Ośmio-pięcio
Powrócę do klasycznej łamigłówki liczbowej, o której wspomniałem przed kwartałem, a ściślej do jej uszlachetnionej Gardnerowskiej wersji:
Cyfry w ciągu od 1 do 9 można zbliżać do siebie, tworząc liczby albo stawiać między nimi znaki plus lub minus; po takich zabiegach powinna powstać poprawna równość.
Rozwiązań jest jedenaście:
123+45-67+8-9=100
123+4-5+67-89=100
123-45-67+89=100
123-4-5-6-7+8-9=100
12+3+4+5-6-7+89=100
12+3-4+5+67+8+9=100
12-3-4+5-6+7+89=100
1+23-4+56+7+8+9=100
1+23-4+5+6+78-9=100
1+2+34-5+67-8+9=100
1+2+3-4+5+6+78+9=100
Okrągłość wyniku wyróżnia zadanie i jakby dodaje mu splendoru, którego jednak ubywa ze względu na sporą liczbę rozwiązań. Można by ją ograniczyć do jednego, dodając, że znaki powinny być tylko trzy. Można też ujednoznacznić rozwiązanie w inny sposób – zamiast dodatkowego warunku zastąpić 100 inną liczbą. Jaką najmniejszą?
Prawdopodobnie mniejsza od 100 być nie może. W przypadku większości z nich rozwiązań jest bowiem kilkanaście, a rekord dzierżą 1 i 45 – po 26 rozwiązań.
Przechodząc do konkretów, proponuję znaleźć jedyny sposób uczynienia poprawną poniższej równości przy pomocy zbliżeń oraz odpowiednio rozmieszczonych plusów i minusów:
Czy dla jakiejś liczby mniejszej od 176 rozwiązanie także będzie jedno? Nie mam pojęcia. Cała nadzieja w programistach.
PS 176 jest najmniejszą liczbą równocześnie pięcio- i ośmiokątną (pomijając jedynkę, która jest „każdokątna”) – stąd dziwny tytuł tego wpisu.
Komentarze z prawidłowymi rozwiązaniami uwalniane są wieczorem w przeddzień kolejnego wpisu. Wpisy pojawiają się co kilka dni.
Komentarze
1-2 +34+56+78+9=176
🙂
Pozdrawiam 🙂
1-2+34+56+78+9
Panie Marku, wydaje mi się, że to nie jest jedyne rozwiązanie gdyż dojście do niego metodą prób i błędów zajęło jakieś 5 minut. Może Pan w jakiś sposób „udowodnić” że rozwiązanie jest tylko jedno?
Słowo harcerza, że jedno 🙂 . A serio, wydaje mi się, że jedynym „dowodem” jest przelecenie wszystkich możliwości programem.
mp
176 jest faktycznie najmniejszą liczbą z jednym rozwiązaniem, choć wcześniej jest liczba, której nie można ułożyć – 160.
1 – 2 + 34 + 56 + 78 + 9 = 176
Za to najmniejszą liczbą „odwrotnie” uzyskaną jest 2 (później 186)
9 + 87 – 65 + 4 – 32 – 1 = 2.
Najmniejszą liczbą, której w ten sposób nie można utworzyć jest 194.
Odpowiedź dla 176 to 1-2+34+56+78+9.
I rzeczywiście jest pierwszą dla której jest dokładnie jedno rozwiązanie, następnych kilka to 183, 186,191, 193,194
Co ciekawe przed 176 jest 160, dla której nie istnieje żadne rozwiązanie.
Pozdrawiam
Piotr
Nie będzie, 176 jest najmniejszą _dodatnią_ liczbą, dla której jest dokładnie jedno rozwiązanie. Bo oczywiście istnieje bardzo wiele _ujemnych_ liczb z jednym rozwiązaniem i, co ciekawe, największą z nich jest -100.
Kilka kolejnych liczb po 176:
176=1-2+34+56+78+9
183=123-4+56+7-8+9
186=123+45-6+7+8+9
191=123+4+56+7-8+9
193=123+4+56-7+8+9
194=1-2+34+5+67+89
202=123-4-5+6-7+89
205=123-4+5-6+78+9
206=123+4-5+67+8+9
209=1+234+56+7-89
213=123+4+5-6+78+9
215=123+4-5+6+78+9
217=123-4+5+6+78+9
220=123+4+5+6-7+89
231=123+45-6+78-9
232=1+234-5-6+7-8+9
238=1+234+5+6-7+8-9
Najwięcej (27) kombinacji daje wynik -21, a po 26 kombinacji dają wyniki 1 i 45.
Rozwiązanie udało się znaleźć „na papierze”:
1-2+34+56+78+9=176
Rzeczywiście, 176 jest najmniejszą dodatnią liczbą z jednym rozwiązaniem. Wszystkie możliwości wygenerowałem w arkuszu kalkulacyjnym przy współpracy z ciekawym kalkulatorem – http://goo.gl/Oy6m6 (przydał się przy wariacjach z powtórzeniami dla plusów i minusów). Dla zainteresowanych finalny arkusz do pobrania:
http://www.sendspace.pl/file/913963eb2a3677f89bd8ca9
1-2+34+56+78+9=176
Jaka jest najmniejsza liczba naturalna, której nie można przedstawić za pomocą wyżej określonych działań?
Czy znak minus można umieścić przed jedynką?
1-2+34+56+78+9=176
Minus na początku to oczywiście kwestia umowy. Ciekawe, czy jeśli na to pozwolić, to przybędzie rozwiązań dla 176 albo czy będzie rozwiązanie dla 160 – podobno jedynej liczby mniejszej od 176, dla której nie ma rozwiązania (bez minusa na początku).
mp
Jeżeli założymy, że minus może być na początku to dla 160 będzie 5 rozwiązań. Jedno z nich to -12+34+56-7+89=160. Dla 176 dalej będzie tylko jedno. Dla pierwotnego zadania przybędzie jedno dodatkowe rozwiązanie -1+2-3+4+5+6+78+9=100.
Antypie, czy z powyższego ma wynikać, że dla 176 jest jedno rozwiązanie z minusem na początku?
mp
Nie ma rozwiązania z minusem na początku.