Dziewięć po trzy
Zaczął się rok 2014, czyli wkroczyliśmy w pełnię triennium sfenicznego 2013-2015. Brzmi to trochę mistycznie albo numerologicznie, jest jednak czystą matematyką. Takie trzylecia to rzadkość – dotąd w naszej erze były tylko dwa: 1309-1311 i 1885-1887. Rzecz w tym, że każde z nich tworzą trzy kolejne liczby zwane sfenicznymi (od greckiego sfenos – „klin”; to skojarzenie z tzw. cegłą klinową, której trzy wymiary wyrażają się liczbami pierwszymi), czyli takie, które są iloczynami trzech różnych liczb pierwszych:
2013=3*11*61, 2014=2*19*53, 2015=5*13*31
Noworoczna liczba ma jeszcze parę innych osobliwych cech wartych uwagi. Na przykład taką: 2014 należy do stosunkowo niewielu liczb, które da się przedstawić jako sumę trzech różnych dodatnich kwadratów na dziewięć (nie więcej) różnych sposobów. Oto pięć z nich:
9 + 324 + 1681 = 2014
9 + 484 + 1521 = 2014
81 + 169 + 1764 = 2014
169 + 324 + 1521 = 2014
324 + 729 + 961 = 2014
Ile czasu zajmie Państwu znalezienie na piechotę (można korzystać z kalkulatora i tablicy kwadratów) chociaż jednego z czterech pozostałych tercetów?
Komentarze
25+225+1764=2014
81+169+1764=2014
25+900+1089=2014
196+729+1089=2014
Druga równość jest już podana we wpisie.
mp
Są 44 liczby naturalne, których kwadraty są mniejsze od 2014 i tylko te liczby mogą brać udział w zadaniu. Po 9 z nich kończy się na 1, 4, 6 lub 9 a po 4 na 0 lub 5. Jest 6 układów ostatnich cyfr, które daja sumę kończącą się na 4: 004, 059, 149, 455, 446 i 699. Układ 004 odpada, ponieważ przedostatnią cyfrą liczby kończącej się na 4 musiałaby być jedynka. 446 też nie może być, bo 4+4+6=14, więc suma trzech liczb z obciętą ostatnią cyfrą musiałaby być równa 2000, a to nie jest możliwe, skoro przedostatnie cyfry kwadratów kończących się na 4 są parzyste, a kończących się na 6 – nieparzyste. Łatwo zauważyć, że w układzie 059 ostatnia liczba musi mieć końcówkę 89. Są dwa takie kwadraty: 289 i 1089, z których wynik daje tylko drugi: 900+25+1089.
W układzie 455 pierwsza liczba musi kończyć się na 64, co daje 1764+25+225.
Znalezienie dwóch pozostałych tercetów: 196+729+1089 i 441+484+1089 jest bardziej żmudne.
1764+225+25=2014
1089+441+484=2014
1089+729+196=2014
1089+900+25=2014
25 + 225 + 1764 = 2014
25 + 900 + 1089 = 2014
441 + 484 + 1089 = 2014
Napisanie 7-linijkowego programiku zajęło mi 1,5 minuty 🙂
Nie mam serca do używania rozumu tam gdzie maszyna rozprawia się z problemem w ułamku sekundy 😉
Maszyna nie rozprawiła się do końca 😉
mp
196 + 729 + 1089 = 2014
Maszyna spisała się znakomicie, jak zwykle zawiódł człowiek 😉
Do przedstawiania kolejnego numeru roku (wszystkiego najlepszego w Nowym 2014) nawiązuje jedno z zadań w Omnibusie, chodzi oczywiście o kości do gry. Udało mi się je rozwiązać, acz z pewnym niedosytem, a nawet dwoma, bo raz – zajęło mi to przez pewien błąd rachunkowy zbyt dużo czasu, a dwa – jednak w głównej roli wystąpiła tam liczba 2016, która dzielników pierwszych i złożonych ma całą masę, a można było ustawić kostki w kolejności jak dla roku 2013, żeby całość była iloczynem, nie różnicą. Przykładowo: 534162. Ale może wtedy to byłoby zbyt proste 🙂 Co do Omnibusa, to dziękując za zaproszenie do uwag kilka wpisów w tył, miałbym ich kilka, ale nie wiem, gdzie można by przedstawić, bo niekoniecznie dotyczą zadań na Łamiblogu.
A obecne zadanie: „magiczną liczbą” okazuje się 33, uczestnicząc w aż trzech trójkach: 33, 30, 5; 33, 27, 14; 33, 22, 21. Poza tym: 42, 15, 5.
Uwagi bardzo proszę na mój adres (podany u dołu str. 56 Omnibusa).
mp