Łup
W sakiewce zrabowanej podatnikom są 42 złote monety. W podziale tego łupu ma uczestniczyć 7 ministrów, a podział powinien być równy. Sprawa byłaby prosta, gdyby nie to, że monety mają różną wartość – są wśród nich trojaki, czworaki i piątaki.
Po wielu próbach udało się dokonać podziału tak, że każdy minister otrzymał:
– tyle samo monet o takiej samej łącznej wartości,
– przynajmniej jednego trojaka, czworaka i piątaka.
Ile było trojaków i czworaków w łupie, jeśli piątaków było 16?
Komentarze
Czy umieszczenie w treści podatników i ministrów to jakaś aluzja? 🙂
Oczywiście, ale mało konkretna 🙂
mp
42 monety, 7 ministrów, każdy dostał tyle samo monet, zatem każdy dostał dokładnie 6 monet.
Każdy dostał przynajmniej jednego trojaka, czworaka i piątaka, zatem do podziału pozostało 21 monet (wśród nich 9 piątaków) i dla każdego musimy wybrać jeszcze 3 monety o tej samej wartości.
Suma pieniędzy pozostała do podziału to co najwyżej 9 * 5 + 12 * 4 (zakładając, że oprócz piątaków w sakiewce pozostały same czworaki), czyli 45 + 48 = 93. To oznacza, że na każdego ministra przypada co najwyżej kwota 93 / 7 = 13,2857… czyli 13.
Ponieważ pozostało nam 9 piątaków i 7 ministrów do obdarowania, zatem pewien minister otrzyma przynajmniej 2 piątaki. Ponieważ suma którą otrzyma nie może przekraczać 13, zatem wiemy, że ten minister otrzyma 5, 5 i 3.
Pozostało 7 piątaków i 6 ministrów, zatem jest jeszcze jeden minister, który otrzyma układ 5, 5, 3.
Pozostało 5 ministrów i 5 piątaków. Gdyby któryś z ministrów nie otrzymał już żadnego piątaka, to taki minister mógłby otrzymać co najwyżej 3 czworaki, ale wtedy otrzymałby kwotę mniejszą niż 13.
To oznacza, że pozostałe 5 piątaków rozdzielamy po jednym pozostałym 5 ministrom i teraz każdy z ministrów musi jeszcze otrzymać kwotę 8 w dwóch monetach. Zatem muszą to być czworaki.
Podsumowując: dwóch ministrów otrzymało układ 5,5,3 oraz pięciu ministrów układ 5,4,4. Do tego każdy otrzymał na początku układ 5,4,3.
W sumie każdy otrzymał wartość 25. Łatwo wyliczamy, że na początku było 16 piątaków, 17 czworaków i 9 trojaków.
Trojakow bylo 9 a czworakow 17.
16 trojaków, 10 czworaków
Piotr
W sakiewce musiało być 9 trojaków i 17 czworaków .
Z warunku , że każdy musiał dostać przynajmniej po jednej monecie każdego nominału wynika , że trojaków i czworaków było nie mniej niż 7 i nie więcej niż 19 . Z podzielności całej sumy przez 7 wynika , że w grę wchodzą tylko ilości trojaki/czworaki odpowiednio 16/10 albo 9/17 .
Pierwszy wariant odpada , ponieważ w trzech monetach każdy musiałby dostać po 12 jednostek wartości a suma trzech cyfr jest parzysta (P) dla układu P+P+P albo P+N+N i zabraknie nam nominałów parzystych (czworaków) . Ostatecznie 5 ministrów dostanie 1×3+3×4+2×5=25 a dwóch 2×3+1×4+3×5=25 .
Pozdrawiam
Alek
9 trojaków, 17 czworaków, 16 piątaków
Witam po długiej nieobecności.
Pięciu ministrów otrzymało po 1 trójaku, 3 czwóraki i 2 piątaki, natomiast dwóch ministrów otrzymało po 2 trójaki, 1 czwóraka oraz 3 piątaki. Tym sposobem nasze podatki zostały sprawiedliwie rozdzielone pomiędzy miłościwie nam panujących. Dziękujemy 🙂
Zadanie skraca się do rozmieszczenia 9-u piątaków między 7-u ministrów, czyli oprócz 3,4,5 dwóch ministrów dostanie jeszcze 5,5,3 a pozostałych pięciu 5,4,4. Wychodzi na to, że trojaków było 9 zaś czworaków 17.
Trojaków było 9, czworaków 17, każdy otrzymał 6 monet o wartości 25.
np.
