Drugi wyraz

8 kwietnia 2013
Marek Penszko

Prosta, obrazowa definicja liczby trójkątnej sprowadza się do stwierdzenia:
– liczba okręgów o jednakowej średnicy, którymi można wypełnić trójkąt równoboczny
albo
– liczba jednakowych okręgów, z których można trójkąt równoboczny zbudować (boki trójkąta będą styczne do zewnętrznych okręgów).
Ściślejsza matematyczna definicja brzmi inaczej:
– liczba, która jest sumą n kolejnych liczb naturalnych.
Liczby trójkątne tworzą więc ciąg: 0, 1 (0+1), 3 (0+1+2), 6 (0+1+2+3), 10 (0+1+2+3+4), 15, 21, 28, 36, 45, 55,… Ten ciąg jest blisko spokrewniony z ciągiem kwadratów, ponieważ kolejnymi kwadratami są sumy kwadratem jest suma każdej jego pary kolejnych wyrazów.
Proszę znaleźć inny ciąg rosnący o takiej samej własności, w którym kwadratem będzie także każdy wyraz. W rozwiązaniu wystarczy podać pierwsze sześć wyrazów tego ciągu.

Powyższe zadanie okazało się najtrudniejszym wśród zamieszczonych w konkursie w marcowym Świecie Nauki. Zapewne z dwóch powodów. Po pierwsze: niełatwo wpaść na sposób, w jaki należałoby się do niego zabrać. Po drugie: rozwiązań jest wiele; aby było jedno, potrzebny jest dodatkowy warunek.
Jeśli założymy, że ciąg powinien zaczynać się najmniejszą liczbą dodatnią, to jednego rozwiązania nadal nie będzie, bo może być np. tak:
25, 144, 256, 900, 1600, 1764,…
albo tak:
25, 144, 1225, 7056, 60025, 345744,…
Dopiero drugi dodatkowy wymóg, aby każdy kolejny wyraz był najmniejszym możliwym, wymusi jednoznaczność (pierwszy przykład).

A gdyby warunek brzmiał tak: „drugi i każdy następny wyraz ciągu powinien być najmniejszym możliwym” – to jak wyglądałoby rozwiązanie?

Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.