2014*2015+128
X-dowolna liczba naturalna > 0
jako, że 2014*2015 dzieli się przez 26 bez reszty, to każda liczba D dzieli się przez 26 z resztą równą 128.
Na drugie pytanie…
D=X*2014*2015*2016+128
reszta to już sprawa kalkulatora…
errata:
na drugie pytanie liczba D będzie postaci:
D=X*2014*2015*1013+128
(zapomniałem wyeliminować jedną dwójkę w rozkładzie na czynniki pierwsze)
Przepraszam, mały błąd:
D=X*2014*2015*1008+128
Ad 1. D mod 26 =24
Ad 2. D = 666780135968
Liczba z pierwszej części zadania: 4058338.
Liczb spełniajacych warunki z drugiej cześci zadania jest blisko pół miliona!
Najmniejsza z nich: 666000000416, najwieksza z nich: 666999998912.
Druga część łamigłówki, a raczej zabawy liczbowej:
Etap 1. Rozbijamy liczby 2014, 2015, 2016 na czynniki pierwsze:
2014=2*19*53
2015=5*13*31
2016=2*2*2*2*2*3*3*7
Najmniejsza wspólna wielokrotność to 4’090’675’680
Etap 2. Chcemy uzyskać liczbę 12-cyfrową zaczynającą się od liczby bestii, metodą prób i błędów doszedłem, że powyższą liczbę trzeba pomnożyć przez 163.
4’090’675’680*163=666’780’135’840
Etap 3. Do otrzymanej liczby dodajemy 128 otrzymując 666’780’135’968
666780135712
Reszta z dzielenia D przez 26 wynosi 24.
D=666780135968
Odpowiedź na drugie pytanie to 666 780 135 968.
A odpowiedź na pierwsze pytanie to 24.
A więc wziąłem kalkulator i X wyszło 163, a co za tym idzie liczba D wynosi:
666780135968
podzielna przez 2014, 2015 oraz 2016 z resztą 128.
Dopiero teraz dotarło do mnnie, że reszta z dzielenia liczby D przez 26 bedzie równa reszcie dzielenia 128/26 🙂 czyli 24
… dać się tak głupio złapać!!! 🙂
D = 666780135968
Chińskiego Twierdzenia o Resztach powinno się uczyć w podstawówce!
Ponieważ liczby 2014 i 2015 są wobec siebie względnie pierwsze to liczba, która daje z dzielenia przez te liczby resztę 128 to 2014*2015+128=4058338. Reszta z dzielenia tej liczby przez 26 wynosi 24. Aby znaleźć liczbę (666…) , o której się mówi w drugiej części zadania należy:
1. 1007*2015*1026=4 090 675 680
2. 666 000 000 000/4 090 675 680= 162,….
3.163*4 090 675 680=666 780 135 840
4.666 780 135 840 + 128 =666 780 135 968
Pytanie 1.
Ponieważ NWD(2014,2015)=1, więc D=2014*2015+128=4058338=26*156089+24 czyli D mod 26 =24.
Pytanie 2.
Szukamy liczby postaci: D=n*NWW(2014,2015,2016)+128=n*4090675680+128. Sprawdzamy, że tylko dla n=163 liczba D zaczyna się od 666 i ma jednocześnie 12 cyfr. Zatem D=163*4090675680+128=666 780 135 968.
Zauważyłem błąd w swoim komentarzu :C
jest
1. 1007*2015*1026=4 090 675 680
powinno być
1. 1007*2015*2016=4 090 675 680
Żeby pierwszy warunek był prawdziwy, czyli reszta z dzielenia przez 2014 i przez 2015 wynosiła 128, to liczba powinna mieć postać:
n*2014*2015+128
Rozkładając czynniki na liczby pierwsze:
2014=2*19*53
2015=5*13*31
Czyli liczba ma postać n*2*19*53*5*13*31+128
Czyli iloczyn jest podzielny przez 26, a reszta z dzielenia takiej liczby przez 26 będzie taka jak z dzielenia 128 przez 26, czyli 24.
A to drugie pytanie:
tu dochodzi 2016=2*2*2*2*2*3*3*7
Porównując z punktem 1 jedna „2” się powtarza,
czyli szukana liczba powinna mieć postać
n*2014*2015*(2016/2)+128
Do tego dochodzi warunek, żeby była 12 cyfrowa i miała trzy szóstki na początku
Więc n=1630, a szukana liczba to
6667801358528
0 oraz 666 780 135 840 Pozdrawiam PM.
Panie Piotrze, wypadałoby jeszcze dodać 128.
Zdravi
mp
I
Skoro liczba D-128 jest podzielna przez 2014 i przez 2015 to również jest podzielna przez 26
(bo 2014 = 2*1007 i 2015 = 13*155 a 26 = 2*13)
To wystarczy resztę z dzielenia liczby D przez 2014 czyli 128 podzielić przez 26 i zobaczyć jaka jest reszta. Czyli 128/26 = 4 reszty 24.
Odpowiedź:
Reszta z dzielenia liczby D przez 26 wyniesie 24
II
Najmniejsza liczba podzielna przez 2014, 2015 i 2016 bez reszty to
4090675680 (najmniejsza wspólna wielokrotność tych trzech liczb)
Teraz wystarczy tylko podzielić liczbę 667000000000 przez 4090675680
Wynik 163,0537476 czyli 163 * 4090675680 = 666780135840
teraz do tej liczby wystarczy dodać 128 i otrzymujemy liczbę D, która przy dzieleniu przez 2014, 2015 i 2016 daje resztę 128 … Czy to było trudne? Chyba raczej niezbyt – poziom klasy podstawowej – nie pamiętam w której (Największa Wspólna Wielkorotność trzech liczb).
A tak na marginesie mógłby Pan bardziej „zdemonizować” zadanie podając, że reszty z dzielenia przez 2014, 2015 i 2016 wynoszą 666 – to dopiero szatańska liczba ( czyli jaka? – chyba banalne …)
Pozdrawiam Panie Marku!
Liczę na bardziej demoniczne (czyt. trudniejsze zadania) …
Ano, wiek robi swoje, pamięć już nie ta 🙂
Pierwsze pytanie:
D1 może mieć wiele wartości:
4058338 + k*4058210; k=0,1,2,…
najmniejsza z nich: 4058338 mod 26 = 24
Drugie pytanie:
D2 min – 4090675808 +k*4090675680; k=0,1,2,…
dla k=162:
666 780 135 968 – to pewnie liczba o którą chodzi w zadaniu.