I i II -3,3,4,5,5,5
III-VII – 3,4,4,4,5,5
Odpowiedź: 9 trojaków, 17 czworaków, 16 piątaków.
Szkic rozumowania:
Wiadomo, że każdy minister otrzyma 6 monet, z czego 3 są już znane (trojak, czworak, piątak). Ponadto wiadomo, że otrzymają dodatkowo łącznie dokładnie 9 piątaków. 12 monet pozostaje nieznanych (mogą to być tylko trojaki i czworaki). Suma wszystkich monet musi się dzielić przez 7, więc w grę wchodzą tylko dwie kombinacje:
* 16 trojaków, 10 czworaków, 16 piątaków (u każdego ministra suma 24);
* 9 trojaków, 17 czworaków, 16 piątaków (u każdego ministra suma 25).
Z zasady szufladkowej Dirichleta co najmniej jeden minister otrzyma co najmniej 3 piątaki. Pierwsza kombinacja odpada, bo najmniejsza suma, jaką może uzyskać minister z 3+ piątakami to 25. Zostaje więc kombinacja druga. Monety rozkładają się więc następująco:
* dwóch ministrów dostaje (3 3 4 5 5 5)
* pięciu ministrów dostaje (3 4 4 4 5 5)
To chyba nie są „nasi” ministrowie. U nas, ministrów do podziału łupów jest znacznie więcej.
Ministrów do podziału więcej, ale również nie poprzestaliby na zaledwie 42 monetach…
No tak poprzednio rozwiązałem dla sześciu ministrów 🙁
Dla siedmiu jest to 9 trojaków i 17 czworaków
Piotr
9 trojaków, 17 czworaków. Każdy minister otrzyma monety o wartości 25.
Pięciu ministrów otrzyma:
2*5+3*4+1*3
dwóch
3*5+1*4+2*3
Rozwiązywałem kiedyś podobne zadanie tylko tam była mowa o zbójcach i kupcach ale muszę przyznać, że ta wersja brzmi bardziej realistycznie 🙂
9 trojaków, 17 czworaków. Rozwiązanie Piotra (16-10) pasuje w sensie podzielności przez 7, ale wtedy nie da się podzielić monet zgodnie z podanymi regułami.
Zadanie nie jest zbyt trudne:
czworaków było 7 + 5×2 = 17
trojaków 7 + 2 = 9.
Ministrowie otrzymali po 25 jednostek monetarnych 😉
To jest niezłe zadanie do rozwiązywania w pamięci (lub chociaż próby).
9 x3 – 17 x4 i 16 x5
Zestawy monet będą dwa różne ->jeden dla 5 osób 1 x3 3 x4 2 x5
i dla dwóch osób 2 x3 1 x4 3 x5
17 czworaków, 9 trojaków
Pięciu ministrów dostało monety: 5,5,4,4,3; dwaj pozostali: 5,5,5,4,3,3
Trojaków było 9, czworaków było 17.
Nie wiem czemu ale dośpiewałem sobie warunek, że każdy minister miał INNY układ monet (w rozwiązaniu właściwego zadania mamy tylko dwa możliwe układy). Żeby poszukiwania miały sens trzeba było dopuścić istnienie monet o nominałach INNYCH niż 3, 4 i 5 („…są wśród nich trojaki, czworaki i piątaki”, ale nie jest powiedziane, że są to jedyne występujące w sakiewce nominały). No i rozwiązanie się prawie znalazło. Prawie, bo dla 15 piątaków. Najwyższym nominałem jest wtedy 13 i występują wszystkie nominały od 1 do 13. Wygląda na to, że jest to jedyne rozwiązanie takiego „podkręconego” zadania. Rozwiązania nie podaję na wypadek gdyby komuś chciało się policzyć 🙂
Ciekawe. Nowy warunek jakby zastępuje informację o 16 piątakach.
mp
Dodatkowy warunek: Każdy minister otrzymał inny układ (sześciu) monet.
Ostatnie zdanie: …, jeśli piątaków było 15 ?
Układy ministrów:
345559
345577
345568
34455,10
33455,11
23455,12
13455,13
Każdy minister otrzymał łup o wartości 31.
Nowy warunek nie zastępuje informacji o 15 monetach lecz informacja ta zmusza nas do poszukiwania rozwiązania w światach o coraz większej ilości nominałów. Dopiero mając do dyspozycji wszystkie 13 nominałów od 1 do 13, możemy znaleźć powyższe rozwiązanie, które wygląda mi na jedyne gdyż przy wzrastającej nadal ilości nominałów sytuacja zaczyna się znowu pogarszać. Ale głowy nie daję 🙂